基于三維虛土樁模型的大直徑樁縱向振動研究

孟坤，崔春義，王本龍，李靜波，王坤鵬

（1.山東科技大學交通學院，山東青島 266590；2.大連海事大學交通運輸工程學院，遼寧大連 116026）

隨著社會經濟的全面發展，現代建筑及各類基礎設施呈現大型化和復雜化趨勢，其對基礎的承載和變形要求也隨之提高，樁基作為一種承載力高、抗變形能力強的基礎形式得到更為普遍的應用.樁基除了承受上部結構傳遞的靜荷載外，還會受到諸如交通、機械振動等縱向動荷載作用，而樁-土縱向振動理論作為樁基抗振防振設計的基礎，受到國內外學者的廣泛關注［1-3］.

樁-土縱向振動理論模型主要由三部分組成，即樁側土、樁底土和樁身，已有研究多圍繞樁側土和樁底土模型的改進展開［4］.樁側土模型由簡化的Winkler 模型［5］，到可考慮徑向波動效應的Novak 平面應變模型［6］，再到可進一步考慮豎向波動效應的三維連續介質模型［7］，發展已趨于完善.樁底土模型作為界定浮承樁和端承樁的關鍵，近年來受到越來越多的關注.對于端承樁，采用樁端固定模型即可很好地分析其縱向振動特性［8］；而對于浮承樁，樁底土模型的合理性則會對計算結果產生較大影響［9］.Kelvin-Voigt 模型［10］是針對浮承樁縱向振動問題應用最為普遍的一種樁底土模型，但其作為一種離散的彈簧-阻尼器模型無法考慮樁底土波動效應的影響.因此，Muki 等［11］和Zheng 等［12］將彈性半空間模型引入樁-土縱向耦合振動分析中，探討了樁底土波動效應對樁基縱向動力響應的影響.然而，彈性半空間模型僅適用于樁底基巖埋深無限大的情況，鑒于此，楊冬英等［13］和吳文兵等［14］通過將樁底土假設為與樁基等直徑的圓柱體提出了一種理論上更為嚴格的虛土樁模型，該模型既考慮了樁底土波動效應的影響，又不受樁底基巖埋深的限制.

上述研究中，樁身模型均采用基于平面應變假定的Euler-Bernoulli桿模型，該模型對于細長樁縱向振動問題具有很好的適用性.然而，隨著上部結構對基礎承載力要求的不斷提高，樁身直徑也隨之加大，這樣，平截面假定對于此類大直徑樁將不再適用［15］.呂述暉等［16］和李振亞等［17］通過在樁身一維波動方程中引入泊松比項，考慮樁身橫向慣性效應的影響，提出了一種可應用于大直徑樁縱向振動問題的Rayleigh-Love 模型.然而，Rayleigh-Love 模型實際意義上仍是一種一維模型，無法考慮樁身徑向波動效應的影響.鑒于此，楊驍等［18］將樁底考慮為固定端，基于連續介質理論建立了三維樁身模型，分析了樁身徑向波動效應對端承樁縱向振動特性的影響.在此基礎上，孟坤等［19］進一步利用Kelvin-Voigt 模型考慮樁底土對樁的支撐作用，對大直徑浮承樁的縱向振動特性進行了分析.

綜上所述，在利用樁身三維模型分析大直徑樁縱向振動特性的研究中，浮承樁樁底土采用了簡化的Kelvin-Voigt 模型，無法合理考慮樁底土波動效應的影響.鑒于此，本文基于三維黏彈性連續介質理論，將樁底一維虛土樁模型拓展到三維情況，提出一種可同時考慮樁身和樁底土徑向波動效應的三維虛土樁模型.利用拉普拉斯變換和分離變量法，并結合樁-土完全耦合條件，推導得出大直徑浮承樁樁頂動力阻抗解析解，進而分析樁頂徑向位置及三維虛土樁參數對樁頂動力阻抗的影響規律，所得相關解析解及分析結果可為實際工程中大直徑浮承樁的動力設計及現場樁基完整性檢測提供理論指導.

1 定解問題

1.1 簡化力學模型

基于三維虛土樁模型的大直徑黏彈性樁簡化力學模型，如圖1 所示.大直徑樁力學性質采用三維黏彈性連續介質描述，樁側土和樁底土簡化為相互獨立的薄層，樁底半徑范圍內的土體考慮為與樁等截面的三維虛土樁.大直徑樁樁長和半徑分別為HP和r0，三維虛土樁樁長（即樁底土層厚度）為HFP，基巖上土層總厚度為H.樁頂激振力p(t)均布在半徑為rh的圓形區域內，具體形式如式（1）（2）所示：

圖1 簡化力學模型圖Fig.1 Simplified mechanical model

式中：Q為激振力幅值；T為脈沖寬度；h為階躍函數.

本文解析模型基于樁與樁側土、虛土樁與樁底土以及樁與虛土樁界面完全耦合假定，適用于小變形的振動和波動問題，具體的應用場景包括：1）樁基礎結構物抗振防振設計，如大直徑浮承樁樁頂動力阻抗計算及影響因素分析；2）低應變反射波法檢測樁基完整性，如大直徑樁浮承樁樁頂不同位置處速度反射波曲線變化規律對樁基完整性判別的影響.

1.2 控制方程

基于Novak 平面應變理論建立土體縱向振動控制方程：

大直徑樁和三維虛土樁的控制方程則可根據三維黏彈性連續介質模型理論建立：

1.3 邊界條件

1）土體邊界條件.

徑向無窮遠處土體位移為零：

2）樁邊界條件.

大直徑樁樁頂作用均布激振力p(t)：

虛土樁樁底位移為零：

樁和虛土樁樁中心處位移為有限值：

樁與虛土樁界面位移、應力耦合條件：

3）樁-土界面耦合條件.

2 定解問題求解

對樁-土耦合縱向振動控制方程式（3）～（5）進行拉普拉斯變換后可得：

2.1 土體振動求解

方程（15）的位移基本解為：

考慮邊界條件式（6）并結合貝塞爾函數的性質可知=0，因此可得土體位移和剪應力解為：

2.2 樁-虛土樁振動求解

2.2.1 位移基本解

利用分離變量法，令UP=ZP(z) ·RP(r)，UFP=ZFP(z) ·RFP(r)，并將其分別代入式（16）和式（17）可得：

進一步地，式（21）和式（22）可分解為常微分方程：

根據式（21）和式（22）可知，αP和βP、αFP和βFP分別滿足關系式（25）（26）：

式中：CP、DP、EP、FP、CFP、DFP、EFP和FFP為待定系數.

將式（27）和式（28）分別代入邊界條件式（9）和（10）可得EP=EFP=0，因此樁和虛土樁的位移可表示為：

2.2.2 振動模態特征值

根據式（29）和（30），可以得到樁和虛土樁的正應力和剪應力表達式：

根據樁-土界面耦合條件，當j=1 時將式（19）（29）（20）（32）代入式（13）后可得：

當j=2時將式（19）（30）（20）（34）代入式（14）后可得：

2.2.3 待定系數求解

將式（41）和式（42）分別代入邊界條件式（7）和式（8）后可得：

式中：P(ω)為p(t)的拉氏變換.

根據貝塞爾函數性質可知其具有如下正交性：

此外，考慮樁與虛土樁界面的耦合條件，將式（41）和（42）代入邊界條件式（11）和（12）后可得：

聯立式（47）～（50）可求解得到大直徑樁位移解待定系數的具體形式：

2.2.4 樁頂動力阻抗

將待定系數代入式（41）可得大直徑樁樁頂（z=0）縱向振動位移頻響函數：

樁頂動力阻抗則可進一步表示為：

樁頂動力阻抗為復數，其實部代表動剛度，虛部代表動阻尼，具體可表示為：

根據式（53）可進一步得到樁頂速度頻域和時域解：

式中：VP和vP分別為樁頂速度頻域解析解和時域半解析解；IFT為傅里葉逆變換.

3 模型驗證及參數化分析

在應用本文方法對大直徑浮承樁進行抗振防振設計及對樁身完整性進行評價時，樁長、樁徑、樁身密度、彈性模量、土體密度、剪切模量等可通過現場或室內試驗測量的參數，根據實際工程情況取值；泊松比、材料阻尼等無法實測的參數，可參照已有相關研究取值［21］.

3.1 模型驗證

3.1.1 本文解與已有解退化驗證

為更合理地考慮樁底土波動效應的影響，吳文兵等［14］將樁和樁底土簡化為Euler-Bernoulli桿，提出了一維虛土樁模型，探討了虛土樁參數對浮承樁縱向振動特性的影響規律.Liu等［20］將樁底考慮為固端支撐，基于三維波動理論建立了大直徑端承樁縱向振動理論模型，并基于此分析了樁身三維波動效應對端承樁縱向振動特性的影響.結合一維虛土樁模型和三維波動理論，本文進一步提出了對于大直徑浮承樁適用性更好的三維虛土樁模型.

為驗證所建立解析模型及所得解的合理性和準確性，令徑向模態特征值βFPn=βPn=0，可將本文解退化到一維浮承樁與吳文兵等［14］的已有解對比；而令虛土樁樁長HFP=0，則可將本文解退化到三維端承樁與Liu等［20］的已有解對比.本文退化解與已有解對比情況具體如圖2和圖3所示.由圖2和圖3可見，本文一維浮承退化解和三維端承退化解與已有解吻合良好.

圖2 本文解退化到一維浮承樁與吳文兵等［14］已有解對比情況Fig.2 Comparison of the 1D floating pile reduction form of the proposed solution with the existing solution of Wu et al［14］

圖3 本文解退化到三維端承樁與Liu等［20］已有解對比情況Fig.3 Comparison of the 3D end-bearing pile reduction form of the proposed solution with the existing solution of Liu et al［20］

3.1.2 本文解與已有實測案例對比驗證

鄭長杰等［1］給出了樁-土參數為：HP=10 m，r0=0.55 m、rh=0.01 m、=25 MPa、=50 MPa、=1 800 kg/m3、μP=0.17、ρP=2 400 kg/m3、EP=32 GPa 時實測樁頂速度反射波曲線，將相關參數代入式（57）中可得本文所得樁頂速度時域半解析解與實測曲線間的對比情況，如圖4所示.

圖4 本文理論解與實測結果對比Fig.4 Comparison of the current solution and measured data

此外，圖5給出了相同參數體系下本文樁頂速度時域半解析解與Chow等［22］三維有限元計算結果的對比.綜合圖4和圖5可見，本文樁頂速度時域半解析解與有限元計算結果及現場試驗實測結果吻合較好.

圖5 本文理論解與有限元計算結果對比Fig.5 Comparison of the current solution and FEM results

3.2 樁頂縱向振動特性參數化分析

3.2.1 三維樁徑向位置的影響

為探討樁截面徑向位置對樁頂縱向振動特性的影響規律，選取樁頂截面動力阻抗曲線上第三個峰值點處動剛度值KrF3和動阻尼值KiF3，并按式（58）和（59）對KrF3和KiF3進行無量綱化后分析其沿樁截面徑向位置的變化情況.

式中：Kr-R和Ki-R分別為KrF3和KiF3的無量綱參數；=r0，為半徑r的無量綱參數；KrF3(0) 和KiF3(0)分別為樁中心處第三峰值點動剛度和動阻尼值.

不同樁徑（長徑比）情況下，Kr-R和Ki-R隨無量綱徑向位置rˉ的變化規律如圖6 所示.由圖6 可見，Kr-R和Ki-R均為負值，結合式（58）和（59）的定義可知，樁中心處的動剛度和動阻尼值最大，且呈現由樁中心向樁邊緣減小的趨勢.此外，隨著樁徑的增大（樁長徑比減小），樁邊緣處與樁中心處動力阻抗值的差距增大，也就是說大直徑樁動力阻抗的徑向不均勻性更為明顯，因此，本文提出的三維樁身模型對于大直徑樁縱向振動問題適用性更好.

圖6 樁身徑向位置對樁頂動力阻抗的影響Fig.6 Effect of radial location of pile cross-section on the dynamic impedance of pile head

3.2.2 三維虛土樁參數的影響

三維虛土樁樁長對樁頂動力阻抗的影響如圖7所示.為進一步對比分析本文提出的三維虛土樁與已有一維虛土樁模型的差異，圖7 同時給出了樁頂動力阻抗隨一維虛土樁長度的變化情況，圖中H1DFP即為一維虛土樁的樁長.由圖可見，三維虛土樁模型與一維虛土樁模型計算結果差異性主要體現在以下兩個方面：

圖7 虛土樁樁長對樁頂動力阻抗的影響Fig.7 Effect of length of TFSP（FSP）on the dynamic impedance of pile head

1）基于三維虛土樁模型計算所得樁頂動力阻抗振動幅值和頻率均較一維虛土樁模型小；

2）三維虛土樁樁長對動力阻抗的振幅和頻率均有較明顯影響，具體而言三維虛土樁樁長的增加會使得樁頂動力阻抗振幅和頻率減小，不同地，一維虛土樁樁長對樁頂動力阻抗的影響則可忽略.

引起這兩種模型計算結果呈現上述差異性的原因可歸結為：一維虛土樁模型將實體樁和虛土樁簡化為Euler-Bernoulli桿，僅考慮樁身縱向波動效應的影響，而三維虛土樁模型中實體樁和虛土樁控制方程均基于三維連續介質理論建立，可同時考慮實體樁和樁底土層的縱向和徑向波動效應.

結合現象與原因不難發現，實體樁樁身徑向波動效應會使得樁頂動力阻抗振動幅值和頻率減小，也就是說對于大直徑樁采用一維桿模型計算其縱向動力阻抗會過高地估計共振幅值和頻率，這對于大直徑樁的抗振防振設計是不利的.此外，虛土樁的徑向波動效應同樣會引起樁頂動力阻抗振幅和頻率的減小，且此種減小效應隨著虛土樁樁長的增加而更加明顯.

三維虛土樁（即樁底土層）剪切模量對樁頂動力阻抗的影響如圖8 所示.由圖可見，三維虛土樁剪切模量主要影響樁頂動力阻抗的共振頻率，共振頻率隨著樁底土層剪切模量的增加而增大.=0.2 GPa時極大峰值頻率與=20 GPa 時極小峰值頻率相對應，這體現出了典型的摩擦樁和端承樁振動特性差異.也就是說，本文所提的三維虛土樁模型不僅對于摩擦樁縱向振動問題具有很好的適用性，而且可以通過調整虛土樁剪切模量將該模型應用于端承樁動力特性分析中.

圖8 虛土樁剪切模量對樁頂動力阻抗的影響Fig.8 Effect of shear modulus of TFSP on the dynamic impedance of pile head

4 結論

本文基于三維黏彈性連續介質理論，將樁底一維虛土樁模型拓展到三維情況，建立了一種可同時考慮樁身和樁底土徑向波動效應的三維虛土樁模型，并推導得出大直徑浮承樁樁頂動力阻抗解析解，進而分析了樁頂徑向位置及三維虛土樁參數對樁頂動力阻抗的影響情況，計算分析結果表明：

1）大直徑樁頂動剛度和動阻尼呈現由樁中心向樁邊緣減小的趨勢，且樁長徑比越小樁頂動力阻抗的徑向不均勻性越明顯.

2）實體樁樁身徑向波動效應會使得樁頂動力阻抗振動幅值和頻率減小，對于大直徑樁采用一維桿模型計算其縱向動力阻抗會過高地估計共振幅值和頻率，不利于大直徑樁的抗振防振設計.

3）虛土樁的徑向波動效應使得樁頂動力阻抗振幅和頻率減小，且此種減小效應隨著虛土樁樁長的增加而更加明顯.

4）三維虛土樁模型不僅對于大直徑浮承樁縱向振動問題具有更好的適用性，而且可以通過調整虛土樁參數將其應用于端承樁動力特性分析中.

本文所得解析解可通過MATLAB 實現公式簡化計算，進一步結合其中的GUI 控件可建立簡單、易用的人機交互界面，以便實際工程中樁基動力設計和現場完整性檢測的應用.