混合分數布朗運動下歐式期權模糊定價研究

林先偉, 秦學志, 尚 勤

(大連理工大學 經濟管理學院,遼寧 大連 116024)

0 引言

金融市場經常受到一些模糊不確定因素的影響，使得金融衍生產品的定價具有模糊特征。Zadeh提出的模糊集理論很好地解決了這類問題[1]。近年來，模糊集理論作為一種有用的工具在金融衍生產品定價中得到了廣泛的應用。Wu[2]基于Black-Scholes模型得到了歐式期權的模糊價格，并給出了任意給定期權價格的置信度。Zhang等[3]提出了標的股票價格、無風險利率和波動率為模糊數時的幾何亞式期權模糊價格。Qin等[4]用模糊數刻畫到期時標的股票價格的不確定性, 在此基礎上研究了長記憶性特征下的兩值期權模糊定價問題。馬勇等[5]研究了基于模糊環境下歐式障礙期權定價問題, 得到了歐式障礙期權的顯示解。Li等[6]提出了一種帶模糊參數的歐式期權定價方法，得到了模糊期權價格。Lu等[7]給出了不確定股票市場下歐式期權的定價公式。

根據分形市場理論，長記憶性描述的是序列的高階相關結構。在股票市場中，長記憶性是指不同時期的股票價格在相隔較遠時仍然具有一定的相關性，過去的價格信息會對未來的價格產生長期持續的影響[8]。相關學者通過一系列的實證研究發現金融市場存在顯著的長記憶性[9,10]。Peters[11]基于分形理論將Hurst指數引入金融領域，作為衡量長記憶強度的指標。李大夜[12]建議可以用確定時間標度下的局部Hurst指數研究市場趨勢。為了刻畫金融市場的長記憶性特征，相關學者采用了分數布朗運動模型來描述資產價格的變化。然而, 分數布朗運動不是半鞅，很難定義關于分數布朗運動的隨機積分。為了解決這一問題，Shiryae等[13]提出用混合分數布朗運動模型來刻畫金融資產的價格變化過程，并進行相應的期權定價。混合分數布朗運動本質上是布朗運動和分數布朗運動的線性組合的高斯過程族。Cheridito[14]證明了在Hurst指數條件下，混合分數布朗運動等價于標準布朗運動，因此金融市場不存在套利機會。Xiao等人[15]討論了混合分數布朗運動環境下的股權權證定價模型，給出了解析解。Sun[16]研究了混合分數布朗運動環境下的外匯期權定價模型。Rao[17]利用混合分數布朗運動刻畫股票價格的變化過程，得到了混合分數布朗運動環境下亞式期權的定價公式。Ahmadian[18]假設股票價格服從混合分數布朗運動，得到了混合分數布朗運動環境下亞式彩虹期權的定價公式。

綜上所述，本文提出了一種新的歐式期權糊定價模型，該模型考慮了股票價格的長記憶性特征。在這里，本文假設，相關的實證研究已經驗證了這一假設是有效的[19]。本文的學術貢獻主要體現在：首先，為了刻畫金融市場的長記憶性特征，采用混合分數布朗運動去描述股票價格的動態變化；其次，在混合分數 Black-Scholes 模型的基礎上, 基于標的股票價格、無風險利率和波動率均是模糊數的假定下，構建了歐式期權模糊定價模型，進一步的補充了現有文獻的不足; 最后，分析了金融市場長記憶性的度量指標Hurst指數H對定價模型的影響，并通過數值實驗檢驗了該定價模型的可行性和合理性。

1 基礎知識

1.1 混合分數布朗運動[16]

(1)

其中α和β都是不為0的常數。

混合分數布朗運動有如下性質：

(2)

(3)

(vi)對所有t∈R+

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

2 混合分數布朗運動下歐式期權模糊定價模型

2.1 混合分數布朗運動下歐式期權定價模型

設(Ω,p)是一個具有σ-流的完備的概率空間。Ft是由BH(t)生成的σ-流，p表示真實概率測度。現在考慮混合分數Black-Scholes市場有兩種資產，設債券價格Mt滿足下面方程:

dMt=rMtdt,M0=1,0≤t≤T

(11)

其中r表示無風險利率。

股票價格St滿足下列隨機微分方程:

(12)

其中μ,σ分別表示預期收益率和波動率。

(13)

那么可以得到

(14)

參考文獻[16]，以股票價格St作為標的、K為敲定價格、帶有到期日T的歐式看漲期權在時刻t的價格為

Ct=f(St,T,t,H,K,r,σ)

=StN(d1)-Ke-r(T-t)N(d2)

(15)

2.2 混合分數布朗運動下一般模糊定價模型

(16)

金融市場的長記憶性可以用Hurst指數H來度量，下面的定理表示了Hurst指數對歐式期權模糊價格的影響。

定理2Hurst指數對歐式期權模糊價格的影響

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

2.3 混合分數布朗運動下具體模糊定價模型

(24)

(25)

2.4 任意給定期權價格的置信度

(26)

對于等式(26)，對于任意給的那個的歐式期權價格c，它的置信度α可以通過以下的優化問題可以得到，具體可以參照Wu[2]。

3 數值實驗

表1 基準模型參數的取值

3.1 任意給定的歐式看漲期權價格c的置信度

表2 對任意給定的歐式看漲期權價格c對應的置信度

圖1 Hurst數對期權價格的影響

圖2 Hurst指數,到期日對期權價格的影響

3.2 長記憶性的度量指標Hurst指數對該定價模型的影響

表3 不同下歐式看漲期權模糊價格的α-截集區間

3.3 穩健性分析

為進一步分析模型參數的敏感性，下面通過控制變量法分析模型的穩健性。

表4 隨機模型歐式期權價格和模糊隨機模型歐式期權模糊價格的α-截集

這表示歐式期權價格的平均水平是3.4028，風險是0.1699。

4 結論

歐式期權是金融市場上流行的金融衍生產品，對其準確定價具有重要的理論和實踐意義。本文研究了基于混合分數布朗運動下歐式期權模糊定價問題，取得的主要結論如下：(1)采用混合分數布朗運動來刻畫標的股票價格的動態變化，在股票價格、無風險利率、波動率均為模糊數的假定下, 構建了歐式期權模糊定價模型。(2)分析了長記憶性特征的度量指標Hurst指數H對定價模型的影響：當到期日0