基于麥可納姆輪動力學特征建模在模型預測控制中的應用

馬 俊，荊學東，杜黎童，詹 佳

（1. 海裝項目管理中心 潛艇室，北京 100000；2. 上海應用技術大學 機械工程學院，上海 201418；3. 上海船舶設備研究所，上海 200031）

0 引言

隨著《中國制造2025》強國戰(zhàn)略的要求陸續(xù)推行，移動機器人技術在制造業(yè)、服務業(yè)、醫(yī)療業(yè)等生產(chǎn)生活中取得了快速的發(fā)展與應用，市場上現(xiàn)有的移動機器人大多為四輪差速驅(qū)動，該驅(qū)動方式的機器人運動靈活性差、精度低，應用范圍局限性高，不能很好的發(fā)揮出移動機器人應有的性能特點[1]。因此開發(fā)出高機動性、高精度的全向移動機器人成為世界各國移動機器人技術攻堅的關鍵核心點。目前全向移動機器人的技術研究主要包括模型建立、控制、導航定位和路徑規(guī)劃等[2-5]。

全向移動機器人的控制是指通過輸出控制電機的角速度的大小和方向來驅(qū)動機器人按照預設的路徑行駛[6]。目前主要應用的軌跡跟蹤方法包括各種改進的PID控制[7-8]、滑?？刂芠9]、反演控制[10]、魯棒自適應控制[11]、模型預測控制等。文獻[12]余紅英等在智能駕駛中引入PID控制，但由于PID調(diào)參比較麻煩，構建的PID控制器無法精確控制車輛的軌跡跟蹤。馬海濤等[13-14]設計了滑?？刂破饔糜谲壽E跟蹤，該控制器因滑模方法的特性容易引起“抖振”現(xiàn)象，實際控制效果不是十分理想；文獻[15]針對機器人模型參數(shù)不確定性問題，設計了魯棒自適應控制器，提高了移動機器人軌跡跟蹤的魯棒性；文獻[16]建立了雙輸入-雙輸出的非線性運動學模型，提出了一種融合偏差智能轉(zhuǎn)化評價函數(shù)法和指數(shù)穩(wěn)定控制的控制方法，但模型復雜性高、計算量大；GUO等[17]將自適應控制方法和滑?？刂品椒ㄏ嘟Y合設計橫向自適應模糊滑模控制器，提高了智能車輛軌跡跟蹤精度和響應特性。模型預測控制（Model Predictive Control，MPC）是一種動態(tài)規(guī)劃方法，由于其具備對系統(tǒng)模型要求低、魯棒性和抗干擾性好的特點，被廣泛應用于智能機器人軌跡跟蹤控制[18-19]。

以上研究都是強調(diào)以移動機器人的運動學為基礎構建運動控制器，即便運用了動力學模型，所設計的控制器都建模復雜, 計算量大。本文針對提高Mecanum輪全向移動機器人的路徑跟蹤效果，研究了Mecanum輪全向移動機器人的動力學模型，從原動力學方程出發(fā)建立特征模型，利用慢時變差分方程描述控制量與輸出量的特征關系，降了模型的復雜性，提高了計算速度，易于運動控制器的設計[20]，并設計了基于動力學特征建模的MPC軌跡跟蹤控制器來提高全向移動機器人運動的精度和魯棒性。

1 數(shù)學模型的建立

1.1 全向機器人的動力學分析

本文研究的是采用O-長方形的Mecanum輪分布結構的移動機器人，有4個交流伺服電機獨立驅(qū)動，實際上是通過直接控制4個Mecanum輪的轉(zhuǎn)動方向和速度，間接實現(xiàn)機器人在工作環(huán)境中的精確控制。如圖1所示，以移動機器人的的幾何中心建立坐標系（xy），1θ?、2θ?、3θ?、4θ?分別為4個Mecanum輪的轉(zhuǎn)速，l1為機器人上下2個車軸距離的一半；l2為機器人兩邊車輪中心距離長度的1/2。Mecanum輪全向移動機器人具有3個方向的自由度，運用拉格朗日第二類方程從能量的角度分析系統(tǒng)的動力學，建立移動機器人的Lagrange函數(shù)。

圖1 Mecanum 四輪移動機器人

機器人行駛時，存在地面和空氣等阻力，整個系統(tǒng)存在能量損耗，假設阻力系數(shù)為μ，則整個系統(tǒng)的瑞利耗散函數(shù)為

在勢力和耗散力的作用下，拉格朗日第二類方程為

iQ為輪子的驅(qū)動力，將式（3）和式（4）代入式（1）可得：

1.2 特征建模

特征建模是根據(jù)機器人動力學特征、工作環(huán)境特征和控制特征相結合進行建模, 而不是單獨的建立移動機器的高階動力學模型，特征模型的形式比單純的機器人動力學方程簡單，便于實現(xiàn)運動控制器設計，它把移動機器人高階復雜動力學模型的特征信息都轉(zhuǎn)化為幾個攜帶相關特征量的特征參數(shù)，新優(yōu)化的特征模型不僅不會不丟失信息，而且降低了模型的階數(shù)，一般情況下用慢時變差分方程描述特征模型用。在文獻[21]中，對于如下形式的系統(tǒng)：

2 模型預測控制器的設計

2.1 MPC 模型預測

模型預測的原理是根據(jù)統(tǒng)當前的狀態(tài)向量，結合期望的控制量建立一個短期時間內(nèi)的數(shù)學預測模型，它可以對未來一段時間內(nèi)的輸出量進行預測，MPC算法包括預測模型，滾動優(yōu)化，以及反饋校正3個要素。MPC預測控制器的原理見圖2。

圖2 控制器原理

2.2 確定預測模型

根據(jù)移動機器人動力學的特征模型，構建系統(tǒng)狀態(tài)空間模型：

2.3 目標函數(shù)的設計

系統(tǒng)控制的目標是速度跟蹤控制，針對機器人在移動時可能會出現(xiàn)強烈振動現(xiàn)象，需要對控制的輸入量進行優(yōu)化，將模型性能指的評價函數(shù)定義為

2.4 預測控制

依據(jù)實際情況對機器人狀態(tài)、控制量及控制量增量設定上下限后，可以將多約束下的模型預測控制問題轉(zhuǎn)換為一個標準的二次型規(guī)劃問題：

以該控制量計算出當前系統(tǒng)的狀態(tài)信息，且把這一時刻的狀態(tài)信息做為新一輪模型預測的輸入，通過系統(tǒng)的滾動優(yōu)化會得到下一個時間點的控制增量，在這個MPC控制器中不斷循環(huán)計算，直至實現(xiàn)所有的控制過程為止。

3 試驗與結果分析

為了驗證本文設計的基于運動學特征建模軌跡跟蹤控制器的有效性，用Matlab仿真模擬移動機器人直線和圓型軌跡的跟蹤效果，并與傳統(tǒng)動力學建模設計的控制器做對比。取預測步長NP=40；控制步長NC=30；Q=50E，R=1E。

3.1 直線軌跡跟蹤

從圖3(a)可看出，面對簡單的直線軌跡時，采用特征建模的軌跡控制器和傳統(tǒng)建模的軌跡控制器的跟蹤效果都比較理想，即使存在初始誤差也能快速擬合到理論軌跡上。圖3(b)～圖3(d)因為初始位姿在x軸上存在初始誤差，所以2種軌跡控制器在速度v、x方向誤差和y方向誤差在初期存在一個較大的差距，后面又很快的穩(wěn)定在一個定值，從變化曲線上看，特征建?？刂破飨鄬Ω€(wěn)定，誤差變化小。

圖3 直線軌跡跟蹤效果

3.2 圓型軌跡跟蹤

圓型的參考軌跡表達式為

期望參考速度為vr=0.64 m/s，機器人的初始位姿（0.2, 1.8, 0）。

圓形軌跡跟蹤效果見圖4。

圖4 圓形軌跡跟蹤效果

圖4 圓形軌跡跟蹤效果（續(xù)）

從圖4(a)可看出，動力學特征建模的軌跡控制器在面對較復雜的圓型軌跡時，在初期因初始位置的原因軌跡會出現(xiàn)較小的抖動，但后期的跟蹤效果比較理想。傳統(tǒng)動力學建模的控制器初期軌跡的抖動相對較大，且跟蹤效果沒有特征建?？刂破鞯木雀摺D4(b)和圖4(c)反映出2個控制器在前期x方向和y方向的跟蹤速度都會出現(xiàn)突變和抖動，使用特征建?？刂破鞯乃俣韧蛔冚^小，抖動不明顯；傳統(tǒng)建模控制器的突變最大，前期速度抖動比較明顯，2者速度都比較符合余弦函數(shù)的樣條。圖4(d)中的誤差變化曲線再次證實了采用特征建模的控制器不僅前期軌跡抖動不明顯，且跟蹤的精度較高，系統(tǒng)控制器比較穩(wěn)定。

4 結論

1）針對Mecanum輪全向移動機器人軌跡跟蹤問題，利用特征建模理論對機器人動力學重新搭建特征模型，結合MPC算法設計一個基于特征建模的模型預測控制器。

2）對機器人動力學特征建模，簡化了運動控制器的設計，仿真結果表明，采用特征建模的模型預測控制器具有較好的路徑跟蹤效果，相較于傳統(tǒng)動力學建模控制器，特征建模控制器的跟蹤誤差更小、跟蹤效果更好，跟蹤速度突變較小，無明顯的速度抖動現(xiàn)象，控制器更穩(wěn)定。