新課程標準下的高中數學建模教學實踐研究

彭介顧 （安徽省蕭縣中學，安徽 蕭縣 235200）

引 言

在《普通高中數學課程標準》當中的內容標準板塊，要求將數學建模滲透到每個環節的教學當中去，將學生數學建模素養的培養落到實處.但是在當前的高中數學教學中，由于教師對數學建模教學的理解不夠透徹，忽視了數學建模教學對學生終身發展的重要價值，導致學生在建模思想的應用方面嚴重匱乏，很難直接參與到數學建模活動中來.因此，教師應當形成科學的教育觀念，深入解讀新課程標準的精神，積極探索應用數學建模思想開展日常教學的有效方法，讓學生不僅可以掌握數學知識的表層含義，同時也能夠領會到數學知識的本質，達到融會貫通.教師要對數學建模教學存在的不足之處進行深入分析，建立貼合實際的數學建模流程，引導學生掌握有價值的數學建模方法，循序地提升學生的數學建模素養.

一、高中數學建模教學的現狀

1.學生基礎較差

很多學生沒有養成良好的學習意識，雖然學生已經學過了很多的數學知識，但是對于自己已經獲得的知識，學生的記憶大多停留在“學過”這一層面上.但是對于自己是怎么學的，很少有學生會有意識地進行反思，導致學生看似掌握了很多的知識，但是基礎并不牢固，無法自主完成數學模型的建立.

2.學生信息抽取能力差

很多學生從小開始接受應試教育，對教師的依賴性很強，在學習數學的過程中經常會出現“聽得懂，但是不會做題”的問題，導致學生無法獨立地從數學問題當中抽離出數學建模所必需的信息.同時，由于數學知識的抽象性，導致學生對數學應用問題也普遍存在畏難的情緒，在審題的過程中會因此而出現思維混亂的情況，尤其是在閱讀一些文字信息比較多的問題時，學生很難運用技巧和自己的邏輯思維從中找到關鍵的信息，從而影響了學生參與數學建模活動的質量.

3.教師忽視對建模過程的完整教學

隨著新課程改革教育思想的不斷滲透，越來越多的教師開始重視在數學教學中滲透數學建模的思想，進而發展學生的數學核心素養.但是由于并沒有專門的教材來指導教師開展數學建模教學，導致教師很難去帶領學生經歷完整的數學建模過程，影響了學生數學建模素養的有效發展.

二、新課程標準下的高中數學建模教學實施途徑

數學建模雖然沒有固定的步驟，但是基本上包含幾個必要的階段，分別是：明確數學問題、提出合理假設、搭建數學模型、求解數學模型、分析和檢驗數學模型、解釋數學模型.而結合學生學習的一般規律，可以將這幾個階段整合成四個步驟，引導學生經歷完整的數學建模過程.下面將以“函數的單調性和最值”當中函數單調性模型的建構過程為例，對建模教學的四個步驟展開一番敘述.

1.創設情景，引導假設

數學模型的本質是從實際問題當中抽象出數學知識，而要想讓學生參與到數學抽象的活動中來，則需要學生形成深入細致的思考問題的態度以及積極的探索興趣，進而使學生可以從已有的生活經驗出發來探索數學問題的本質，為學生的數學建模打造一個良好的起點.因此教師要善于通過情景創設的方式來激活學生的思維，使學生在好奇心的驅動下產生各種具有個性化的假設，在頭腦中構建出對數學知識的內在驅動力.教師在創設情景的過程中要對學生興趣、能力、數學學習能力等方面的差異進行分析，從而讓每一個學生都能夠參與到情景探究活動中來.

在函數的單調性模型教學中，在課堂的一開始，筆者使用了開篇點題的教學方法，讓學生有意識地進入到建模教學中來.筆者首先對學生說道：“函數是我們從初中就開始學習的一種數學知識，借助函數可以讓我們更好地了解事物變化的規律，而今天我們要研究的同樣也是函數的一種性質.”接著使用電子白板給學生展示了一張圖像，上面呈現了當地某一天的溫度變化情況，再向學生提出問題：“你認為這張圖像上的曲線可以代表一個函數嗎？”在筆者提出了問題之后，有的學生說可以，有的學生說不可以，緊接著讓學生都說一說自己判定的理由.通過討論的方式，學生回顧了函數的定義，發現在教師提供的圖像當中，對于任意的一個時間，都有一個確定的溫度與之對應，因此這個圖像當中的曲線可以表示一個函數.這樣通過創設出學生熟悉的氣溫變化問題，能夠有效地激發學生的探索興趣，并讓學生回憶起函數的基本觀點.

2.驗證猜想，建立模型

在學生完成了明確問題、提出猜想這兩個活動之后，教師要針對學生提出的各種猜想，及時引導學生對猜想進行驗證，讓學生建立基本的數學模型.在這個環節當中，教師要強調學生的自主性，給學生充足的機會讓學生交流討論，發表自己的意見.教師要注重發揮自身的引導功能，讓學生盡可能地使用數學語言來進行交流表達，從而使學生更好地提煉出數學問題的本質，歸納出基本的數學模型.

在學生借助生活中的案例回憶起函數的基本概念之后，筆者再引導學生去認真觀察圖像，讓學生看看零點到三點、三點到十四點這兩個時間段內，溫度是怎樣變化的.針對這個問題，要求學生以小組的方式討論出結果.在給學生充足的時間進行合作討論之后，筆者讓學生分享討論的成果.學生大多提出了這樣的觀點：在零點到三點這個時間段內，氣溫是在不斷降低的，在三點到十四點這個時間段內，氣溫是在不斷上升的.針對學生的描述，筆者再次向學生強調了函數的概念，讓學生用“氣溫隨著時間不斷上升”這種更加準確的描述方式進行描述.緊接著，筆者再對學生說：“在剛才的探究中，我們得到了在不同的時間段內，氣溫會隨著時間的變化而出現上升或下降的情況，這種情況反映出了函數的一種基本性質，就是單調性.”在引出了單調性的概念之后，筆者讓學生自己在紙上畫一畫，隨意畫出來幾個函數圖像，并使用剛才的描述方式來簡單描述自己畫出來的圖像.在學生練習之后，再讓學生思考問題：“我們怎樣通過規范的數學語言來描述函數這種上升或者下降的趨勢呢？”這個問題同樣需要學生以合作的方式來進行探討.過了一段時間之后，有學生發現可以使用對比的方式，也就是“在零點到三點這個時間段內任意選出兩個時間點，對這兩個時間點對應的氣溫進行比較”，針對學生的這種描述，筆者回應道：“這位學生的思路非常好，大家可以接著按照他的這種思路，使用規范的數學語言來進行描述嗎？”接著，筆者讓學生繼續合作討論，試著讓學生自己建立起增函數和減函數的模型.經過合作探索，學生可以比較好地運用“在……范圍內”“任意取”“如果都有”等關鍵詞來建立增函數和減函數的基本模型.這樣通過讓學生在分析生活實例的過程中學會從數學的角度、用數學的語言去描述問題、分析問題以及解決問題，可以使學生懂得如何從實際問題當中抽象出數學模型，有助于學生數學建模素養的發展.

3.總結內化，理解模型

學生在上一環節中建立出的數學模型是根據某一個問題提煉出的，可以讓學生感受數學問題的本質.接下來，教師要順應數學建模的基本原則，引導學生針對建立出的基本模型，對其進行形式化的定義，讓學生通過對模型的凝練表達來理解模型，使學生體會數學模型的價值，進而讓學生將模型融入自己已有的認知結構中，形成對數學模型更完善的認識.

在學生建立起了增函數和減函數的基本模型之后，筆者將兩種函數性質的教材描述展示在電子白板上，讓學生根據這兩種定義來思考自己在解釋函數的增減性時應注意哪些問題.經過一番討論之后，有學生說道：“當兩個自變量滿足＜時，有（）＜（），那么這樣的函數就是增函數；而當兩個自變量滿足＜時，有（）＞（），那么這樣的函數就是減函數.”在聽了這個學生的表達之后，又有學生接著說道：“我們還應當注意，要想判斷一個函數的單調性，必須要確保選擇的兩個自變量都在函數的定義域內，并且要強調任意這兩個字，如果有一種情況不符合這個描述，那么就不能稱之為增函數或者減函數.”經過學生討論和陳述，筆者再引導學生進行知識的遷移：“我們今天學習了函數單調性的知識，之后，我們會學習指數函數、冪函數等特殊的函數，這些函數是不是也會表現出單調性呢？”這樣，通過讓學生對建立的數學模型進行總結，可以讓學生將函數的單調性模型融入自身的函數知識體系中，有助于培養學生良好的數學學習思維.

4.拓展推廣，應用模型

數學建模能夠為學生解決生活中的實際問題搭建起橋梁，學生經過自主建立模型，能夠使學生對數學模型產生更加深刻的理解.因此為了讓學生可以感受到數學建模中蘊含的樂趣，使學生收獲建模的成就感，教師要在學生完成了數學建模之后，及時引導學生有意識地將數學建模應用到現實生活中去，讓學生將知識進行拓展和深化，從而使學生在實際的體驗當中對建立出的模型產生感性的理解，落實對學生數學建模素養的培養目標.

為了讓學生進一步感受到函數單調性模型建立的重要性，筆者在學生建立了模型之后，在課堂上引入了交叉學科的思想，讓學生在合作中探索兩個問題，問題1：在物理學中有一個概念稱之為波義耳定律，內容為＝（是常數），這個概念的含義為對于一定量的氣體，當體積減小時，壓強會增加.試著從數學的角度證明這個定律；問題2：小明針對某一天的氣溫獲得了如下的信息，從早上八點到中午十二點，天氣變得越來越暖和.十二點到下午一點，下起了大雨.在雨過之后，溫度又開始上升了，一直到下午六點太陽落山.請你根據小明記錄的情況，畫出這一天早上八點到下午六點氣溫的大概圖像，并說出其中的單調區間.這樣通過引入生活中的問題來引導學生進行模型的拓展應用，可以更好地調動學生的積極性，讓學生認識到數學模型的應用價值.

三、新課程標準下的高中數學建模教學反思

1.深入挖掘教材，探索建模思想

現階段，我國的整體教育機制正在實現從應試教育到素質教育的轉變，新一版的高中數學課程標準同樣強調了數學教育要將培養學生的數學應用思想作為主要的目標之一，使學生懂得數學學習的價值.因此為了落實課程標準的要求，教師應當要有積極備課的意識，在教學準備的過程中對教材中的模型思想進行深入的挖掘，明確教材當中知識的來源，從而在教學的過程中更好地建立起基礎數學模型.

同時，在確定教學目標的過程中，教師也要將模型的理解作為重要的教學內容，使學生找到數學知識和數學建模思想的交叉點.比如，在引導學生建立指數函數的模型時，教師可以引入生物方面的知識，讓學生去回憶細胞分裂的過程，讓學生可以從生物現象中抽象出數學概念.總之，教師要對教材展開充分的研讀，結合課程標準對學生應用能力提出要求，挖掘出教材當中蘊含的數學建模思想，實現用教材而不是教教材.

2.關注已有模型，促進自主發現

數學建模是一種思想，通過引導學生反復經歷數學建模的過程，使學生逐漸掌握數學建模的有效方法，進而讓學生懂得如何從現實生活問題當中抽象出數學模型.而在高中數學教學中，由于學生的數學建模基礎普遍比較薄弱，因此在剛開始展開數學建模教學時，教師要減少學生自主建立模型的過程，要積極引導學生從已經建立好的模型來理解數學建模的內涵，避免學生因過早地展開自主建模而對數學建模活動產生誤解，出現基礎不牢固的情況.

在高中數學建模教學中，教師要對學生已經獲得的數學模型進行充分的挖掘，讓學生可以構建出基本的數學認知框架，從而為學生自主發現生活中的數學模型做好準備.教師要對學生學到的數學概念、定理、公式等知識進行充分的探索，積極引導學生去分析這些知識形成的過程，讓學生可以開展有意義的數學探究活動.同時，教師也要注重引導學生將自己新獲得的知識和自己已經獲得的知識經驗聯系在一起，使學生從中發現數學建模的規律，落實對學生數學建模素養的培養.

3.加強課堂練習，滲透建模思想

在建模教學中，讓學生運用數學模型去解決實際問題是一個十分重要的環節，能夠使學生自然而然地實現對數學建模過程的反思，讓學生鞏固學到的方法、概念和定理.在實際的教學中，經常會看到學生明明對基礎知識的掌握十分牢固，但是在解題的過程中卻會出現很多的錯誤，這是因為學生沒有及時鞏固自己的知識，缺乏實際應用的經驗.因此在高中數學建模教學中，教師要向學生展示基于數學建模思想的解題方式，讓學生可以按照自己建立數學模型的步驟來解決問題，用邏輯思維去找到問題的答案，從而讓學生對數學知識融會貫通.

同時，教師也要在學生解決問題的過程中鼓勵學生從不同的角度去思考問題.針對同一問題，有時可以建立出不同的數學模型，讓學生去尋找多種解題方法，可以使學生形成靈活的問題思考方式，使學生的歸納能力、探究能力、分析能力等獲得提升，培養更加靈活的數學建模思想.

結 語

當前，高中數學教學中建模思想的滲透還存在很多的不足，因此教師應當深入貫徹新課程標準的精神，加強對高中數學課程標準中教學內容的解讀，總結出行之有效的數學建模教學方法，使學生的數學建模能力獲得實質的提升，為學生以后高效應用數學知識解決問題奠定良好的基礎.教師要結合數學建模的一般方式，使用合適的方法將建模的思想融入教學中來，幫助學生建立適合自己的數學建模體系，改善高中數學建模教學的質量.