淺析積分法求解空間曲面的面積

劉余嬌，羅守雙

(綿陽師范學院數理學院，四川綿陽 621000)

0 引言

本文從四個方面介紹了空間曲面面積的求解方法：一般曲面面積的求法、曲面參數方程的面積公式、柱面側面積的求解及定積分求旋轉體的側面積.在絕大多數《高等數學》教材中，只是介紹了一般曲面面積的求法，其他三種方法沒有相關介紹，而對大多數非數學專業的理工科學生來說，求解空間曲面面積既是重點也是難點，同時也具有很重要的實際意義.

1 曲面面積的計算方法

1.1 利用定積分求旋轉體的側面積

設平面光滑曲線y=f(x)∈C(a,b),且f(x)≥0,求它繞x軸旋轉一周所得到的旋轉體的旋轉曲面的側面積.取側面積元素：位于[x，x+dx]上的圓臺的側面積

積分得到旋轉體的側面積：

(1)

注：側面積元素dS=2πydS≠2πydx，是因為2πydx不是薄片側面積的線性主部，從幾何意義的角度來說，側面積元素是位于[x，x+dx]上的圓臺側面積，二不是圓柱側面積[1].

例1計算圓x2+y2=4在x∈[0,1]?[-R,R]上繞x軸旋轉一周所得的球臺的側面積S.

例2計算由內擺線x=acos3t,y=asin3t繞x軸旋轉一周所得旋轉曲面的面積

解利用對稱性

1.2 一般曲面面積的求法

例3求圓柱面x2+y2=2x被球面x2+y2+z2=4截取的面積值[5].

故球面在圓柱面截取的側面在第一掛限內的面積為

因

則

故所求球面在圓柱面上截取的側面積為4S=16

1.3 曲面參數方程的面積公式

設曲面∑的參數方程：x=x(u,v)，y=y(u,v),z=z(u,v),(u,v)∈Duv,其中Duv為uv平面上的有界閉區域，若函數x=x(u,v)，y=y(u,v),z=z(u,v)的所有偏導數在Duv上連續，則曲面∑的面積為：

(3)

這里E=xu2+yu2+zu2,G=xv2+yv2+zv2,F=xu·xv+yu·yv+zu·zv.[6]

證明在曲面S中，若

z=z(u(x,y),v(x,y))

(4)

(5)

將(4)(5)代入zx=zu·ux+zvvx,zy=zu·uy+zvvy并計算公式中的被積函數如下：

1+(zx)2+(zy)2=1+(zu·ux+zvvx)2+(zu·uy+zvvy)2

=1+zu2(ux2+uy2)+zv2(vx2+vy2)+2zuzv·(uxvx+uyvy)

將上式展開并配方得

-(xu·xv+yu·yv+zu·zv)]

故公式(2)可化為

記E=xu2+yu2+zu2,G=xv2+yv2+zv2,F=xu·xv+yu·yv+zu·zv，故(3)式得證.

故所求面積為：

1.4 柱面側面積的求解

在求解柱面的側面積時，因柱面的側面垂直于坐標平面，若采用一般曲面的計算方法，往往計算比較復雜，故通常利用第一曲線積分的幾何意義求解.

例5(如上例1)求圓柱面x2+y2=2x被球面x2+y2+z2=4截取的面積值[10].

由第一曲線積分的幾何意義可知，圓柱面x2+y2=2x被球面x2+y2+z2=4截取在第一象限的面積，即為圓柱面x2+y2=2x夾在球面x2+y2+z2=4，(z≥0)與xoy之間的部分，也即球面在x2+y2+z2=4，(z≥0)在平面xoy上的曲線l:x2+y2=2x上的積分，故所求面積為：

2 結論

本文側重于利用積分方法對空間曲面面積主要的計算方法的歸類與闡述，也是對高等數學教學中關于側面積求解的補充與擴展.在實際的應用問題中，曲線或曲面方程的形式的多樣化，曲面類型的多樣化，求解曲面面積的方法也不一樣：一般曲面方程采用直角坐標方程表示簡單，計算時采用一般求面積的方法，而有的曲面方程采用參數方程簡單，或者只能采用參數方程表示，則只能采用參數方程的公式求面積；若所求曲面的類型為柱面的一部分，通常采用第一曲線積分的幾何意義求解，計算較為簡單，而對旋轉曲面的面積計算，采用定積分的方法進行求解.