基于線性化潮流的安全約束機組組合方法

岑海鳳，許苑，李濤，陳坤, 鄭溫劍，李志剛

(1.廣東電網公司廣州供電局，廣州 510620； 2.華南理工大學 電力學院，廣州 510640)

0 引 言

機組組合(Unit Commitment, UC)是電力系統短期發電調度的重要任務之一。在UC問題中，一般將減少系統發電成本作為優化目標，在滿足負荷需求、備用需求等約束條件的前提下，確定各時段各機組的啟停狀態和出力大小。安全約束機組組合(Security-Constrained Unit Commitment，SCUC)進一步考慮了系統基態與預想故障下的網絡安全約束，可提高發電計劃的安全性[1]。為了改善求解效率，通常可將SCUC問題分解為UC主問題與網絡安全校驗子問題來處理[2]。

由于考慮了潮流方程，UC在數學上是一個非凸的混合整數非線性規劃問題，求解十分困難。直流潮流(DC Power Flow, DCPF)模型是目前UC廣泛采用的模型[3-5]。它針對UC非凸性的來源，對潮流等式約束進行了線性近似，計算效率高，但難以將其應用于與電壓、無功相關的研究領域。且當線路電阻電抗比R/X比較大或網絡電壓偏離額定值比較大時，DCPF模型所得到的結果誤差大[6]。針對DCPF模型的不足，許多學者對考慮了交流潮流(AC Power Flow, ACPF)約束的UC進行了研究[7-8]。但因為問題本身的非凸性，目前所采用的方法難以求得全局最優解，不能保證求解的質量。而隨著凸優化理論的發展，出現了將潮流等式約束進行凸松弛處理，從而轉換為凸優化問題求解的方法[9]。該方法可以保證求解的質量，但在松弛不精確的情況下，其所得到的解沒有實際物理意義。針對DCPF模型的不足與應用ACPF的局限性，不少學者對考慮了電壓與無功的線性化潮流模型進行了研究[10-11]。線性化潮流模型基于泰勒級數展開等數學變換，可以準確地逼近ACPF，目前已在最優潮流問題中得到了應用[12-13]。

線路潮流與節點電壓在N-1條件下的安全校核是最為常見的網絡安全校驗問題[14-15]。為了掌握N-1線路開斷后的系統狀態，通?？梢岳弥烽_斷分布系數 (Line Outage Distribution Factor，LODF)[16-17]或靈敏度分析法[18]來計算。LODF以DCPF模型為基礎，憑借其可通過基態斷線線路的有功潮流計算故障后網絡的有功潮流分布。但是LODF同樣不能計算故障后的電壓與無功分布。而靈敏度分析法雖然可提供節點電壓、線路有功和無功潮流等全面的運行數據，但其中的靈敏度系數與系統故障前的運行狀態有關，難以應用于UC問題中。針對上述問題，文中提出了一種可計算故障后的電壓和無功分布、僅與網絡結構相關的改進支路開斷分布系數(Modified Line Outage Distribution Factors，MLODF)。文中主要創新點如下：

(1) 文中對于一種線性化潮流模型，推導了其對應的MLODF。利用該MLODF可準確逼近線路斷線后系統的節點電壓、線路有功和無功分布；

(2)文中提出了一種基于MLODF的SCUC模型，該模型較傳統基于LODF的模型可提供更為安全的發電計劃。

文中首先對MLODF進行了推導；接著描述了基于MLODF的SCUC模型；然后介紹了模型的求解方法；最后通過算例分析說明所提出模型的性能。

1 MLODF的推導

對于一種線性化潮流模型，這節展示了其對應MLODF的推導過程。

在靜態安全分析中，通常使用靈敏度分析法對線路開斷的場景進行模擬。靈敏度分析法將支路開斷視為正常運行情況下的一種擾動，通過節點注入功率的變化量來模擬線路開斷的影響。圖1對支路nm開斷的場景進行了模擬。

如圖1(a)、圖1(b)所示，線路開斷前、后應滿足的功率平衡方程式分別為式(1)、式(2)：

(1)

(2)

如圖1(c)所示，模擬線路開斷時，假設除斷線線路外，其余線路潮流應與斷線后的潮流一致。此時列寫節點功率平衡方程式有：

(3)

將式(3)減去式(2)可得：

(4)

式中ΔPn+jΔQn、ΔPm+jΔQm分別為模擬線路開斷前后節點n、m的注入功率變化量。

在文獻[10]中，采用了下列線性表達式來逼近支路潮流：

Pij=gij(Vi-Vj)-bij(θi-θj)

(5)

Qij=-bij(Vi-Vj)-gij(θi-θj)

(6)

(7)

(8)

整合式(7)和式(8)，可得到節點注入功率的表達式：

(9)

式中Y=G+jB為節點導納矩陣；Y=G+jB為不包含并聯元件的節點導納矩陣；Ysh=Gsh+jBsh表示節點并聯元件向量。

通過對式(9)執行一階泰勒級數展開，可以計算節點注入功率與節點電壓間的靈敏度系數：

(10)

在模擬線路nm開斷時，當給定節點注入功率變化量ΔP、ΔQ時，可以通過靈敏度系數求解節點電壓變化量ΔV、Δθ：

(11)

其中：

(12)

根(11)，可以計算節點n、m的電壓變化量：

(13)

整合(7)、式(8)和式(13)，可以得到故障前線路nm潮流、故障后線路nm潮流以及故障前后節點n、m注入功率變化量：

(14)

將式(4)帶入式(14)得：

(15)

根據式(11)和式(15)，可通過故障前線路nm潮流計算故障前后各節點電壓的變化量：

(16)

定義αi,nm、βi,nm、εi,nm、γi,nm為故障前線路nm的潮流與故障前后節點i電壓變化量間的靈敏度系數。因此可將故障后節點i的電壓表示為：

(17)

(18)

此外，故障后線路ij的潮流可表示為：

(19)

其中：

(20)

類似地，ΔQij、ΔPji、ΔQji也能通過故障前線路nm的潮流計算得到。

2 SCUC的數學模型

2.1 優化目標

文中SCUC的優化目標是最小化系統的發電成本。而火電機組的發電成本可用下列線性函數來描述：

(21)

2.2 約束條件

(1)節點功率平衡約束

(22)

(23)

(2)旋轉備用約束

(24)

(25)

(26)

rdg,t-pg,t≤0

(27)

(28)

(3)爬坡約束

-RDg≤pg,t-pg,t-1≤RUg

(29)

式中RUg和RDg為單個時段中機組的爬坡容量與滑坡容量。

(4)機組狀態變量間的邏輯約束

ug,t-ug,t-1=xg,t-gg,t

(30)

(31)

(32)

ug,t∈{0,1},0≤xg,t≤1,0≤yg,t≤1

(33)

其中，MDg為機組最小停機時間。

(5) 無功出力約束

(34)

(6)基態網絡安全約束

(35)

(36)

(7) N-1網絡安全約束：

(37)

(38)

3 模型的求解

由于電力網絡中線路眾多，需要考慮的N-1安全約束數目也很多。然而絕大多數的N-1安全約束是不起作用約束，可以在優化模型中忽略。為了減少處理的N-1安全約束數目，文中借鑒了文獻[3]的方法，通過反復校驗添加的方式來處理N-1安全約束。具體流程圖如圖2所示。

圖2 處理N-1安全約束的流程圖

首先求解基態的UC問題，意味著需要將約束式(22)～式(36)加入至模型中。根據求解結果，可以得到基態下的線路潮流和節點電壓。然后，可通過式(37)利用MLODF計算各條線路斷線后的網絡潮流。接著，對所有N-1故障進行安全校驗，若所有故障后的線路潮流和節點電壓均滿足式(38)，則說明目前的UC結果能夠滿足N-1準則，得到了最終解；若不滿足，則需要以式(37)、式(38)的形式將相應的線路約束和電壓約束加入至模型中求解。而求解完包含N-1安全約束的SCUC問題后，還需根據式(37)重新分析故障后的網絡潮流，以判斷是否有額外的N-1約束需要加入求解的模型中。就這樣通過反復地校驗、添加約束，直至得到的解滿足所有N-1安全校驗為止。

4 算例分析

文中SCUC的調度周期為24 h。這節首先對6個測試系統進行N-1故障分析來說明MLODF的準確性；接著對比了6節點系統和118節點系統中不同模型的SCUC結果的安全性；最后通過分析118節點系統中的SCUC結果來說明所提出模型的安全性。

文中采用了文獻[13]的方法將約束式(36)和式(38)線性化，從而將SCUC轉化為混合整數線性規劃問題。所有的優化問題通過在軟件MATLAB R2018a上調用求解器Gurobi 8.1.1[20]來求解。

4.1 MLODF準確性分析

表1 不同線性化潮流模型的誤差

假設DCPF模型的電壓幅值均為額定電壓。

由表1可以看出，MLODF與ACPF的電壓、有功潮流的誤差均小于DCPF。因為MLODF在DCPF的基礎上考慮了電壓與無功的影響，因此其對ACPF的近似效果更好。此外，從表1中的第4列和第7列可以看出，MLODF 與原始線性化潮流模型的誤差數量級大致為1e-15。這體現了文中MLODF推導過程的正確性。

4.2 MLODF與LODF的安全性對比

為了說明文中提出的基于MLODF的模型(M1)較傳統基于LODF的模型(M2)的優越性，本節對6節點系統和118節點系統進行了測試，對比了兩種模型的SCUC結果。

6節點系統包含了3臺發電機與7條輸電線路。系統的線路參數、發電機特性數據和負荷數據均取自文獻[19]。網絡結構圖如圖3所示。

圖3 6節點系統網絡結構圖

圖4展示了M1模型和M2模型的SCUC中各機組的啟停狀態。其中前者的發電成本為111 328.590$，后者的為109 560.502$。

圖4 6節點系統各機組的啟停狀態

由圖4可看出，當使用M2模型時，G3機組在1-9時段內沒有啟動。這主要是由于以下兩個原因引起的：(1) M2模型沒有考慮無功功率平衡約束。G1機組的無功出力上限為50 Mvar，而對于時段1、8和9，系統總的無功負荷分別為50.37 Mvar、51.06 Mvar和53.71 Mvar。為了滿足系統的無功需求，采用M1模型時會在相應時刻啟動較為便宜的G3機組與G1機組一同承擔負荷;(2) M2模型沒有考慮系統可能發生的電壓越限問題。對于時段2-7，當僅有G1機組啟動時，若線路1-2發生斷線，此時節點2的電壓往往會低于電壓下限值。此時需啟動G3機組來改善網絡的功率分布以提高節點2的電壓。

為了進一步說明M1模型較M2模型的安全性，下文對118節點系統進行了測試。118節點系統包含了54臺發電機與186條輸電線路。系統的線路參數、發電機特性數據和負荷數據均取自文獻[19]。圖5展示了基于M1模型和基于M2模型的SCUC中各機組的啟動時段。其中前者的發電成本為803 693.693$，后者的為794 533.039$。

圖5 118節點系統各機組的啟動時段

由圖5可以看出，M1模型較M2模型需額外啟動4臺機組，它們分別為連接在節點8的3號機組、連接在節點32的14號機組、連接在節點36的16號機組和連接在節點59的24號機組。當不啟動3號機組時，基態下線路8-5為無功重載線路。當線路8-5開斷后，故障前線路上的潮流主要往短線路8-30轉移，這會造成線路8-30視在功率過載。此時通過啟動3號機組可以改善網絡潮流分布。若14號與16號機組總處于停機狀態時，隨著網絡無功負荷的增加，部分時段中節點31和節點39、節點40的電壓會低于下限值。因此M1模型會在相應時段啟動這兩個機組以提高附近節點的電壓。此外，由于在8-24時段僅啟動21號機組不能滿足節點59的無功負荷需求，因此M1模型會在相應時段啟動24號機組來承擔無功負荷。

從上述兩個算例可以看出，由于M1模型考慮了電壓和無功分布，基于M1模型的SCUC結果可解決潛在的電壓越限和視在功率越限問題。因此較傳統的M2模型，M1模型可提供更為安全的發電計劃。

4.3 MLODF安全性分析

為了探究基于MLODF的SCUC結果對于實際N-1線路開斷故障的承受能力，這節對118節點系統進行了測試。仿真時將SCUC結果中的相關變量(PQ節點的注入功率、Vθ節點的電壓和 PV節點的電壓幅值和有功注入功率)固定后進行ACPF計算，分析了線路開斷后的系統狀態。

將SCUC結果在線路N-1故障下進行ACPF校驗，發現有48處線路潮流越限(在所有N-1故障中占比為0.518%)、有152處節點電壓越限(在所有N-1故障中占比為1.224%)。其中線路潮流越限的情況主要發生在線路65-68開斷時，線路47-69與線路49-69的潮流發生越限。電壓越限的情況主要有兩種。一種發生在線路37-39開斷時，節點39與節點40的電壓低于下限值；另一種發生在線路100-103開斷時，節點110、111與112的電壓低于下限值。對越限情況的嚴重程度進行分析，計算得到的平均潮流越限量為10.177 MV·A(占線路視在功率容量的5.356%)、平均電壓越限量為0.023 2 p.u.。由于越限量大，此時SCUC結果不能在這些故障發生時保障系統的安全性。而對于其他98%以上的N-1故障，SCUC結果可以保障線路潮流和節點電壓在安全的限值之內。因此基于MLODF的SCUC結果能在絕大多數N-1故障下保障系統的安全性。

為了進一步分析嚴重故障對于模型準確度的影響，圖6～圖8展示了在峰荷時段17、對電壓與線路潮流準確度影響最大的斷線場景下的網絡潮流分布。由圖6可以看出，此時節點39和節點40發生了電壓越限。這是由于當線路37-39開斷后，節點39和節點40上的無功負荷不能通過近距離的連接在36號節點上的機組直接承擔，從而引發了節點電壓下降。在圖中可觀察到此時的節點電壓已經偏離額定電壓，即偏離了近似時的假設條件，從而導致了誤差的增大。而從圖7可看出，即使在嚴重故障場景下，該模型仍對線路有功功率保持了良好的逼近效果。由圖8可以看出，此時105號線路47-69與106號線路49-69發生了潮流越限。這主要是因為此時模型對線路無功功率近似效果差造成的。線路47-69與線路49-69均為長線路，支路電抗大。當線路65-68開斷時，連接在節點49、節點69的發電機組均處于啟動狀態。此時節點49、節點69電壓分別為0.959 p.u.和1.012 p.u.，而節點47與節點49相連，作為負荷節點，其電壓要低于節點49。由于線路47-69與線路49-69電抗大、電壓差值大，所以線路的無功損耗大。通過式(7)和式(8)可知，文中所采用的線性化潮流模型忽略了支路損耗。所以此時模型對相關線路無功功率的逼近效果差，從而導致了其與相關線路視在功率間的誤差增大。

圖6 時段17線路37-39開斷時系統電壓分布

圖7 時段17線路65-68開斷時系統有功功率分布

圖8 時段17線路65-68開斷時系統視在功率分布

從上述的分析可以看出，少數N-1故障在交流潮流校驗下發生越限是由于節點電壓偏離額定電壓或線路無功損耗增大造成的。在這些故障情景下，實際的網絡潮流偏離了線性化潮流模型節點電壓為額定電壓、忽略支路損耗的假設，因此此時模型誤差變大，進一步導致了交流潮流校驗越限。

5 結束語

文中針對一種線性化潮流模型推導了與之對應的MLODF，并將MLODF應用到了SCUC中。算例的結果表明：

(1)MLODF較DCPF對ACPF的近似效果更好。此外，它保持了原有線性化潮流模型的精度，這說明了推導過程的正確性；

(2)基于MLODF的SCUC模型考慮了無功和電壓約束。較傳統基于LODF的模型，它能提供更為安全的發電計劃；

(3)對于絕大多數N-1故障，基于MLODF的SCUC結果可以保障線路潮流和節點電壓在安全的限值之內。

需要指出，部分線路開斷時，可能會出現系統電壓偏離額定值或線路無功損耗過大的情況。此時MLODF模型的精度降低，得到的SCUC結果不夠理想。因此，下一步的工作內容主要在于如何進一步地提高模型的準確度。