“證偽”與初中生數學學習的優化

?江蘇省泰州市海軍中學 楊金寶

1 引言

英國現代哲學家卡爾·波普爾在其重要的哲學著作《猜測與反駁》中曾提出，科學需要不斷地提出猜想、證偽，然后再提出猜想、證偽…….波普爾認為，衡量一門理論的科學性的標準就是它的“可證偽性”[1].在初中數學教學中，教師不僅要引導學生證明(證實)，更需要引導學生“證偽”，將“求是與證偽”相結合.只有引導學生主動質疑、反思、批判，以及找茬、挑錯，才能有效地引導學生證偽.只有引導學生證偽，才能引導學生“去偽”“存真”.

2 構造反例，提升學生質疑力

初中生在數學學習的過程中總是喜歡證明，而不喜歡證偽.這一方面是由數學學科的相對真理性造成的；另一方面是由學生習慣接受性學習狀態所造成的.當下，初中生不關心、不實踐證偽的表現形態主要有三種：其一，“無偽可證”；其二，“有偽不證”；其三，“證偽不實”.在數學教學中，要改變教師控制課堂的格局，創設學生自由質疑的良好氛圍.同時，要提升教師組織學生“證偽”學習的能力.要發掘證偽資源，開展證偽活動，充分發揮證偽的數學學習功能，不斷研發證偽的方式.

波普爾認為，“證偽”的過程就是一個人“提出假設”“實施證偽”，并再次提出新的假設的過程.“證偽”不是簡單地承認，也不是簡單地否決，而必須是以相應的證據來證明.波普爾深刻地指出：“一種嚴格的經驗總是要力圖找到一種反駁、一種反例.”從某種意義上來說，“證偽”是另一種意義上的“證明”“證實”.“構造反例”是學生數學“證偽”的一種重要方法.比如教學“全等三角形的判定”(人教版八年級上冊)這部分內容時，首先讓學生提出猜想:怎樣的兩個三角形全等？這時，學生會提出各種猜想.對于這些猜想，不僅要引導學生證明，更要引導學生證偽.筆者在引導學生學習的過程中，對于每一個判定法則，都讓學生以小組為單位舉反例.不僅如此，對于能夠舉出反例的小組，我們給這一小組“加星”，用以肯定學生的反駁思維.這種舉措，激發了學生數學學習的興趣，調動了學生數學學習的積極性，發掘了學生數學學習的創造性.每一個學生都力圖舉出成功的反例.實踐證明，在“三邊對應相等”“兩邊及其夾角對應相等”“兩角及其夾邊對應相等”“兩角及其一角的對邊對應相等”等猜想中，學生沒有舉出反例，而在“兩邊及其一邊對角”的猜想中，學生成功地舉出了反例，進而有效地證明了這個猜想的“謬誤性”.

構造反例不僅是一種有效的學習方法，更是證偽思想方法的重要組成部分.在初中數學教學中，教師要引導學生“舉反例”，鼓勵學生“舉反例”，讓“舉反例”成為學生數學思考的常態，成為學生數學探究的常態.如此，這種“舉反例”證偽的思想方法就能融入到學生的心靈之中，內化為學生的數學核心素養[2].

3 比較分析，提升學生鑒別力

俗話說，“有比較才有鑒別”.一個數學概念的形成，往往是不斷地分析、比較、嘗試錯誤的結果.證偽的過程教學，讓學生相信一切數學定理、法則都是一種猜想，因而就會對相關的數學學習內容進行辨析，從而避免了學生將相關的數學學習知識“教條化”的傾向.在初中數學教學中，教師要引導學生比較，不僅讓學生認識到“正確的結論”，更要讓學生認識到“錯誤”“偽”在什么地方？為什么“偽”？什么時候不“偽”？等等.通過正反比較分析，不僅有助于學生認識到數學知識的相對正確性，更能讓學生感悟到自己收獲了什么.

比如教學“一次函數”(人教版八年級下冊)這部分內容時，教師出示了多種變式的圖象引導學生判斷，其中有“連續性函數”和“非連續性函數”的比較.對于“非連續性函數”，很多學生一開始都認為這樣的圖象對應的不是函數.為此，筆者首先引導學生從函數的定義入手，學生深刻感受、體驗到非連續性函數也是函數.在此基礎上，再引導學生從正反兩個方面舉例進行比較.于是，有學生畫出了更多的連續性的函數圖象和非連續性的函數圖象；有學生畫出了x確定一個值，y不是唯一的值與之相對應的圖象；等等.通過正反兩個方面的比較、分析，讓學生深刻感受、體驗到函數的“映射性”，深刻認識到“在y是x的函數中，x每確定一個值，y就隨之有一個唯一確定的值與之相對應”.在初中數學教學中，“比較分析”有助于學生對數學知識進行證偽.任何一個數學知識點都有它的前因后果，引導學生從數學的視角去分析、比較，是培養學生證偽能力、證偽素養的重要方式.

證偽的方法很多.通過比較分析，有助于讓學生形成“數學的眼光”，可以讓學生形成“數學的大腦”.在初中數學教學中，教師要不斷地鼓勵學生進行分析比較，勇于反思、剖析自己，幫助學生養成“比較分析”的習慣，并落實到思考、探究之中，從而不斷提升學生的數學學習力，發展學生的數學核心素養.

4 逆向思考，提升學生反思力

在“證偽”的過程中，教師要引導學生逆向思考，通過逆向思考識錯辨因、激疑啟思.在逆向思維的過程中，教師要注重啟迪學生的創新思維.當學生在學習過程中受到了經驗、習慣等的支配而不能全面地、正確地分析問題，或者難以發現數學探究中的一些缺陷、不足時，教師可以引導學生逆向思考等，進而提升學生的反思力.在數學史上，最為典型的逆向思考就是俄國著名數學家羅巴切夫斯基用一個與非歐幾何的第五公設相矛盾的命題來代替它，竟然得到了系列邏輯上毫無矛盾的結論.在初中數學教學中，教師可以引導學生進行逆向思考.

比如教學“三角形的內角和”(人教版八年級上冊)這部分內容時，學生遇到了這個命題的判斷——“求證：在一個三角形中最多有一個鈍角”.這個命題證明，學生展開正向思考是沒有辦法完成的.而逆向思維就能讓學生從反面證明原命題的正確性.筆者在教學中，首先引導學生反設“假設一個三角形中有兩個或者三個鈍角”；接著引導學生歸謬“三角形的內角和就一定大于180°了，而這就與三角形的內角和定理相矛盾”；再次引導學生去偽存真，即“原假設不成立，也就是說一個三角形中不可能有兩個或者三個鈍角，或者說一個三角形中有一個或者沒有鈍角”，進而推翻假設，證明命題.顯然，逆向思考是借助于“證偽”的力量、方法、技巧等來證明，或者說是另一種形式的“證明”，這種證明方式也就是“反證法”.在初中數學教學中，教師可以引入、設計一些適合于學生逆向思考的例子，引導、啟發學生進行逆向思考.借助于逆向思考，有效地提升學生的證偽能力.

數學的發展離不開證偽，學生的數學學習同樣也離不開證偽.證偽有助于學生更加全面、深刻地理解數學知識.正如著名科學哲學史家拉卡托斯所說，“非形式、準經驗的數學的發展，并不是依靠知識的積累的數目，而是依靠思辨與批評、證明與反駁之邏輯對猜想的持續不斷的改進”.通過逆向思考展開證偽，有助于學生逐步走向證實、逼近證實.

5 追根究源，提升學生的探究力

錯誤往往是與真理相伴相生的.作為教師，不能粗暴地對待學生的錯誤，而應當以學生的錯誤作為載體、媒介，引導學生反思錯誤，正確地對待錯誤.在數學教學中，教師要把握學生頭腦中的迷思概念和相異構想，并且要弄清楚這些迷思概念和相異構想所產生的土壤.引導學生證偽，要讓學生自覺追問自身迷思概念和相異構想所產生的原因.只有這樣，才能引導學生消除誘發錯誤的根源，進而引導學生有效地糾錯.在數學教學中，教師不能讓學生停留在淺層次的“證偽”上，而是要引導學生追根溯源，進而提升學生的數學探究力.

傳統的數學教學往往是讓學生去證明一個定理、法則的誕生過程，是證實知識的真理性.而“證偽”則是去證明一個定理、法則等是“錯誤”的.證實需要學生不斷地驗證，需要學生從各個方面去展開驗證，而證偽則只需要學生從某一個方面、某一個層面去推翻，就能有效地證明.比如教學“一次函數”(人教版八年級下冊)時，學生遇到了這樣一道習題：一次函數y=kx+b(-1 949≤x≤2 015)，相應的函數值取值范圍為“-2 015≤y≤1 949”，那么這個函數的解析式是什么？面對這樣的問題，很多學生都直接采用待定系數法，即將“x=-1 949，y=-2 015”和“x=2 015，y=1 949”代入y=kx+b，進而求出系數k.面對學生片面性的思維、探究，筆者沒有直接批評、說教，而是引導學生追本溯源，從一次函數的增減變化等視角進行思考，從而促進學生的自悟自得、自悟自糾，形成對一次函數整體性、系統性、結構性的認知.在這個基礎上，學生對一次函數自變量的值與函數值進行對應討論，從而優化了問題解決的思路，明晰了問題解決的路徑.

追根溯源能讓學生認識到數學知識的證偽性.“證偽”有助于激發學生對數學知識的深度思考.從某種意義上說，任何一個數學知識點的誕生都有它的前因后果，引導學生從數學知識的本源視角去認知，有助于培養學生的證偽能力.通過追本溯源式的證偽，能有效地啟發、點撥學生，從而讓學生“茅塞頓開”“豁然開朗”[3].

6 結束語

數學證偽不是一個新話題，卻又是一個新話題.在數學教學中，教師不僅要增強自身的證偽意識，更要引導學生增強證偽意識，提升學生的證偽能力，讓學生從無意識、零碎的、不規范的證偽走向有意識、結構性、系統性、規范性的證偽.“證偽”的思想、方法等有待教師進行系統地研究.通過“證偽”教學，有效地提升學生的數學學習力，發展學生的數學核心素養.