基于改進(jìn)Bootstrap-Bayes的電子式剩余電流動作斷路器可靠性評估

劉幗巾 王 澤 李 想 趙興洲 繆建華

基于改進(jìn)Bootstrap-Bayes的電子式剩余電流動作斷路器可靠性評估

劉幗巾 王 澤 李 想 趙興洲 繆建華

（省部共建電工裝備可靠性與智能化國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（河北工業(yè)大學(xué)） 天津 300130）

作為一種高可靠性、長壽命產(chǎn)品，電子式剩余電流動作斷路器可獲得的試驗(yàn)數(shù)據(jù)很少。為了對其可靠性進(jìn)行評估，提出一種基于改進(jìn)Bootstrap-Bayes的可靠性評估方法。首先，進(jìn)行溫度為加速應(yīng)力的剩余電流動作斷路器的加速退化試驗(yàn)，利用退化數(shù)據(jù)外推得到偽失效壽命，經(jīng)檢驗(yàn)，電子式剩余電流動作斷路器偽失效壽命服從雙參數(shù)威布爾分布；然后，采用灰色GM(1, 1)模型對試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擴(kuò)充作為先驗(yàn)信息，通過馬爾科夫鏈蒙特卡洛（MCMC）算法中的Gibbs抽樣結(jié)合Bayes公式得到參數(shù)估計(jì)值；最后，利用Arrhenius加速模型實(shí)現(xiàn)正常使用環(huán)境下剩余電流動作斷路器的可靠性評估。

電子式剩余電流動作斷路器 GM(1, 1)模型 Bootstrap抽樣 Bayes MCMC 可靠性評估

0 引言

剩余電流動作斷路器是一種常用的低壓保護(hù)電器，在保護(hù)用電人員人身安全及防止漏電事故方面具有重大作用[1-2]。電子式剩余電流動作斷路器制造過程簡單、生產(chǎn)成本較低，已成為我國剩余電流動作斷路器的主流產(chǎn)品。電子式剩余電流動作斷路器在使用過程中性能逐漸退化甚至失效。因此，對其進(jìn)行可靠性評估，在失效前及時采取措施，能夠有效提高低壓配電系統(tǒng)的可靠性和安全性[3-4]。

目前，低壓電器等產(chǎn)品的可靠性評估及壽命預(yù)測已成為研究的熱點(diǎn)[5-6]。當(dāng)前的研究大多集中于基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[7-8]、Wiener過程[9]、Gamma過程[10]、支持向量機(jī)[11-12]等方法的評估預(yù)測。以上各種方法中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練時需要的樣本數(shù)據(jù)較多，例如：文獻(xiàn)[7-8]訓(xùn)練數(shù)據(jù)長度分別為2 500和799，并且預(yù)測結(jié)果受樣本容量影響較大；基于Wiener過程和Gamma過程建模分析時退化量需要滿足特定的分布形式；支持向量機(jī)在處理小樣本數(shù)據(jù)問題時具有一定的優(yōu)勢，但其預(yù)測的準(zhǔn)確性受參數(shù)影響較大，優(yōu)化的過程較為繁瑣。從樣本容量、計(jì)算量、建模及求解過程方面考慮，Bayes方法常用來解決小樣本可靠性分析問題，能夠有效減少試驗(yàn)所需次數(shù)、縮短試驗(yàn)時間、節(jié)約試驗(yàn)成本。剩余電流動作斷路器可靠性高、壽命長，退化過程緩慢，短時間內(nèi)難以獲得足夠的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，因此，本文選擇利用Bayes方法對剩余電流動作斷路器的退化過程進(jìn)行分析。

Bayes方法先利用先驗(yàn)信息確定參數(shù)的先驗(yàn)分布，再綜合先驗(yàn)信息和試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到參數(shù)的后驗(yàn)分布[13-14]。在 Bayes方法中，參數(shù)先驗(yàn)分布的確定十分重要，將直接影響最后結(jié)果的準(zhǔn)確度。當(dāng)前，參數(shù)先驗(yàn)分布的確定方法主要有共軛先驗(yàn)分布[15]、主觀概率法[16]、無信息先驗(yàn)分布[17]和Bootstrap抽樣法[18]。上述確定方法中，共軛先驗(yàn)分布具有一定的使用范圍，并不是所有模型參數(shù)都有相應(yīng)的共軛先驗(yàn)分布；主觀概率法因主觀因素使得預(yù)測結(jié)果誤差較大；無信息先驗(yàn)分布中Bayes假設(shè)的使用必須滿足一定的前提條件；Bootstrap抽樣法通過反復(fù)抽樣擴(kuò)大樣本數(shù)量，在分析小樣本問題的可靠性中有很強(qiáng)的適用性，但在無先驗(yàn)信息時不適用。Bayes方法的后驗(yàn)分布求解涉及到高維積分運(yùn)算，計(jì)算過程復(fù)雜且速度緩慢。

本文提出一種改進(jìn)的Bootstrap-Bayes可靠性分析方法，針對先驗(yàn)分布確定方法中存在的一些不足，利用GM(1,1)模型擴(kuò)大Bootstrap抽樣法確定先驗(yàn)分布的適用范圍，使Bootstrap-Bayes法在無先驗(yàn)信息時也能使用，進(jìn)而使得Bootstrap-Bayes法在小樣本可靠性分析中具有更大的使用范圍。然后，通過馬爾科夫鏈蒙特卡洛（Markov Chain Monte Carlo, MCMC）方法中的Gibbs抽樣簡化后驗(yàn)分布的求解過程，避免了復(fù)雜的高維積分運(yùn)算。最后，根據(jù)Arrhenius加速模型得出剩余電流動作斷路器的可靠性預(yù)測結(jié)果，為用電人員提供有力的數(shù)據(jù)參考。

1 剩余電流動作斷路器的加速退化試驗(yàn)

1.1 加速退化試驗(yàn)

作為一種高可靠性、長壽命產(chǎn)品，電子式剩余電流動作斷路器進(jìn)行壽命試驗(yàn)所需試驗(yàn)周期過長，因此，本文利用加速退化試驗(yàn)得到的退化數(shù)據(jù)對其可靠性進(jìn)行評估。晶閘管、二極管、零序電流互感器等內(nèi)部電子元器件的老化會造成電子式剩余電流動作斷路器的失效。溫度的升高將明顯加快電子元器件的腐蝕老化過程，同時，印制電路板的絕緣物質(zhì)在高溫下將分解出有機(jī)氣體，也會影響其他部分的性能。由此可見，溫度是影響電子式剩余電流動作斷路器性能退化的主要因素，高溫將明顯加快剩余電流動作斷路器的性能退化過程[19]。因此，選取溫度作為加速退化試驗(yàn)的加速應(yīng)力。在保證剩余電流動作斷路器的失效機(jī)理不變的情況下，為加快其退化速度，將試驗(yàn)溫度應(yīng)力水平分別設(shè)置為50℃、60℃、70℃、85℃。

參照GB/T 2689.1-1981《恒定應(yīng)力壽命試驗(yàn)和加速壽命試驗(yàn)方法總則》中相關(guān)規(guī)定，綜合考慮試驗(yàn)時間和試驗(yàn)成本，將每個溫度應(yīng)力水平下的試驗(yàn)樣本數(shù)確定為5。因此，隨機(jī)選取20只同批次生產(chǎn)的額定剩余動作電流值為30mA的電子式剩余電流動作斷路器進(jìn)行恒定應(yīng)力加速退化試驗(yàn)。

在試驗(yàn)過程中，每24h測量一次剩余動作電流值，共測量28個周期。每個試驗(yàn)周期內(nèi)先設(shè)置溫度為25℃，并保持2h，在2h內(nèi)將溫度試驗(yàn)箱內(nèi)的溫度調(diào)至選定的溫度應(yīng)力水平并持續(xù)16h，最后在2h內(nèi)將溫度降低至25℃并保持2h。每個試驗(yàn)周期末尾時刻測量剩余電流動作斷路器的剩余動作電流值。

試驗(yàn)平臺主要由剩余電流動作斷路器檢測裝置和溫度試驗(yàn)箱組成。試驗(yàn)平臺電路框圖如圖1所示。圖中，L1為電源線，L2為零線，L3為檢測線。

溫度試驗(yàn)箱用于提供剩余電流動作斷路器加速退化試驗(yàn)所需的高溫環(huán)境。為了保證試驗(yàn)過程中剩余電流動作斷路器能夠可靠動作，利用剩余電流動作斷路器檢測裝置通過導(dǎo)線L1、L2為其提供輔助電源。導(dǎo)線L1、L3是檢測裝置在檢測剩余電流動作斷路器的性能退化特征量時，向其提供剩余電流的通道，使其能夠測定剩余電流動作斷路器動作時對應(yīng)的性能退化特征量。

1.2 退化數(shù)據(jù)分析

在50℃、60℃、70℃、85℃各組試驗(yàn)中，每個溫度下的5個試品的剩余動作電流退化趨勢相同，退化速率差異性不大。以60℃時剩余動作電流退化數(shù)據(jù)為例，對同一溫度應(yīng)力下5個剩余電流動作斷路器試品的退化趨勢進(jìn)行分析，60℃時退化數(shù)據(jù)如圖2所示。

圖2 60℃時剩余電流動作斷路器的退化數(shù)據(jù)

由圖2可知，隨著試驗(yàn)時間的增加，剩余電流動作斷路器的剩余動作電流值逐漸減小，呈下降趨勢，且5個試品的剩余動作電流退化趨勢基本一致，退化速率差異性很小。

比較不同溫度時剩余動作電流值的退化趨勢，每個溫度應(yīng)力下隨機(jī)抽取1個試品，如圖3所示。

由圖3可知，各溫度應(yīng)力下剩余電流動作斷路器的剩余動作電流值都呈現(xiàn)下降趨勢，且下降速率隨著溫度的升高而增加。

圖3 不同溫度剩余電流動作斷路器的退化趨勢

2 剩余電流動作斷路器的偽失效壽命

2.1 外推偽失效壽命

對獲得的退化數(shù)據(jù)進(jìn)行退化軌跡擬合，利用最小二乘法估計(jì)不同溫度下剩余電流動作斷路器的性能退化軌跡參數(shù)，并根據(jù)失效閾值外推偽失效壽命值。試驗(yàn)所選剩余電流動作斷路器的額定不動作電流值為15mA，假設(shè)試驗(yàn)初始時刻斷路器的剩余動作電流值為，則相對失效閾值=-15。

以60℃下剩余電流動作斷路器樣品為例給出具體的偽失效壽命求解過程，利用最小二乘法將得到的剩余動作電流退化數(shù)據(jù)分別與常見的退化模型進(jìn)行擬合，并根據(jù)殘差二次方和最小原則確定最優(yōu)擬合模型。常見的退化模型有線性函數(shù)（=+）、指數(shù)函數(shù)（=e）、對數(shù)函數(shù)（=ln+）和冪函數(shù)（= ）。60℃下斷路器樣品的擬合殘差二次方和見表1。

表1 樣本數(shù)據(jù)與各模型擬合的殘差二次方和

Tab.1 The residual sum of squares of the sample data and each model fitting

通過比較表1中各個退化模型下的殘差二次方和，可以看出，5個樣品在線性函數(shù)下的殘差二次方和最小，殘差二次方和越小說明擬合效果越好，即可以確定線性模型的擬合效果最好。

經(jīng)驗(yàn)證，其余3個溫度應(yīng)力水平下，剩余電流動作斷路器樣本數(shù)據(jù)均與線性模型擬合的效果最好。由此得到4個溫度應(yīng)力下共20個剩余電流動作斷路器線性退化模型的斜率和截距參數(shù)值以及外推得到的偽失效壽命值，見表2。

表2 偽失效壽命

Tab.2 Pseudo-failure life

2.2 偽失效壽命分布類型檢驗(yàn)

威布爾分布具有很好的兼容性，能夠?qū)Ω黝悢?shù)據(jù)進(jìn)行擬合，可以描述出產(chǎn)品在不同時期的失效過程。因此，本文選擇雙參數(shù)威布爾分布對電子式剩余電流動作斷路器進(jìn)行可靠性建模。為了檢驗(yàn)剩余電流動作斷路器的偽失效壽命分布是否符合威布爾分布，利用K-S檢驗(yàn)法對斷路器的壽命分布進(jìn)行檢驗(yàn)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量見表3。

表3 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

Tab.3 Test statistics

當(dāng)顯著性水平為0.05時，通過臨界值表可知K-S檢驗(yàn)臨界值為0.563 3，表3中各溫度下偽失效壽命數(shù)據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量均小于0.563 3，因此可認(rèn)為剩余電流動作斷路器的偽失效壽命服從威布爾分布。

3 剩余電流動作斷路器的先驗(yàn)分布求解

3.1 先驗(yàn)信息的獲取

灰色GM(1,1)模型是一種常用的小樣本預(yù)測方法，預(yù)測過程簡單、結(jié)果準(zhǔn)確度高[20-22]。因此，本文利用灰色GM(1,1)模型對剩余電流動作斷路器偽失效壽命數(shù)據(jù)擴(kuò)充，將擴(kuò)充后得到的偽失效壽命數(shù)據(jù)作為先驗(yàn)信息。以60℃時剩余電流動作斷路器偽失效壽命的擴(kuò)充為例，具體步驟如下：

（1）根據(jù)外推的剩余電流動作斷路器偽失效壽命值，可以得到60℃的原始序列={282.75, 296.43, 303.22, 310.55, 317.02}，對其進(jìn)行一次累加，得到累加生成序列為={282.75, 579.18, 882.40, 1 192.95, 1 509.97}。

（2）利用得到的累加生成序列建立白化微分方程為

式中，、為待求解參數(shù)，其中為發(fā)展系數(shù)，為灰色作用量。

利用最小二乘法求,的解為

其中

在GM(1,1)模型中一般取值為0.5，求得=-0.022 5，=286.817 6。

（3）將得到的、值代入式（3）進(jìn)行累減還原。

式中，為預(yù)測樣本次序。得到10個擴(kuò)充數(shù)據(jù)：{324.45,331.84, 339.40, 347.13, 355.03, 363.11, 371.38, 379.84, 388.49, 397.33}。

（4）利用式（4）計(jì)算樣本的后驗(yàn)差，并根據(jù)表4模型精度檢驗(yàn)對得到的灰色模型進(jìn)行檢驗(yàn)。后驗(yàn)差值越小，預(yù)測結(jié)果越精確。

式中，1為原始數(shù)據(jù)的方均差；2為誤差數(shù)據(jù)的方均差。

表4 模型精度檢驗(yàn)

Tab.4 Model accuracy test

經(jīng)計(jì)算后驗(yàn)差值為0.016 8，小于0.35，即所得灰色模型預(yù)測精度為優(yōu)，預(yù)測結(jié)果較為精確。說明以灰色模型擴(kuò)充后的數(shù)據(jù)作為剩余電流動作斷路器的先驗(yàn)信息是可行的。

3.2 Bootstrap方法確定先驗(yàn)分布

將得到的參數(shù)值代入威布爾分布的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)中，有

4 剩余電流動作斷路器的后驗(yàn)分布求解

4.1 基于Gibbs的MCMC方法

4.2 MCMC方法確定參數(shù)估計(jì)值

Tab.5 Posterior statistic of parameter

Tab.5 Posterior statistic of parameter

均值標(biāo)準(zhǔn)差MC誤差開始點(diǎn)樣本數(shù) 369.900.375 40.009 71 0009 001 370.000.376 80.006 61 00019 001 370.000.375 70.004 91 00029 001 370.000.374 30.004 11 00039 001 370.000.372 80.003 51 00049 001

Tab.6 Posterior statistic of parameter

Tab.6 Posterior statistic of parameter

均值標(biāo)準(zhǔn)差MC誤差開始樣本樣本數(shù) 6.682.4440.182 91 0009 001 6.692.4950.126 81 00019 001 6.702.4670.095 71 00029 001 6.682.4550.079 81 00039 001 6.682.4470.066 81 00049 001

圖4 參數(shù)和的后驗(yàn)概率密度

5 剩余電流動作斷路器的可靠性評估

由于溫度是影響剩余電流動作斷路器性能退化的主要因素，故剩余電流動作斷路器的退化速率和溫度的關(guān)系可以用Arrhenius模型表示，即

式中，為剩余電流動作斷路器的特征壽命；為絕對溫度；、為待求參數(shù)。

分別利用上述改進(jìn)的Bootstrap-Bayes法對各組溫度應(yīng)力下剩余電流動作斷路器威布爾分布參數(shù)進(jìn)行求解。將各溫度應(yīng)力下剩余電流動作斷路器參數(shù)后驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量中的均值作為參數(shù)的估計(jì)值，用于評估正常使用環(huán)境下剩余電流動作斷路器的可靠性。不同溫度應(yīng)力下剩余電流動作斷路器的參數(shù)估計(jì)值見表7。

表7 剩余電流動作斷路器的參數(shù)估計(jì)值

Tab.7 Parameter estimation value of leakage circuit breaker

圖5中，數(shù)據(jù)點(diǎn)基本在一條直線上，擬合殘差二次方和為0.001 7，相關(guān)系數(shù)為0.994 5，線性回歸效果顯著。未知參數(shù)、的估計(jì)值分別為-4.864 2和2 484.913 0，則剩余電流動作斷路器尺度參數(shù)與溫度的關(guān)系為

將剩余電流動作斷路器正常使用環(huán)境溫度（25℃）代入式（15），得到常溫下尺度參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值為2 908.09。

正常使用環(huán)境下剩余電流動作斷路器的可靠度函數(shù)為

可靠度變化曲線如圖6所示。

對于可靠性較高的產(chǎn)品，人們往往只關(guān)心高可靠度范圍內(nèi)產(chǎn)品的可靠性信息，所以本文重點(diǎn)只研究高可靠度范圍內(nèi)剩余電流動作斷路器的可靠性評估。剩余電流動作斷路器可靠度評估結(jié)果見表8。

由圖6和表8可知，每個試驗(yàn)周期為24h，1 842個周期為1 842天，約為5年后剩余電流動作斷路器的可靠度開始迅速下降；6.4年左右時，剩余電流動作斷路器的可靠度約為0.90。根據(jù)得到的剩余電流動作斷路器可靠度信息，使用人員應(yīng)該在剩余電流動作斷路器發(fā)生故障前及時更換剩余電流動作斷路器，保證供電線路安全穩(wěn)定運(yùn)行。

表8 剩余電流動作斷路器的可靠度評估

Tab.8 Reliability evaluation of leakage circuit breaker

6 結(jié)論

針對剩余電流動作斷路器加速退化試驗(yàn)過程中沒有失效數(shù)據(jù)的情況，充分利用剩余動作電流退化數(shù)據(jù)，采用改進(jìn)Bootstrap-Bayes法對其可靠性進(jìn)行評估。得到如下結(jié)論：

1）通過退化軌跡擬合外推剩余電流動作斷路器的偽失效壽命，經(jīng)檢驗(yàn)其服從雙參數(shù)威布爾分布。

2）利用GM(1,1)模型對剩余電流動作斷路器偽失效壽命數(shù)據(jù)進(jìn)行擴(kuò)充得到的數(shù)據(jù)作為斷路器的先驗(yàn)信息。

3）利用MCMC的Gibbs抽樣結(jié)合Bayes公式得到參數(shù)的估計(jì)值，避免后驗(yàn)分布中的高維復(fù)雜積分計(jì)算，大大簡化了后驗(yàn)分布的求解過程。

4）根據(jù)Arrhenius模型得到在正常使用環(huán)境溫度下剩余電流動作斷路器的偽失效壽命服從（2 908.09, 9.96）的威布爾分布，并得到剩余電流動作斷路器的可靠性評估信息。

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Reliability Evaluation of Electronic Residual Current Operated Circuit Breakers Based on Improved Bootstrap-Bayes

（State Key Laboratory of Reliability and Intelligence of Electrical Equipment Hebei University of Technology Tianjin 300130 China）

As a kind of high reliability and long-life product, the electronic residual current operated circuit breaker has few test data. In order to evaluate its reliability, a reliability evaluation method based on improved Bootstrap-Bayes was proposed. Firstly, with temperature as the accelerated stress, the accelerated degradation test for the residual current operated circuit breaker was carried out. The pseudo failure life was obtained by extrapolating the degradation data, and it was verified to obey the two-parameter Weibull distribution. Then, the GM(1, 1) model was used to expand the experimental data as the prior information, and the parameter estimates were obtained by Gibbs sampling in the Markov Chain Monte Carlo (MCMC) algorithm combined with Bayes formula. Finally, the Arrhenius acceleration model was used to evaluate the reliability of the residual current operated circuit breaker under normal use environment.

Electronic residual current operated circuit breaker, GM(1, 1) model, Bootstrap sampling, Bayes, Markov Chain Monte Carlo (MCMC), reliability evaluation

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.210229

TM506

河北省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（E2020202221）和河北省高等學(xué)校科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目（ZD2019041）資助。

2021-02-24

2021-04-21

劉幗巾 女，1972年生，教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)殡娖髟O(shè)備可靠性。E-mail: liuguojin72@163.com（通信作者）

王 澤 女，1996年生，碩士研究生，研究方向?yàn)殡娖骺煽啃约皺z測技術(shù)。E-mail: 1207258945@qq.com

（編輯 崔文靜）