例談與反比例函數(shù)有關(guān)的圖形面積問(wèn)題

?湖北省建始縣教學(xué)研究室 李翠芝

1 引言

反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)是初中數(shù)學(xué)的一大難點(diǎn)，也是重點(diǎn)，是每年必考的內(nèi)容.而數(shù)形結(jié)合思想是解決初中數(shù)學(xué)問(wèn)題最重要、最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)思想方法.如,借助數(shù)軸求不等式組的解集、借助畫(huà)線(xiàn)段圖解行程問(wèn)題等都是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想.解決與反比例函數(shù)有關(guān)的圖形面積問(wèn)題時(shí),如果我們也能運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,往往可以使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化.下面舉例說(shuō)明.

2 基礎(chǔ)題型

圖1

圖2

3 簡(jiǎn)單應(yīng)用

解析：S△POB=S△POA-S△BOA

圖3

圖4

圖5

解析：如圖4,連接OA,OB，則

S△ABC=S△ABO=S△AOD-S△BOD

所以，k1-k2=6.故填：6.

4 常考類(lèi)型——與中點(diǎn)相關(guān)

這類(lèi)題主要是利用線(xiàn)段的中點(diǎn)得到圖形之間的面積關(guān)系，一般只需直接應(yīng)用k的幾何意義求解，但有時(shí)設(shè)坐標(biāo)求解也比較簡(jiǎn)單.

圖6

圖7

故選：B.

點(diǎn)評(píng)：此題也可以設(shè)A,D,B中任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出另外兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)面積求解.

圖8

解析：如圖9，過(guò)點(diǎn)E作EF垂直于y軸于點(diǎn)F.

圖9

易證△OEF∽△OBC.由中點(diǎn)條件易得

圖10

分析：此題的矩形和三角形頂點(diǎn)都不在原點(diǎn)，不能直接用k值表示圖形面積，適合設(shè)坐標(biāo)求解.

故選：D.

5 直擊中考——綜合題舉例

(1)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的反比例函數(shù)解析式；

圖11

圖12

點(diǎn)評(píng)：第(1)問(wèn)也可設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用三角形相似，由線(xiàn)段之間的關(guān)系表示出點(diǎn)B的坐標(biāo)再求函數(shù)關(guān)系式.寫(xiě)反比例函數(shù)關(guān)系式時(shí)要注意k值的正負(fù).第(2)問(wèn)的解答要過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線(xiàn),關(guān)鍵是把求三角形的面積轉(zhuǎn)化成直角梯形的面積問(wèn)題.

6 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，在解與反比例函數(shù)有關(guān)的圖形面積問(wèn)題時(shí),一般有兩種途徑：一是直接利用反比例函數(shù)解析式中k的值求解;二是利用函數(shù)解析式和圖形中的點(diǎn)之間的特殊關(guān)系巧設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)求解.即要解決形的問(wèn)題,我們抓住形的特征,以及形和數(shù)之間的特殊關(guān)系,把形的問(wèn)題直接轉(zhuǎn)化成數(shù)的問(wèn)題來(lái)求解.這里轉(zhuǎn)化的橋梁就是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo).