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——評析2022年浙江卷解析幾何解答題

鄭日鋒

(杭州學軍中學西溪校區,浙江 杭州 310012)

先來看下以下兩道高考試題：

例1如圖1，已知拋物線C的頂點為O(0,0)，焦點F(0,1).

1)求拋物線C的方程；

2)過點F作直線交拋物線于點A,B，若直線OA,OB分別交直線l:y=x-2于點M,N，求|MN|的最小值.

(2013年浙江省數學高考文科試題第22題)

圖1 圖2

1)求點P到橢圓上點的距離的最大值；

2)求|CD|的最小值．

(2022年浙江省數學高考試題第22題)

1 命題背景

例2考查橢圓的幾何性質、直線與橢圓的位置關系等知識，同時考查解析幾何的基本思想方法與分析問題、解決問題的能力以及直觀想象、邏輯推理、數學運算等數學核心素養.近5年浙江省數學高考解析幾何解答題，均與拋物線有關，2022年解析幾何解答題將例1中的拋物線問題改為橢圓問題，運算量增大了，解題方法卻完全相同.

2 解法探究

第1)小題比較簡單，本文僅對第2)小題進行探討.

(1+12k2)x2+12kx-9=0，

其根的判別式

Δ=144k2+36(1+12k2)=36(1+16k2).

由韋達定理,得

同理可得

y=k1x+1.

同理可得

化簡得

同理可得

從而k1,k2是方程36x2-48kx-1=0的兩個實根，其根的判別式

Δ=482k2+4×36=144(16k2+1).

由韋達定理,得

評注解法1設點參數，解法2設線參數，兩種解法的運算量都較大，解法2的運算量相對小些.再次驗證了解決橢圓問題，通常設線參數比設點參數的解題過程顯得簡便些.兩種解法的共同特點是將|CD|表示為關于k的函數，利用柯西不等式求|CD|的最小值.還可以利用判別式法如下：

(9t-16)k2+6tk+t-1=0.

(1)

Δ=36t2-4(t-1)(9t-16)≥0，

3 教學啟示

解析幾何是用代數方法研究幾何問題的一門數學分科，它是幾何的(研究對象是幾何)又是代數的(研究方法是代數的)，核心思想是坐標化思想，主要的數學思想是數形結合思想.解決本題需要學生具備綜合運用知識分析問題、解決問題的能力及直觀想象、邏輯推理、數學運算等數學核心素養.從知識點看，涉及橢圓的簡單幾何性質、直線與橢圓的位置關系、直線與直線的位置關系，這些都是大部分學生耳熟能詳、信手拈來的知識.大部分學生不能完整地解答此題，主要原因有3個：一是解決解析幾何解答題的信心不足；二是沒有建立解決解析幾何解答題的思維導圖，如例2，設點參數或線參數→表示點C,D的坐標→用點參數或線參數表示|CD|→用k表示|CD|(即建立目標函數)→求|CD|的最小值；三是運算能力欠缺，這是當下解析幾何復習教學亟須解決的問題.

許多高考試題是由課本例題、習題和以往的高考試題改編而成，因此在復習教學中要做到以下3點：一是回歸課本,立足于教材，重視教材的使用；二是在考前讓學生做一些典型的高考真題(試想如果教師在高考考前讓學生解決例1，那么學生能做出例2的可能性就會更大)；三是研究一些高考真題，在課堂上對一些高考真題適當加以延伸、推廣等，并引導學生加以解決，從而提升解決問題的能力．