用“從特殊到一般”的數學思想方法探究圓中的幾何性質

錢秋平 （南京市第二十九中學幕府山初級中學，江蘇 南京 210000）

一、數學思想方法的重要性

數學思想是人們對數學知識的本質認識，是從某些具體的數學內容和對數學的認識過程中提煉的數學觀點，它在認識活動中被反復運用，帶著普遍的指導意義，是建立數學和用數學解決問題的指導思想.

在學生認知水平和已有經驗的基礎上，引導學生通過觀察、分析、交流等方式來發現和歸納幾何圖形的共性特征，進而發展學生的幾何直觀和邏輯思維能力，培養學生的空間觀念.通過猜想得出特殊幾何圖形的性質，然后利用已有的知識理論證明、驗證自己的猜想，從而得出一般幾何圖形的共性特征.從“一般”出發，發現其共性的性質，并以一般為依據，探究特殊幾何圖形的個性特征，從而感受“一般與特殊”之間的聯系.

圓是中學數學中研究的第一個曲線類幾何圖形，“從特殊到一般”的數學方法是轉化思想方法中的一種，是探究圓中幾何性質的重要數學思想方法之一.在研究圓中的問題時，運用特殊化、具體化的方法，總結出一般性的結論，并用已有的理論知識去驗證一般性的結論，可以幫助學生降低問題的難度，從而找到解決問題的方法.

二、用“從特殊到一般”的數學思想方法探究圓中的幾何性質

1.圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半

在圓中，同弧所對的圓心角只有一個，而同弧所對的圓周角卻有無數個，在探究同弧所對的圓心角和圓周角兩者之間的數量關系時，可將同弧所對的無數個圓周角和圓心之間的位置關系分為如圖1 所示的三類情形：圓心在圓周角的一邊上、圓心在圓周角的內部和圓心在圓周角的外部.

圖1

回到情形一的特殊位置關系，當圓心角是等腰三角形的一個外角時，易得兩者之間的數量關系，故在情形二和情形三中，通過添加輔助線：連接AO 并延長交⊙O 于點D，構造圓心角是等腰三角形頂角的一個外角.

如圖2，當圓心在圓周角的內部時，連接AO，并延長交⊙O 于點D，

圖2

如圖3，當圓心在圓周角的外部時，連接AO，并延長交⊙O 于點D，

圖3

綜上所述，圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半.

在探究圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半的過程中，先通過對“圓心在圓周角的一邊上”這一特殊情形的探究，得出一般情形下的猜想，再對其余兩種情形進行演繹推理.在這個過程中，通過添加輔助線，在一般情形中構造特殊情形時的基本圖形，借助特殊圖形的結論去驗證猜想.

2.圓的內接四邊形的對角互補

如圖4，在⊙O 的內接四邊形ABCD 中，∠A 與∠C、∠ADC 與∠ABC 有怎樣的數量關系？

圖4

一組對角∠A 和∠C 是弦BD 所對的一組圓周角，從特殊情形考慮，當弦BD 是一條直徑時，如圖5，直徑BD 所對的兩個圓周角∠A ＝∠C ＝90°，所以∠A+∠C ＝180°.再由四邊形ABCD 的內角和為360°，得∠ADC+∠ABC ＝360°-（∠A+∠C）＝180°.因此，可以猜想：圓的內接四邊形對角互補.

圖5

或者從特殊情形∠A 為直角考慮，則弦BD 是直徑，所以∠C 為直角，故∠A+∠C ＝180°.再由四邊形ABCD 的內角和為360°，得∠ADC+∠ABC ＝360°-（∠A+∠C）＝180°.因此，也可以猜想：圓的內接四邊形對角互補.

如圖6，在一般情形中，通過連接DO 并延長交⊙O 于點E，構造直徑DE，將一般情形下的圓周角∠DAB 和∠DCB轉化成直徑DE 所對的90°的圓周角∠DAE 和∠DCE，

圖6

此時，∠DAE+∠DCE＝180°，

即∠DAB+∠BAE+∠DCB-∠ECB＝180°.

又∵∠BAE＝∠ECB，

∴∠DAB+∠DCB＝180°，

∴在四邊形ABCD 中，有

∠ADC+∠ABC＝360°-（∠DAB+∠DCB）＝180°.

因此，圓的內接四邊形對角互補.

在探究圓的內接四邊形對角互補的過程中，先通過直徑所對的圓周角為直角的結論，特殊化這一組對角，得出一般情形下的猜想.在推理證明過程中，根據特殊情形的基本圖形特征，通過構造直徑，將一般情形下的一對圓周角轉化為直徑所對的圓周角，從而驗證猜想.

3.對角線互相垂直的圓內接四邊形的對邊平方和等于一個定值

如圖7，⊙O 的半徑為R，在⊙O 的內接四邊形ABCD中，AC⊥BD，則AB+CD＝________，AD+BC＝________，AB+CD＝AD+BC＝________.（用含R 的代數式表示）

⊙O 的內接四邊形ABCD 的對角線是相互垂直的兩條弦，當這兩條弦特殊化為兩條直徑時，四邊形ABCD 為如圖8 的正方形ABCD，此時，AB＝CD＝AD＝BC＝OA+OB＝2R，所以AB+CD＝AD+BC＝4R.因此，可以猜想：對角線互相垂直的圓內接四邊形的對邊平方和相等，且等于4R.

如圖7，邊AB 和邊CD 是兩個直角三角形的斜邊，想要得到AB+CD＝4R，則需要重新構造直角三角形，使得邊AB 或邊CD 是直角邊，由圖8 可知，可以通過將弦特殊化，構造直徑，得到直徑所對的圓周角為直角，從而將圓內接四邊形的邊放到直角三角形里.

圖7

圖8

如圖9，連接CO，并延長交⊙O 于點E，連接DE，則

圖9

在Rt△CDE 中，∠CDE＝90°，

有DE+CD＝CE，

∴DE+CD＝4R，

且∠E+∠ECD＝90°.

勿忘初心，平臺建設的目的是更好的進行人才培養，提高實驗教學質量。實體實驗能鍛煉學生各方面的能力，這是仿真實驗無法達到的。除了高危、極端環境、不可及、不可逆操作、高成本高消耗、大型或綜合訓練類的實驗項目外，其他常規實驗都應以實體實驗形式進行。深刻理解“虛實結合、相互補充、能實不虛”三原則，以人才培養為綱，規劃研發仿真實驗內容。

又AC⊥BD，

∴∠CBD+∠BCA＝90°.

∵∠E＝∠CBD，

∴∠ECD＝∠BCA.

又∵∠EOD＝2∠ECD，∠BOA＝2∠BCA，

∴∠EOD＝∠BOA，

∴DE＝AB，

∴AB+CD＝4R.

同理，AD+BC＝4R，

∴AB+CD＝AD+BC＝4R.

在探究對角線互相垂直的圓內接四邊形的對邊平方和等于一個定值的過程中，先通過兩條相互垂直的直徑得到圓內接四邊形的對邊平方和等于4R的結論，從而得出一般情形下的猜想.在推理證明的過程中，通過作直徑，構造特殊情形時的基本圖形特征，將圓內接四邊形的邊轉化為直角三角形的直角邊，得到兩邊平方和等于4R.再通過等量代換，可以得到對角線互相垂直的圓內接四邊形的對邊的平方和等于4R.

三、在一般情形中，構造特殊情形下的基本圖形模塊

當利用“從特殊到一般”的數學思想方法探究幾何圖形的基本性質時，我們不僅可以利用特殊情形下的結論作為一般情形下的猜想，還可以在一般情形中，構造特殊情形下的基本圖形去驗證猜想.

在探索圓的幾何性質的過程中，根據已知圖形中的邊、角屬性，添加適當的輔助線，構造特殊圖形，這是解決圓中一類問題的一個有效的方法.但有時會發現很難將圖形中的已知條件建立聯系，導致學生對在圓中添加適當的輔助線感到無助.此時，我們可以指導學生學會基于對幾何圖形特征的深入觀察和分析，通過對特殊情形中的幾何圖形進行研究，形成大膽的猜想，并以特殊情形中的基本圖形作為構造輔助線的一個方法，然后進行推理論證，體現了幾何模型思想的應用.

四、加強數學思想方法在課堂教學中的滲透

數學思想方法不同于具體的數學知識，它往往隱藏于數學知識的生成和應用的過程中.數學思想的體驗和領悟，要以數學知識為載體，經歷分析、解決問題的過程，逐漸成為一種培養數學素養和解決問題的方法.在教學過程中，應該引導學生在數學活動過程中潛移默化地體驗、感受知識生成過程中所蘊含的數學思想方法.

數學來源于生活，在教學中，教師可以把學生熟悉的、了解的、感興趣的生活事例搬進數學課堂.在對實際情境問題進行數學建模的過程中，讓學生進行觀察、分析、猜想、論證、概括，看到知識形成的過程及其中蘊涵的思想.如此，學生在課堂上所獲得的知識就是自己的，并且是可遷移的、可發散的.教師要將數學思想方法在教學過程中顯化，讓學生充分體驗數學思想，進而使他們對數學思想方法的感悟得到提高.

學生對數學知識的獲取、理解和應用不是一蹴而就的，而是在不同階段，從不同角度逐步認識、加強理解的一個反復的過程.所以，教師可以針對相應的知識塊、一節課，或單元的章節復習，加強數學思想方法的過程性滲透，從而使學生在不斷拓展中逐步感悟數學思想方法，并且加強對數學思想方法的認識.教師還可以有意識地培養學生的自我分析、自我提煉以及自我概括數學思想方法的能力，幫助學生逐步建立起自己的數學思想方法體系.

數學思想方法的學習與研究，有助于提高學生的數學文化素養，數學思想方法的應用能有效指導我們更好地研究數學和解決數學問題，因此在數學課堂教學中、在問題探究中、在例題分析中，我們應該有意識、有目的地將數學思想方法滲透到數學知識的發生、發展過程中，培養學生的思維策略，使學生進行有意義的數學學習活動，才能真正深入透徹地理解與掌握數學知識.