利用拉格朗日中值定理對(duì)可微函數(shù)進(jìn)行積分估計(jì)

李容星 （湖北師范大學(xué)文理學(xué)院，湖北 黃石 435109）

一、引 言

對(duì)于多次連續(xù)可微的函數(shù)而言，如果能滿足類似的條件，則可以利用泰勒定理進(jìn)行積分估計(jì)并得到類似的結(jié)果.

二、積分中值定理

我們首先引入拉格朗日中值定理：

拉格朗日中值定理有如下積分中值定理：

設(shè)函數(shù)（）在［，］上連續(xù)，則存在∈（，）使得

即定理1 得證.

設(shè)函數(shù)（），（）在［，］上連續(xù)，且（）在［，］上不變號(hào)，則存在∈（，）使得

不妨設(shè)在［，］上（）≥0，于是（）≤（）（）≤（），其中，分別是（）在［，］上的最大值和最小值.積分有

由介值定理，存在∈（，）使得

即定理2 得證.

三、可微函數(shù)的積分估計(jì)

如果函數(shù)（）在（，）內(nèi)存在一點(diǎn)為0，則可以利用拉格朗日中值定理得到如下結(jié)論：

說明：（1）觀察證明可知，其取等的充要條件為在該區(qū)間上有（）≡，即（）為一個(gè)一次函數(shù)；

手術(shù)很成功，癌細(xì)胞被切除了。鄭全意渾身的細(xì)胞又全部投入工作狀態(tài)。事實(shí)上，此前處在所謂“保守治療”之中的他，就用“發(fā)自肺腑”的聲音、用手寫指令的辦法，辦理了北京市第一起食品涉刑案件—肉皮凍非法添加雙氧水案。出院之后，他又帶領(lǐng)團(tuán)隊(duì)成功查處了毒豆芽事件、饅頭房非法添加案等一系列案件，努力掃除昌平父老餐桌上的種種“癌細(xì)胞”。

（2）如果函數(shù)（）的零點(diǎn)不是在［，］的中點(diǎn)處，而是在其他位置，則可以利用類似定理3 中的證明，得到類似的結(jié)論.

當(dāng)函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處等于0 時(shí)，可以得到同樣的結(jié)論：

設(shè)函數(shù)（）在［，］上連續(xù)可導(dǎo)，且（）＝（）＝0，則

利用泰勒定理則可以得到如下結(jié)論：

即定理5 得證.

說明：（1）如果函數(shù)（）的零點(diǎn)不是在［，］的中點(diǎn)處，而是在其他位置，則可以利用類似定理5 中的證明，得到類似的結(jié)論；

（2）如果函數(shù)（）的一階導(dǎo)數(shù)本身是有界的，則可以進(jìn)行一些更強(qiáng)的估計(jì).

當(dāng)函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處等于0 時(shí)，可以得到類似的結(jié)論：

設(shè)函數(shù)（）在［，］上兩次連續(xù)可微，且（）＝（）＝0，則

說明：定理3 和定理4 的結(jié)論相同，而定理5 和定理6 的結(jié)論是不同的.

上述定理5 和定理6 也可以推廣到高階導(dǎo)數(shù)的情形：

設(shè)函數(shù)（）在［，］上2次連續(xù)可微，且

四、在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

2009 年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽非數(shù)學(xué)類初賽設(shè)函數(shù)在01上二階連續(xù)可微過點(diǎn)00與點(diǎn)11的直線與曲線＝相交于點(diǎn)其中0＜＜1.求證存在∈01使得＝0.

由積分的恒等性可知（）≡｜-1 ｜.但｜-1 ｜在＝1 處不可導(dǎo)，矛盾，故這樣的函數(shù)不存在.

五、結(jié) 語

利用函數(shù)的性質(zhì)對(duì)函數(shù)的積分進(jìn)行估計(jì)是數(shù)學(xué)分析中一個(gè)非常重要的工作.本文首先利用拉格朗日中值定理對(duì)一次連續(xù)可微的函數(shù)進(jìn)行估計(jì)，然后利用泰勒定理對(duì)多次連續(xù)可微的函數(shù)進(jìn)行估計(jì)，最后把相關(guān)的思想運(yùn)用在高等數(shù)學(xué)中.該思想的本質(zhì)是利用拉格朗日定理或者泰勒定理結(jié)合函數(shù)本身導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)對(duì)函數(shù)進(jìn)行估計(jì)，只要掌握好該思想，就能夠簡化高等數(shù)學(xué)中相關(guān)問題的推導(dǎo).我們也在具體教學(xué)的過程中進(jìn)行了推廣，這不僅有利于學(xué)生對(duì)拉格朗日定理或者泰勒定理的學(xué)習(xí)，也能夠激發(fā)他們學(xué)習(xí)的興趣.