基于隨機響應面法的斜坡基樁水平承載可靠性分析

尹平保，王杰，張建仁，王康

（1.長沙理工大學土木工程學院，湖南長沙 410114；2.橋梁工程安全控制教育部重點實驗室（長沙理工大學），湖南長沙 410114）

為守護“綠水青山”、實現“碳中和、碳達峰”，在我國西部山區修建高速公路和鐵路時，主要采用高架橋的方式跨越江河、峽谷或空洞等特殊地區.為此，不可避免地將橋梁基樁設置在高陡斜坡上.現有研究表明，對位于斜坡上的橋梁基樁，其水平承載特性與常規的平地基樁差異顯著［1］，為確保斜坡段橋梁基樁的安全與穩定，很有必要對其水平承載機理及可靠性展開深入系統的研究.

有關斜坡基樁水平承載特性，已有部分學者對其展開了一些有益的研究，如：趙明華等［2-3］根據高陡斜坡上橋梁基樁的受力特點，通過基樁水平承載極限分析，研究了斜坡坡度、地基抗力折減系數對樁身水平位移及承載力的影響；Zhuang 等［4］基于抗剪強度折減法，分析了斜坡坡度對基樁安全系數的影響；Sivapriya 等［5］通過室內模型試驗與有限元分析，研究了斜坡坡度對基樁水平承載力的影響.上述研究均表明，斜坡坡度的存在對基樁水平承載特性的影響非常顯著，很有必要對其展開深入研究.實際上，樁、土參數的不確定性對基樁水平承載性能的影響也不容忽視，因此，基于水平變形和材料屈服等失效模式，開展基樁水平承載可靠性研究非常重要.Chan 等［6］結合響應面法與神經網絡法，分析了樁、土參數的相關性對基樁水平承載可靠性的影響；Kozubal 等［7］將氣候作為隨機變量，采用響應面法與多項式回歸相結合的方法，開展了復雜環境下基樁水平承載可靠性分析；趙明華等［8］克服極限狀態方程無法收斂等難題，提出了改進響應面法，并將其用于傾斜荷載樁的可靠性分析；Chan和Low［9］基于撓度和彎矩兩種破壞模式，分析了樁長和樁徑對水平受荷樁可靠性的影響.綜上所述，目前有關基樁水平承載可靠性的研究多針對平地樁，而對斜坡基樁的分析顯然不夠.因此，為確保斜坡基樁的安全與穩定，進一步考慮斜坡坡度的影響，對其水平承載可靠性開展深入研究顯得尤其重要.

鑒于此，本文在現有研究基礎上，首先分析斜坡效應對基樁水平承載特性的影響，建立基樁簡化受力模型及撓曲微分方程，導得相應的理論解答；其次，基于隨機響應面法，建立斜坡基樁水平承載可靠性分析極限狀態函數，并通過編程求解可靠度指標；最后，結合已有算例，對比分析理論方法及程序的合理性，進而探討參數不確定性和斜坡效應對基樁水平承載可靠性的影響.

1 考慮斜坡效應的基樁受力分析

1.1 簡化受力模型及撓曲微分方程

對位于斜坡上的橋梁基樁，為研究斜坡坡度對其受力特性的影響，可沿樁身軸心方向將基樁劃分為斜坡影響段（l1）和嵌固段（l2）.在樁頂水平荷載H和偏心彎矩M的共同作用下，可建立如圖1 所示的簡化受力模型［10］.

圖1 斜坡基樁簡化受力模型Fig.1 The simplify model of piles in sloping ground

圖1 中，因存在斜坡坡度，樁前l1深度范圍內出現一臨空面，使得基樁兩側巖土體不對稱，樁前坡體一定深度范圍內的巖土體水平抗力有所減弱，此即所謂的“斜坡效應”［11］.其中，l1為斜坡效應影響深度，其計算表達式為：

式中：η為斜坡效應折減系數，現有研究表明［10］斜坡效應影響范圍為3～5 倍樁徑，即η可取3～5；d為樁徑；α為坡度.

根據圖1 所示的簡化受力模型，通過受力分析，可建立考慮斜坡效應的基樁撓曲微分方程：

式中：EI為樁身抗彎剛度；x為樁身水平位移；z為計算點到樁頂的距離；C（z）為樁側地基抗力系數；b1為樁身計算寬度.

根據m法，并綜合考慮斜坡效應的影響，假定樁側地基抗力系數C（z）表達式為［10］：

式中：m為地基抗力比例系數，其他參數同前.

1.2 基樁受力分析的有限差分法

為求解基樁撓曲微分方程式（2），根據中心差分原理，可將基樁斜坡影響段（l1）和嵌固段（l2）共劃分為段長均為h的N段，并在樁頂和樁端分別增加兩個虛擬節點，即共生成（N+5）個節點，各段間的差分節點布置如圖2所示.

圖2 基樁差分點布置Fig.2 Differential point arrangement of the pile

實際工程中基樁邊界條件可分為自由、彈嵌、嵌固和鉸支4 種情況［12］.本文假定樁頂自由、樁端嵌固，其對應的邊界條件差分格式為：

1）樁頂自由

2）樁端嵌固

對于基樁斜坡影響段（0＜z＜l1），節點i（i＜K=l1/h）處的控制差分方程為：

基樁樁身轉角、彎矩和剪力的差分格式為：

式中：xi為節點i處的水平位移；φi為節點i處的轉角；Mi為節點i處的彎矩；Hi為節點i處的剪力.

由式（6）可得樁頂（i=0）處的控制差分方程為：

將式（4）代入式（8）可得：

聯合式（4）和式（6），并令i=1，2，3，…，K，可得基樁斜坡影響段（0＜z＜l1）各節點的位移遞推式：

根據i=0 和i=-1 時對應的a-1，a0；b-1，b0；c-1，c0等值可得各節點參數的表達式為：

對于嵌固段（l1＜z＜L），節點i（K≤i＜N=L/h）處的控制差分方程為：

聯合式（5）和式（12），并令i=K，K+1，K+2，…，N，可得嵌固段（l1＜z＜L）各節點的位移遞推式：

根據i=N-1 和i=N-2 時對應的aN-1，aN-2；bN-1，bN-2等值，可得K≤i≤N-3時的參數表達式為：

由節點位移遞推式（10）（13）以及節點參數表達式（11）（14），即可求得交界點K及其鄰近節點的位移；然后，通過節點位移遞推式（10）（13）求得各節點位移；進而將各節點位移代入式（7）即可求得各節點的轉角、彎矩和剪力［13］.

2 斜坡基樁可靠性分析

構件截面抗力的隨機性主要體現在材料性能、幾何參數和計算模式等方面.現有研究表明，水平受荷樁的失效模式主要有樁頂水平位移過大和樁身材料屈服（樁身內力超過材料屈服強度）［8］.通常情況下，對于變異性較小的參數，可將其作為確定性參數，而將變異性較大的參數當作隨機變量.假設隨機變量為y1，y2，y3，y4，…，yn，則對應的隨機向量Y=（y1，y2，y3，y4，…，yn）.因此，相應失效模式下基樁極限狀態函數可表示為：

式中：［S］為相應失效模式下參數容許值；S為計算得到的最大值；Z為安全余量.

2.1 極限狀態函數的建立

關于基樁可靠性分析，目前主要有蒙特卡羅法（MCS）、一次二階矩法（JC）以及響應面法（RSM）等［14-15］.對于高階非線性函數或隱式函數，蒙特卡羅法的計算量較大，實用性不強；一次二階矩法無法求解隱式函數；響應面法和改進響應面法均是利用顯式響應面函數擬合較復雜的極限狀態函數，兩者雖可求解可靠度指標，但收斂性很難保證，且二者對高階非線性極限狀態函數的計算精度并不高［15］.為解決以上問題，可采用隨機響應面法（SRSM）擬合出相應的極限狀態函數.隨機響應面法是通過展開的Hermite 隨機多項式來擬合隨機變量之間的函數關系，再根據隱式的極限狀態函數，利用一次二階矩法（JC 法）求解可靠度指標及失效概率［16-19］，具體過程如下.

1）首先根據需要展開的Hermite 隨機多項式階數p和隨機變量個數n確定待定系數個數Na、配點值W和選擇的配點總數Nb，其計算表達式為：

式中：Nb＞＞Na，可采用線性無關原則選取所需的配點.配點值W為p+1階一維Hermite多項式的根.

2）將隨機變量yi轉換成服從標準正態分布的隨機變量Xi，其轉換關系為：

3）利用Hermite 隨機多項式將極限狀態函數（15）展開，可得安全余量Z為：

4）將步驟1）中選取的配點值W與步驟3）中的安全余量Z分別代入式（18），求解等待定系數，即可得到顯式的極限狀態函數.

2.2 可靠性分析

根據得到的極限狀態函數，采用一次二階矩法（JC 法）求解基樁水平承載可靠度指標及失效概率.具體求解過程為：

1）假定初始驗算點Y*，一般可取Y*=μY.

3）確定新的設計驗算點Y*：

4）重復步驟2）至4），直至前后兩次||Y*||之差＜允許誤差ε，ε通常為0.001.

5）根據可靠度指標β計算失效概率：

式中：Φ（·）為服從標準正態分布的累計分布函數.

3 工程實例及可靠性分析

3.1 工程概況

湖南省張（家界）花（垣）高速公路泗溪河一橋采用樁柱式基礎，基樁設置在坡度為30°～60°的斜坡上.該基樁采用C25混凝土，樁長為25 m；樁徑d均值為2 m，標準差為0.04 m；樁身彈性模量E均值為28 GPa，標準差為0.56 GPa.各土層地基抗力比例系數m均值為60 MN/m4，標準差為12 MN/m4.基樁縱筋為46?25 的HRB335 鋼筋，通長配置.樁頂彎矩M為1 200 kN·m；水平荷載H均值為150 kN，標準差為30 kN；樁頂容許水平位移為6 mm；樁身抗彎承載力為4 561 kN·m.

3.2 基樁水平承載可靠性分析

1）取等量差分段長h=0.05 m，斜坡效應折減系數η=5，坡度為45°，則斜坡效應影響深度l1=10 m.

2）將樁身彈性模量E、樁徑d、樁頂水平荷載H、地基抗力比例系數m值作為隨機變量，并假定各隨機變量均服從正態分布，且相互獨立［8］，則隨機變量的個數n=4、其對應的隨機向量為：

3）根據式（17）（18）及（24），即可建立隨機變量的個數n=4、最高階數為3 的Hermite 隨機多項式，即將其按最高階數展開得到基樁水平承載失效模式下的隨機響應面函數為：

式中：a0、ai、aii、aiii、aij、aijj、aijk為35 個待定系數；Ui、Uj、Uk均為服從標準正態分布的隨機向量（i、j、k按式（25）進行取值）.

4）采用概率配點法選取4 階一維Hermite 多項式，并將其根作為配點進行正態分布轉換，經計算得到256個安全余量Z.

5）選取35 組配點及對應的安全余量Z可解35個待定系數，并將其代入式（25）.

6）根據式（25）求解樁頂水平位移和材料屈服失效模式下的可靠度指標β和失效概率Pf.

利用蒙特卡羅法（MCS）模擬1×106次、改進響應面法（RSM）和隨機響應面法（SRSM）計算得到的可靠度指標及失效概率如表1所示.

表1 計算結果對比Tab.1 Comparisons of calculation results

由表1 可以看出，以MCS 作為精確解，由改進RSM 計算得到的失效概率明顯偏小.相對而言，SRSM 的計算結果與MCS 更接近，從而可以驗證SRSM方法及計算程序的合理性.

3.3 參數不確定性分析

以上述工程為例，進一步分析了地基抗力比例系數m、水平荷載H、樁身彈性模量E以及樁徑d等參數的不確定性對基樁可靠性的影響.相應失效模式下，各參數變異系數與基樁失效概率的關系曲線如圖3和圖4所示.

圖3 水平位移失效下變異系數對失效概率的影響Fig.3 Influence of variation coefficient on failure probability under horizontal displacement failure

圖4 材料屈服失效下變異系數對失效概率的影響Fig.4 Influence of variation coefficient on failure probability under material yield failure

由圖3和圖4可以看出，在水平位移和材料屈服兩種失效模式下，基樁失效概率均隨變異系數增大而增大.在水平位移失效模式下，參數變異性對基樁失效概率的影響大小依次為d、H、E和m.當變異系數為0～0.6 范圍內時，d、E及m對應的失效概率均隨變異系數近似呈非線性關系增加；而當樁徑變異系數大于0.6 后，d、E及m對應的失效概率幾乎保持不變，即對應的參數變異性對基樁可靠性的影響不明顯.在材料屈服失效模式下，基樁失效概率受參數變異性的影響大小依次為E、m、d和H.當樁徑d和橫向荷載H的變異系數均勻增加時，對應的基樁失效概率幾乎不再隨變異系數增加而有顯著增大.綜上可知，參數不確定性對基樁可靠性有較大影響，基樁水平位移失效主要受樁徑d和樁頂水平荷載H控制，而樁身材料屈服失效主要受樁身彈性模量E和地基抗力比例系數m控制.

3.4 斜坡效應對基樁失效概率的影響

考慮樁頂水平位移和材料屈服兩種失效模式下的容許值［S］，可進一步分析斜坡效應（斜坡效應折減系數η=3、η=4 和η=5）對基樁水平承載可靠性的影響，相應失效模式的容許值［S］與基樁失效概率間的關系曲線如圖5和圖6所示.

由圖5和圖6可知，兩種失效模式下基樁水平承載失效概率均隨容許值［S］增大而減小.在相同的容許值［S］和失效模式下，若不考慮斜坡效應的影響，即不對l1深度范圍內地基抗力比例系數m值進行折減而按平地樁計算斜坡基樁的樁身內力與位移，由此得到的基樁失效概率均比考慮斜坡效應（對l1深度范圍內地基抗力比例系數m值進行折減）的小.

圖5 水平位移失效下的失效概率Fig.5 Failure probability under horizontal displacement

圖6 材料屈服失效下的失效概率Fig.6 Failure probability under material yield

圖5 顯示，在水平位移失效模式下，當樁頂容許位移值［S］介于3.0～4.5 mm 之間時，考慮與不考慮斜坡效應對基樁失效概率的影響比較大，如：當［S］=3.5 mm 時，考慮斜坡效應（η=5）與不考慮斜坡效應（η=0）對應的基樁失效概率差值為0.84.在相同的容許值下，基樁失效概率隨折減系數增加而增大.圖6顯示，在樁身材料屈服失效模式下，斜坡效應對基樁可靠性的影響較小，在相同的樁身材料容許彎矩下，基樁失效概率差值均小于0.12.可見，在水平位移失效模式下，斜坡效應對基樁水平承載可靠性影響較大，尤其是對變形較敏感的高墩橋梁基樁，忽略斜坡效應極有可能給基樁帶來安全隱患.

3.5 斜坡效應對基樁安全余量的影響

為探討斜坡效應對安全余量Z頻數分布的影響，根據極限狀態函數中隨機向量U的分布類型，抽取4×104組服從標準正態分布的隨機向量U，分別代入極限狀態函數表達式，得4×104組安全余量Z，相應失效模式下其頻數分布曲線如圖7和圖8所示.

由圖7和圖8可知，水平位移安全余量頻數分布受斜坡效應的影響較大，而樁身彎矩安全余量頻數分布則受斜坡效應的影響較小.在水平位移失效模式下，對比考慮斜坡效應（η=5）與不考慮斜坡效應（η=0）的PDF 曲線，其峰值對應的安全余量差值為1.3 mm，考慮斜坡效應時，基樁安全余量隨斜坡效應折減系數增加而減小；對比兩條CDF曲線發現，不考慮斜坡效應會導致位移安全余量更多地集中在較大區域，基樁失效概率明顯偏小.類似地，在樁身材料屈服失效模式下，基樁PDF 曲線和CDF 曲線發展規律接近，斜坡效應對基樁失效概率的影響較小.總之，基于隨機響應面法得到的極限狀態函數，其安全余量頻數分布規律與前述結論相符，再次驗證理論模型及求解方法的合理性.

4 結論

根據斜坡段橋梁基樁的承載特性，導得了基樁內力與位移計算的有限差分解答；基于樁身水平位移和材料屈服兩種失效模式，將隨機響應面法與基樁水平承載可靠性分析相結合，并編制了相應的計算程序；據此結合工程實例，進一步分析了地基抗力比例系數、水平荷載、樁身彈性模量及樁徑等參數的變異性、斜坡效應對基樁水平承載可靠性的影響，得到的主要結論如下.

1）分別利用蒙特卡羅法（MCS）、二次函數響應面法（RSM）和隨機響應面法（SRSM）求解斜坡基樁水平承載可靠度指標和失效概率，驗證了隨機響應面法及計算程序的合理性.

2）參數變異系數越大，基樁水平承載可靠性越差.在水平位移失效模式下，基樁失效概率隨樁徑、地基抗力比例系數及樁身彈性模量的變異系數先增大而后趨于穩定，相對而言，樁徑對基樁水平承載可靠性的影響最大.而在材料屈服失效模式下，當變異系數小于0.3 時，樁徑的影響最大；當變異系數大于0.3 后，樁身彈性模量和地基抗力比例系數對失效概率的影響更顯著.

3）斜坡效應對水平位移失效模式下基樁可靠性影響較大，當樁頂容許位移為3.5 mm時，考慮與不考慮斜坡效應對應的基樁失效概率差達0.84，基樁失效概率隨斜坡效應折減系數增加而增大；若不考慮斜坡效應，基樁位移安全余量會集中在較大區域，從而導致基樁失效概率偏小.相對而言，斜坡效應對材料屈服失效模式下基樁水平承載可靠性的影響較小.對變形較敏感的高墩橋梁基樁，忽略斜坡效應極有可能給基樁設計帶來安全隱患.