沖擊載荷作用下黑砂巖動態斷裂參數的分形修正*

張人凡，朱哲明，王 飛，周 磊，王 蒙，江源峰

（四川大學建筑與環境學院災變力學與工程防災四川省重點實驗室，四川 成都 610065）

在深部地下硐室開挖過程中，裂隙巖體常常會早于不同形式的動力擾動載荷作用，且裂隙巖體結構強度和斷裂形式往往由內部的裂紋分布特征決定。目前，針對含不同裂隙特征巖體的動態裂紋擴展行為，已進行了一定程度的理想化假設研究，開展了大量的模型實驗和數值模擬驗證。這些裂隙巖體研究中在計算動態裂紋擴展速度時，都沒有充分考慮到裂紋擴展路徑具有明顯的偏轉特性，導致在計算動態斷裂韌度與裂紋擴展速度等斷裂力學參數時存在一定的誤差。因此，優化計算裂紋擴展速度、動態斷裂韌度等動態斷裂力學參數的研究方法就具有重大研究意義，為工程安全和防災減災工作提供一定的基礎理論支持。

深部地下硐室圍巖裂隙巖體內很有可能同時含有不同類型的地下空腔，針對不同類型空腔對裂紋動態擴展行為的影響，已經做了大量研究。Theocaris 等進行了橫向裂紋及與之相對位的空心孔的相互影響的實驗，發現裂紋在到達孔后發生不間斷暫時止裂的現象。Milios 等使用焦散斑測試設備，研究了在不同動荷載加載率下裂紋擴展的裂紋-孔洞相互作用，揭示出裂紋在靠近孔洞時孔洞有明顯吸引力。Murdani 等提出了一種延長裂紋止裂孔使用壽命的技術，并將該新型止裂技術運用在實際工程中。Ayatollahi 等進行了經典的拉伸模型實驗，發現空心孔對于裂紋擴展行為有明顯的抑制作用。Chen論述中強調了空心孔對于裂紋擴展的影響，提出了可用于檢測止裂孔效能的方法。Wang 等使用激光焦散斑測試系統，對裂紋-孔相互作用機理進行了研究，揭示了孔徑大小和裂紋擴展行為及動態應力強度因子之間的關系。Wang 等利用落錘沖擊系統和焦散斑測試裝置，研究了預制空心孔對動態裂紋的影響，測定了有機玻璃試件上預制裂紋的動態應力強度因子和擴展裂紋裂尖的斷裂速度。王飛等提出了修正側開單裂紋半孔板，對砂巖裂紋動態擴展全過程及預制雙空心孔對裂紋擴展的影響進行了研究，實現了裂紋定區域止裂。

裂隙巖體的動態斷裂行為由于會遭受應力波慣性效應作用的影響，往往比靜態斷裂行為更復雜，這是因為應變率大小對巖石材料的材料斷裂力學參數影響極大。對于裂隙巖體的動態斷裂行為，已有許多研究方法，例如應變片法、實驗-數值法和高速相機測試法，而基于分形理論的相關研究還處于初步階段。分形理論最初由Mandelbrot創立，經過幾十年的發展，在巖石斷裂力學領域得到廣泛應用。Sakellariou 等研究了巖石表面粗糙度的分形特性。Nagahama基于分形理論對巖石的破壞損傷過程進行了研究。謝和平研究得出裂紋路徑的分形維數對裂紋擴展速度和動態應力強度因子影響很大，并推導出動、靜態斷裂韌度與分形裂紋擴展速度、裂紋長度和分形盒維數的關系。這為本文中對于裂紋擴展路徑的分形研究提供理論依據，也是本文中利用分形理論方法修正裂紋動態斷裂韌度研究的意義。

為了研究分形理論對裂紋動態擴展行為計算精度的影響，采用分離式霍普金森壓桿（split Hopkinson pressure bar, SHPB）作為動態實驗裝置，對黑砂巖修正側開單裂紋半孔板（improved single cleavage semicircle specimen, ISCSC）試樣進行了動態沖擊實驗，采用裂紋擴展計對裂隙巖體的動態斷裂時刻等斷裂力學參數進行動態監測，隨后基于分形理論對裂紋擴展速度進行修正，基于實驗-數值法采用有限元軟件對動態擴展韌度進行計算，討論修正前后砂巖材料的動態斷裂參數的精準度，得到利用分形理論對黑砂巖的動態斷裂力學參數測試的影響。

1 模型實驗

1.1 試件制備

選取雅蒙黑砂巖作為實驗原材料，該材料最顯著的特點是其巖石顆粒較致密、黏結性能較好、分布較均勻。經測定，雅蒙黑砂巖的密度為2 798.0 kg/m，彈性模量為20.14 GPa，泊松比為0.21，抗拉強度為15.1 MPa，縱波波速為2 846.76 m/s，瑞利波波速為1 647.82 m/s。采用ISCSC 構型試樣進行動力學斷裂實驗，能夠通過雙空心孔的布局能夠實現裂紋的定區域止裂，同時該構型也為動態裂紋的擴展提供了充足的空間。同時，從構型制作層面而言，ISCSC 構型易于制作，且便于實驗，經過測試發現，構型試件裂紋擴展形態清晰。ISCSC 構型的具體幾何參數如圖1(a)所示，試件長145 mm，寬70 mm，厚30 mm，側開大圓直徑為22 mm。預制裂紋長度為20 mm，而雙空心孔布局距離裂尖50 mm，孔間距取32 mm，而雙空心孔直徑為6 mm。

圖1 ISCSC 試件和SHPB 實驗裝置Fig. 1 An ISCSC specimen and an SHPB device

1.2 實驗設備

沖擊實驗測試系統由SHPB 實驗系統和裂紋擴展計（crack propagation gauge, CPG）數據采集系統組成，如圖1(b) 所示，其入射桿和透射桿的長度均為 4 000 mm，直徑均為 120 mm；沖擊子彈的長度為800 mm，直徑為120 mm。桿件采用40CrMoV 合金材料，其動態彈性模量為 210 GPa，密度為 7 600 kg/m，泊松比為0.25，縱波波速為5 163 m/s。為了消除SHPB 實驗過程中應力波的彌散效應和延長波形的上升沿時間，在入射桿上粘貼一塊直徑為30 mm 的圓形紫銅片作為波形整形器，同時在入射桿和透射桿中間粘貼應變片，并連接超動態應變儀以采集入射桿與透射桿上的應力波數據。在透射桿的底端布置阻尼器，以吸收從試件端傳遞過來的應力波，減弱對數據采集的影響。撞擊桿沖擊速度由紅外線測速器測得。實驗開始前，在試件上下兩端涂抹潤滑劑，以減弱接觸面的摩擦對實驗結果的影響。

為了監測裂紋的動態斷裂時刻，采用裂紋擴展計（見圖2），對裂紋擴展軌跡進行實時監測。CPG 由不同阻值且等間距的卡瑪銅金屬柵絲并聯而成，當裂紋開始起裂與擴展時，因裂紋尖端產生張開位移而導致其柵絲逐根被拉斷，兩端的監測電壓呈現階躍性，從而監測到裂紋的斷裂時刻。本實驗中所采用的CPG 長度為60 mm，共計30 根絲柵，且寬度為20 mm，相鄰絲柵間距為2 mm，可以一定程度上保證裂紋的擴展運行范圍在CPG 的檢測范圍之內。

圖2 裂紋擴展計Fig. 2 A crack propagation gauge

1.3 實驗結果

首先，對測試系統采集到的電壓信號用ORIGIN 軟件進行降噪處理；然后，通過計算得到入射端和反射端的應變時程曲線。入射桿應力和透射桿應力分別為：

式中：為桿件彈性模量，ε()為入射波應變時程曲線，ε()為反射波應變時程曲線，ε()為透射波應變時程曲線。加載波形如圖3 所示，試件兩端的入射端與透射端動力荷載能夠完全實現應力平衡條件。

圖3 實驗應力波加載曲線Fig. 3 Experimental stress wave curves

以4.70 m/s 的 恒定沖擊速度進行加載，共計對20 個黑砂巖試件進行了實驗，最終選取2 組能夠體現典型起裂特征和完整斷裂過程的數據進行分析。其中所有正常起裂試件顯示相似特征，裂紋在應力波作用下起裂均以純I 型的擴展特征進行擴展，但裂紋在遭遇空心孔時，其擴展形態產生了變化。為此，選取了具有清晰裂紋擴展路徑的試件，其裂紋路徑如圖4 所示。

圖4 試件裂紋擴展路徑Fig. 4 Crack propagation trajectories of black sandstone ISCSC specimens

從圖4 可以看出，試件1 和試件2 均表征出純I 型斷裂特點，直線狀的主裂紋擴展并向孔中心區域推進。試件1 中由于主裂紋擴展至CPG 橋臂，此時CPG 的柵絲一側連接橋臂斷裂，CPG 終止采集數據，因此只采集到22 根絲柵的斷裂信號。試件2 中產生了橫向裂紋，這是由于反射拉伸波作用，對試件造成二次損傷破壞，導致裂紋向雙孔區域擴展橫向裂紋并貫穿孔洞。然而，二次沖擊發生時，CPG 數據已采集完畢，對實驗分析造成的影響可忽略不計。因此，應力波在試件內的傳播過程如圖5 所示，其中、和分別為表示裂紋起裂、擴展、止裂時刻。

圖5 試件1 中裂紋起裂、擴展、止裂階段的應力波狀態Fig. 5 Stress wave states during crack initiation, propagation and crack arrest in the specimen 1

為進一步定量研究黑砂巖斷裂擴展的特點，將CPG 數據信息與裂紋擴展路徑相結合進行深入分析，如圖6 所示，。從圖6(a)可以看出，試件1 中裂紋起裂時刻為312.2 μs，擴展至20 根絲時其擴展速度急劇降低，而此時裂紋裂尖的位置正位于雙孔區域前6 mm 處。CPG 所顯示的相鄰絲柵間最大停滯時間為39.8 μs，所處位置位于第22 和第23 根絲柵之間。此停滯時間已經遠遠超過了裂紋正常的擴展時間，可以斷定在第22 和第23 根絲柵之間，裂紋發生了止裂，并且裂紋在第22 和第23 根絲柵間平均擴展速度僅為30.25 m/s，遠低于裂紋正常擴展速度。從圖6(b)可以看出，試件2 中裂紋起裂時刻為337.4 μs，擴展速度同樣在第20 根絲時開始降低，并在第26 根絲時急劇降低，在第28 根絲時速度降至8.73 m/s。CPG 所顯示的相鄰柵絲最大停滯時間為229.0 μs，所處位置位于第29 根絲與第30 根絲之間，可以判斷裂紋在第28 根絲和第29 根絲之間發生了止裂。這2 組數據充分說明裂紋擴展至雙孔區域時發生了止裂，也說明ISCSC 構件可以用于研究裂紋起裂、擴展、止裂全過程，雙孔區域能夠很好地實現裂紋止裂現象，達到定區域止裂機制。

圖6 CPG 電壓信號和裂紋擴展速度Fig. 6 CPG voltage signals and crack propagation speed

2 分形修正

2.1 分形理論原理

通過圖4 的實時監測，可以發現黑砂巖材料在沖擊荷載作用下裂紋擴展路徑明顯偏折特點，而這是由黑砂巖材料局部顆粒的離散性導致。然而，之前裂紋擴展速度的計算方法是按照相鄰絲柵間距2 mm 除以裂紋在絲柵間擴展時間直接得到，沒有考慮在相鄰絲柵間的裂紋是否完全為直線，故此種計算方式下的裂紋擴展速度偏低。即使直接測定絲柵間實際裂紋長度進行裂紋擴展速度的計算，也無法描述裂紋微觀層面其沿晶體破壞和穿晶體破壞行為。為此，引入分形原理可以有效解決上述問題。根據文獻[26-27]研究，快速斷裂中大多數脆性材料產生粗糙的斷裂表面和不規則擴展路徑，而這些不規則路徑存在自相似特征，因此對于此類型裂紋路徑可以采用分形理論進行研究。而本文中所采用的分形修正計算公式也可以有效應用于其他具有脆性斷裂特征的巖石材料。分形理論本質的特點表現為，它可以準確刻畫物質的自相似性，而物質的微觀構成和宏觀表征有著普遍的自相似性。這表明對于裂紋而言，其宏觀裂紋和微觀裂紋形貌之間也蘊含這種自相似性。

如圖7 所示，動態裂紋擴展行為遵循普遍自相似原則，其宏觀裂紋和微觀裂紋之間以最小自相似單元聯系，如果以局部放大區域為基本點觀察，在微觀層面，裂紋的沿晶斷裂和穿晶斷裂依然遵循普遍的自相似性。如此，則可以用分形理論，求得該擴展裂紋的分形維數，并通過分形維數刻畫宏微觀關系。應用分形維數可以建立宏觀裂紋和微觀裂紋的普遍自相似性，從而以宏觀裂紋入手，以分形原理為橋梁，揭示微觀層面動態裂紋的擴展行為。在本文中，應用分形理論被證明能夠對裂紋擴展速度進行精確修正，該裂紋擴展速度的修正意義重大，因為在后續的動態裂紋擴展強度因子的求解中涉及裂紋動態擴展速度。

圖7 分形原理關于自相似性說明Fig. 7 Fractal principle about self-similarity

2.2 速度修正

如圖8 所示，試件表面的裂紋通常均不是規則的直線，受巖石顆粒離散性的影響，擴展裂紋路徑顯示出不規則性，甚至有該曲線的曲折程度將十分嚴重。為此，使用邊長統一的正方體方格覆蓋整個裂紋路徑，如果正方形方格能夠覆蓋到裂紋路徑則標記為藍色，表明方格可被記入方形網格數。綜上原則，如果將裂紋擴展的路徑視為分形曲線，那么實際裂紋擴展長度：

圖8 分形盒碼法Fig. 8 The fractal box dimension method

式中：為裂紋實際擴展長度，為裂紋沿直線擴展長度，δ 為測量尺度即盒碼尺度，為分形維數。

正如圖9 所示，選擇不同邊長（10～0.1 mm）的正方形小盒子，分為若干組，以固定范圍覆蓋裂紋擴展路徑。如此，如圖8 所示藍色盒子的能夠覆蓋裂紋的藍色盒子，其數目便可以確定，而盒碼尺寸δ 和其對應的盒子數目(δ )的關系便可以用下式表示：

圖9 裂紋路徑示意圖Fig. 9 Sketch map of crack path

可見盒碼尺寸和其對應盒子數呈線性正比關系，將其對應各點在(ln δ)-(ln(δ))坐標軸準確繪制，如圖10 所示，并將各點進行線性擬合，而其擬合直線的斜率可用于求解分形維數：

圖10 分形維數確定方法Fig. 10 Determination of fractal dimension

從圖10 可以看出，當盒碼尺寸δ 無限趨近于零時，將趨近于無限大，然而，對于實際情況而言，裂紋無限長的情況是不存在的。為此，對于單位方格的邊長而言必須存在一個最小尺度來定義其分形長度。根據巖石分形研究結論，對于單位方格的最小邊長其尺度應該為該材料的平均晶粒尺寸。經過測量，本文中所用雅蒙黑砂巖的平均晶粒尺寸為 0.1 mm，采用該數值作為計算其分形維數的依據。為此，裂紋實際分形長度：

如圖11 所示，基于分形理論修正前后的裂紋擴展速度曲線具有明顯差異，雖然具體的裂紋擴展速度演變規律基本相同，但是對于試件1 裂紋擴展速度的最大誤差能夠達到26.44%，試件2 裂紋擴展速度的最大誤差能夠達到33.51%。以上裂紋擴展速度的修正數據更好地說明分形理論介入裂紋擴展速度的計算具有很強的必要性。

圖11 裂紋擴展速度分形修正前后的比較Fig. 11 Comparison of crack propagation speeds before and after fractal correction

3 動態斷裂韌度修正

3.1 數值模型

不同類型裂隙巖體內裂尖的動態應力強度因子很難獲得理論解析解，因此，實驗-數值法被用于裂紋動態應力強度因子的求解。該方法采用有限元軟件ABAQUS 進行數值部分計算，通過全仿真建模，重構了ISCSC 的標準幾何尺寸和材料屬性。對于數值模型的網格劃分采用自動網格劃分方法，但其對裂尖的劃分尤為細節，在裂紋尖端處采用CPS6 六節點三角形單元，且單元為奇異單元能夠消除裂紋尖端因應力奇異性產生的非常態影響，而在試件其他位置則布置CPS8 八節點四邊形單元以提高計算的精確性，網格劃分如圖12 所示。

圖12 有限單元法模型示意圖及位移外推法Fig. 12 Finite element method model and displacement extrapolation method

3.2 普適函數修正

如此則可以得到關于點的靜態下應力強度因子求解公式，而在解決實際的裂紋動態擴展問題時，運動裂紋存在運動慣性效應，在求解動態應力強度因子時和靜態求解方法有很大差異。為此 Rose提出了較高效的解決方法，即使用普適函數建立動態和靜態的聯系，從而使得動態求解問題向靜態轉化，進行了相應的簡化：

3.3 動態斷裂韌度計算結果

首先，根據SHPB 數據采集系統測試的入射波、反射波及透射波數據，計算得出試件頂部與底部荷載；然后，將該數據導入ABAQUS 軟件，對模型進行加載。在裂紋動態擴展過程中，動態應力強度因子會隨著裂紋長度變化而變化。因此，為了獲得裂紋擴展時各階段應力強度因子，需要計算出該階段靜態應力強度因子。以試件2 為例，當裂紋起裂時，裂紋的臨界應力強度因子就可以根據裂紋起裂時刻來確定，其結果如圖13 所示。根據此方法便可計算出各個裂紋速度所對應的臨界應力強度因子，同時，依據CPG 電壓信號可確定裂紋擴展至每根絲柵時的斷裂時間，同時也可確定該瞬時的裂紋擴展速度。為此，根據 CPG 的數據可對應確定該裂紋在若干個重要瞬時所對應的靜態應力強度因子()，并可將該瞬時對應裂紋擴展速度代入式(10)和(11)，最終確定普適函數修正后的裂紋臨界動態應力強度因子。

圖13 裂尖靜態應力強度因子Fig. 13 Static stress intensity factor at crack tip

當進行裂尖動態應力強度因子的計算時，其所涉及的裂紋擴展速度()是經過分形方法修正后的速度。為此，可以看出分形原理不僅僅可以應用于裂紋擴展速度的修正，其更主要的作用是在于修正裂紋動態應力強度因子。

為此，通過上述方法，將求得的裂紋各階段的臨界動態應力強度因子，即裂紋動態斷裂韌度，繪制于圖14。在圖14 中為清晰表述分形修正前后動態斷裂韌度的差別，特將2 種情況下的曲線分別繪制于同一坐標中，以便更好地進行曲線擬合。由于試件2 具有更完整的裂紋止裂過程，因此重點分析圖14(b)。從圖14(b)可以發現，起裂韌度為6.02 MPa·m，在裂紋擴展過程階段，其動態擴展韌度變化平穩，然而，在裂紋以極低的裂紋擴展速度發生止裂現象時，動態止裂韌度驟然升高，且遠高于平均動態擴展韌度值。經測定，黑砂巖的止裂韌度為5.58 MPa·m，而其在裂紋擴展階段的平均動態擴展韌度為4.33 MPa·m。而通過對于以上2 條曲線的對比可以看出，經過分形修正的曲線呈現出更活躍的變化趨勢，其更接近于實際的斷裂情況。由此可以知道，將分形理論應用于裂紋動態應力強度因子的求解是合理而有效的，能夠更為精確反應巖石材料的斷裂參數與斷裂特性。本文動態止裂韌度是試件在止裂區域的動態應力強度因子經過修正后得到的，代表著只有裂紋動態擴展的應力強度因子大于該值，才可以保證裂紋的全程擴展，它是試件中保證裂紋全程擴展的最小值。

圖14 裂紋動態應力強度因子隨裂紋擴展位移的變化Fig. 14 Crack dynamic stress intensity factors varied with displacement of propagation crack

圖15 修正動態擴展韌度隨vc/cR 的變化Fig. 15 Variation of corrected crack propagation toughness with vc/cR

3.4 分形理論修正討論

表1 分形修正前后的裂紋擴展速度和動態擴展韌度Table 1 Crack propagation speeds and dynamic crack propagation toughnesses before and after fractal correction

表1（續）Table 1 (Continued)

4 結 論

基于ISCSC 構型試樣進行了動態沖擊實驗，研究黑砂巖在沖擊荷載作用下裂紋動態擴展行為的演變規律，隨后利用分形理論與普適函數進行裂紋擴展速度進行精確修正，隨后通過實驗-數值法對砂巖材料的動態斷裂韌度進行了計算，并討論了引入分形理論的合理性和精準度，得到如下結論。

(1) ISCSC 構型能夠有效地應用于巖石材料內裂紋的動態擴展行為研究，構型內部的雙圓孔設置能夠很好地實現定區域止裂現象，該構型可以充分地做到實驗測試裂隙巖體內起裂、擴展及止裂全過程。

(2)分形理論可以明顯地優化與改善裂隙巖石的裂紋擴展速度和動態斷裂韌度的計算精度，使得計算結果更接近于實際裂紋動態擴展情況，并能更精確反映巖石材料的斷裂特性。當裂隙巖體內的裂紋擴展速度較大時，采用分形理論進行動態斷裂力學參數的修正顯得更重要。其中裂紋擴展速度最大修正值達到33.51%，動態斷裂韌度最大修正值達到7.68%。

(3)動態止裂韌度是砂巖裂紋動態擴展測量全過程的最小值，采用普適函數修正計算得到黑砂巖的動態止裂韌度為5.58 MPa·m。由于修正后的動態止裂韌度比修正前值偏小，因此在裂隙巖體內裂紋實際擴展中，采用修正后的動態止裂韌度進行安全性評估會在工程設計中更安全。

(4)沖擊載荷作用下黑砂巖試件中裂紋擴展全過程的動態擴展韌度并不是一個獨立參數，它與分形理論修正后裂紋擴展速度成反比例關系，隨著裂紋擴展速度的增大而逐漸減小。