基于統一灰色生成算子的三參數離散灰色預測模型及其應用

李 惠, 曾 波, 茍小義, 白 云

(1.重慶工商大學 管理科學與工程學院,重慶 400067 2.重慶工商大學 工商管理學院,重慶 400067)

0 引言

灰色預測模型是灰色理論的重要組成部分，按變量個數可分為單變量灰色預測模型和多變量灰色預測模型兩類[1]。單變量灰色預測模型通過灰色累加生成算子弱化原始序列隨機性并挖掘其變化規律與演化趨勢，具有變量個數少、建模過程簡單等優點[2]，近年來得到了更為廣泛的應用[3～6]。GM(1,1)模型[7]是鄧聚龍教授最早提出的含一階差分方程一個變量的灰色預測模型，是灰色理論預測分支的起點和基礎。目前，GM(1,1)已成為一個重要的單變量灰色預測模型，被廣泛應用于國計民生的多個領域[8～10]。

GM(1,1)本質上為齊次指數函數。然而，當建模序列嚴格滿足齊次指數特征時，該模型同樣存在模擬誤差。謝乃明教授較早發現并對該問題進行了系統分析和深入研究，認為GM(1,1)模型參數估計源于離散形式的差分方程，而模擬和預測采用的是連續形式的微分方程[11]。從離散形式的估計到連續形式的預測這一變換過程存在模型機理誤差。在此基礎上提出了含一階差分方程一個變量的離散灰色預測模型DGM(1,1)[12]。DGM(1,1)模型能實現對齊次指數序列的無偏模擬，是對GM(1,1)模型在建模機理方面的拓展和優化。

然而現實世界中，大多數時間序列呈現出非齊次指數的特點。在此情況下，DGM(1,1)固有的模型結構導致其面向非齊次指數序列時很難得到一個滿意的預測效果。因此，曾波以DGM(1,1)為基礎，通過引入線性灰作用量構建了一個含三個參數的離散灰色預測模型TDGM(1,1)[13]。該模型具有結構自適應性和面向齊次/非齊次指數序列及線性函數序列的無偏性，是一個性能良好的單變量灰色預測模型。

為了進一步提高TDGM(1,1)模型精度，何承香等[14]借助粒子群算法對模型參數，包括初始值、背景值系數及累加生成階數進行了組合優化，從實際應用效果來看，該研究有效提高了TDGM(1,1)的綜合建模性能。進一步研究發現，累加生成階數對模型性能的影響大于模型初始值和背景值系數的影響，說明階數是影響灰色預測模型性能的一個重要參數。

曾波等在文獻[15]中提出了面向實數域的統一灰色生成算子，實現了累加生成階數從R+到R的拓展，同時解決了灰色累加生成算子與灰色累減還原算子及灰色零化算子的統一問題，指出灰色算子階數可小于0(r<0)，表示該算子具備挖掘時序數據差異信息的功能。然而，當前TDGM(1,1)模型中的灰色累加生成算子仍局限于正實數R+，其同等重要的序列差異信息挖掘功能未得到充分利用。

為此，本文借助文獻[15]中面向實數域統一灰色生成算子的思想，對TDGM(1,1)模型的累加生成算子進行實數域拓展和優化，在此基礎上構建了一個新的TDGM(1,1)模型，簡稱TDGM(1,1,r)，其中階數r∈R。本文詳細介紹了新模型的定義、參數估計方法、模型時間響應式和還原式的推導。本文通過構建TDGM(1,1,r)模型的某裝甲裝備維修費用預測模型，對該模型的有效性和實用性進行了檢驗，結果顯示其模型綜合性能優于其他同類單變量灰色預測模型。

1 灰色累加及累減算子的統一

傳統灰色累加生成算子主要是挖掘原始序列增量信息的預處理工具，而其逆算子灰色累減算子則主要用于對累加后的模擬序列作還原處理。實數域灰色生成算子[15]通過引入實數δ將灰色生成算子的階數近似地拓展到了實數域，從而實現了傳統灰色累加生成算子及灰色累減生成算子的統一。

(1)

根據文獻[15]可知，定義1中通過r的正負性可判斷實數域灰色生成算子類型，其中，r>0對應累加算子；r<0對應累減算子，因而其具有更強的數據預處理能力。另一方面，r的正負性可判斷實數域灰色生成算子的功能，具體地，當r>0，表示獲取序列增量信息的功能；當r<0，表示獲取差異信息的功能。因而其能有效滿足不同實例情況下灰色生成算子對原始序列數據增量或差異信息的挖掘。因此，將實數域灰色生成算子運用到灰色預測模型的構建有益于挖掘模型預處理能力及拓寬模型作用空間的潛力。

2 面向統一灰色生成算子的三參數離散灰色預測模型

以灰色累加及累減算子的統一為基礎，本小節引入實數域灰色生成算子，構建了預處理能力更強、作用空間更廣的面向統一灰色生成算子的三參數離散灰色預測模型。

2.1 模型定義

(2)

為面向統一灰色生成算子的三參數離散灰色預測模型，簡稱TDGM(1,1,r)模型。其中，階數r∈R，特別地，當r<0時，灰色生成算子對原始序列差異信息的挖掘功能在TDGM(1,1,r)模型中首次得以體現，有效增加了模型的作用空間和適應性。

2.2 模型求解方法

(3)

證明略。

(1)TDGM(1,1,r)的時間響應式為

(4)

(2)TDGM(1,1,r)的還原式為

(5)

3 應用舉例：裝甲裝備維修經費預測

裝備維修經費是用于武器裝備維護、修理及維修器材、設備購置等相關保障活動的經費，是裝備經費的重要組成部分[16]。裝甲裝備是裝備維修經費按專業劃分中的一項。目前，裝甲裝備維修經費存在發展趨勢判斷不準、經費標準不盡合理等問題[17]。預測裝甲裝備維修經費總量，可為裝甲裝備維修經費配置及管理提供科學依據。

表1 裝備維修經費投入

以某單位 2010～2018 年裝甲裝備維修經費為例(數據來自文獻[16]，詳見表1)，預測該單位未來5年經費投入。針對該單位樣本數量少及規律性不強的特點，構建了基于TDGM(1,1,r)的裝甲裝備維修經費投入預測模型。

具體地，選取前7個數據為建模序列，后2個數據為預測序列，其中,

=(593,586,…,1539)

使用MATLAB及PSO算法(MATLAB自帶)構造TDGM(1,1,r)模型并得到最優階數r*=-0.119996，表明當r*=-0.119996時，TDGM(1,1,r)模型對該單位裝甲裝備維修經費預測具有最佳的模擬性能。在本例中，r*=-0.119996<0，階數r突破了傳統灰色模型階數取值為r>0的約束，表示灰色生成算子具備挖掘時序數據差異信息的功能，且對原始序列差異信息的挖掘功能得到了有效應用。

進一步，根據TDGM(1,1,r)模型可得到裝甲裝備維修經費模擬值/預測值，并可計算殘差、相對模擬/預測誤差。模擬/預測誤差的公式如下:

(6)

為比較TDGM(1,1,r)模型中r取值不同對模型性能的影響，本文分別取r=r*,0.1,0.5,1對該裝甲裝備維修經費進行仿真，仿真結果見表2。

(7)

表2 不同模型對裝甲裝備維修經費的模擬與預測結果

表3 不同模型的誤差對比

圖1 不同模型誤差柱狀對比圖

圖2 裝甲裝備維修經費增長曲線圖

為直觀地對比不同模型的誤差，根據表3計算結果繪制階數取值不同所對應模型的誤差柱狀對比圖，如圖1所示。

根據圖1可知，四種模型的平均相對預測誤差柱狀都較低，且r=0.1, 0.5, 1所對應模型的平均相對模擬誤差及綜合百分誤差柱狀圖明顯高于r=r*所對應模型。因此，r=r*時模型性能最佳。進一步，根據表3結果，r=r*時模型綜合精度為94.56%，精度等級為II級，可用于預測。

應用TDGM(1,1,r)模型對該單位2019～2023年裝甲裝備維修經費投入進行預測，結果如表4所示。

根據表1及表4繪制2010～2023年裝甲裝備維修經費增長曲線圖，如圖2所示。

根據表4預測結果可知，到2023年，裝甲裝備的維修經費將近24+32萬元，較2010年上漲3倍之多。同時根據圖3，可以直觀地看出歷年來裝甲裝備維修經費投入總體呈現上漲趨勢，特別地，裝甲裝備維修經費在未來五年的投入均較穩定的增漲，且增長趨勢較往年平均趨勢更為陡峭。該預測對未來裝甲裝備維修經費投入具有一定的參考價值，可為裝備維修經費總量的投入、管理、分配提供科學依據，避免造成預算過度。

表4 2019～2023年裝甲裝備維修經費投入預測數據

4 結論

灰色生成算子挖掘原始序列增量信息的功能已得到大量運用，而其挖掘原始序列差異信息的功能未得到有效利用。為此，本文引入實數域統一灰色生成算子構造了面向r-RGO的三參數離散灰色預測模型，該模型中階數的正負性可用于判定灰色生成算子功能，特別地，r<0表明灰色生成算子具有對原始序列差異信息挖掘功能，該功能在TDGM(1,1,r)模型中首次體現。將TDGM(1,1,r)模型應用于裝甲裝備維修經費的預測，結果顯示灰色算子r<0,突破了傳統灰色模型階數取值r>0的約束，同時灰色生成算子挖掘原始序列差異信息的功能得到了有效應用。

本文通過構建新型灰色預測模型及案例應用驗證了挖掘原始序列差異信息也是重要數據預處理手段。如何將灰色生成算子差異信息挖掘功能應用于其他灰色預測模型是本團隊下一步擬研究的主要內容。