非均勻張力作用下多層膜結構動力穩定性研究

邵明月，張淼，武吉梅，慶佳娟，王靜

非均勻張力作用下多層膜結構動力穩定性研究

邵明月1，張淼1，武吉梅1，慶佳娟2，王靜2

（1.西安理工大學 印刷包裝與數字媒體學院，西安 710054；2.西安理工大學 機械與精密儀器工程學院，西安 710048）

非均勻張力；變速度；多層膜結構；動態穩定性

柔性電子制造通過卷到卷（R2R）方式可以有效控制生產成本、簡化生產工藝、有效避免材料浪費，已經成為RFID、薄膜太陽能電池、OLED、印刷電子等領域理想制造技術。從柔性電子制造的生產過程和功能薄膜的制備工藝可以看出，其具有明顯的多層化特點。其多層化、多材料特性，常常表現出異于一般結構的復雜力學行為[1]，在生產過程中多層膜結構產生的振動對涂布的均勻性、精準封裝等會造成嚴重影響，降低產品質量。

在R2R柔性電子制造中，料帶并不是嚴格勻速運動的。在涂布、干燥、輸送等過程中，料帶進行高溫鍍層時質量的增加、干燥時受到烘箱氣體的干擾、收放卷時料卷直徑的變化和導向輥轉動時的擾動，薄膜的速度通常是變化的，微小的速度擾動都會對印刷電子薄膜產品的質量產生很大的影響。由于導向輥安裝不平行也會導致薄膜兩端產生非均勻張力，導致涂布層粗糙度發生變化，引起褶皺。因此研究多層膜結構在非均勻拉力作用下變速運動振動特性十分有必要。近年來已經有大量關于軸向運動層合板橫向振動及穩定性的研究。趙飛等[2]采用分層理論對復合材料層合板的固有頻率和振型進行理論計算。劉金建等[3]利用多尺度法分析了變速運動板的失穩規律。陳立群等[4]用解析和數值方法同時研究了面內變速運動粘彈性板的橫向非線性振動，考察了面內運動平均速度、面內運動速度漲落、黏性系數等對穩態響應的影響。Yang等[5]采用多尺度法得到了軸向加速復合材料板的穩定邊界。Lu等[6]采用直接多尺度方法，研究了軸向移動的石墨烯增強層合板的動態穩定性。劉金堂等[7]利用Galerkin法與平均法研究了由共振引發的失穩區域。Hatami[8]利用經典板理論研究了平面內力作用下軸向移動對稱層合板的自由振動問題。Aydogdu[9]利用高階剪切變形層合板理論研究了復合材料動力特性。Marynowski等[10]研究了溫度對軸向移動多尺度復合材料板自由振動和臨界輸運速度的影響。Han等[11]用分析薄層結構振動的里茲方法研究了對稱疊層斜板的自由振動。關于軸向運動薄膜橫向振動及其參數振動也有許多研究成果。侯志勇等[12]利用達朗貝爾原理建立軸向運動薄膜橫向振動微分方程，并用微分求積法驗證解析解，求出了軸向運動薄膜的穩定區間。武吉梅[13]根據Floquet理論確定了紙帶的動力不穩定區域和穩定區域。邵明月[14]研究了非均勻張力下變速膜的振動特性和穩定性。Wu等[15]研究了系統參數對變速膜振動特性和穩定性的影響。盧瑤等[16]研究了變速運動粘彈性硬質薄膜的穩定性，分析了不同參數對運動薄膜穩定區域的影響。

以上研究少見對計及彎曲剛度非均勻拉力下變速多層膜結構的振動分析。文中綜合考慮了彎曲剛度及非均勻張力對變速復合膜結構運動穩定區域的影響，根據Floquet理論，得到了運動膜的動態穩定區間并繪制關系曲線分析系統參數對穩定區域的作用規律。

1 動力學模型及振動微分方程的建立

圖1 運動多層膜結構動力學模型

圖2 多層膜微觀結構理論模型示意圖

圖3 速度變化曲線

圖4 非均勻張力作用示意圖

多層膜結構運動時橫向振動方向上的速度為[12]：

根據Hamilton原理建立多層膜結構的能量方程式：

其中：

對式（4）進行變分運算得振動微分方程為：

引入無量綱量：

將式（6）代入式（5）得無量綱平衡方程為：

2 應用微分求積法建立復特征方程

多方程的微分求積形式為：

四邊簡支邊界條件的微分求積形式為：

對邊簡支另一對邊固支的微分求積形式為：

將方程（8）和邊界條件（9）、（10）合并得：

3 微分方程組的求解

應用二階四級隱式龍格庫塔法求解該運動微分方程組。求解公式為：

4 數值計算與分析

下面以一種功能薄膜進行數值分析，材料屬性見表1。

表1 功能膜各層材料屬性

Tab.1 Material properties of each layer of functional film

表2 三層鋪設四邊簡支復合膜前3階固有頻率文中解與解析解的對比

Tab.2 Comparison between the solution and the analytical solution of the first three order natural frequencies of the three-layer simply supported composite film

表3 單層膜前3階固有頻率本文解與解析解的對比

Tab.3 Comparison between the solution and the analytical solution of the first three order natural frequencies of monolayers

方程（16）與文獻[12]軸向運動薄膜的橫向振動微分方程一致。

由表2、表3和式（16）可知，式（5）計算非均勻張力作用下多層膜結構軸向運動橫向振動微分方程正確，并且應用微分求積法計算不同邊界條件下多層膜結構的振動頻率與文獻解析解均有很好的一致性，表明該方法研究多層膜結構動力穩定性是可行的。

4.1 四邊簡支邊界計算分析

圖5 平均速度與穩定區域的關系

圖6 張力比與穩定區域的關系

圖7 長寬比與穩定區域的關系

圖8 非均勻張力系數與穩定區域的關系

4.2 對邊簡支對邊固支邊界計算分析

圖9 平均速度與穩定區域的關系

圖10 非均勻張力系數與穩定區域的關系

圖11 張力比與穩定區域的關系

圖12 長寬比對穩定區域的影響

5 結語

文中研究了變速度多層膜結構在非均勻張力作用下的穩定性，以正弦速度變化的無量綱頻率和幅值為橫縱坐標，繪制了動力穩定性方程特征值為1時的穩定區域邊界變化曲線，說明了速度以正弦擾動時，速度變化的幅值與頻率越小，越有利于系統的平穩運行。同時分析了系統不同參數對運動多層膜結構穩定傳輸的作用規律，研究結論如下。

1）對于非均勻張力下運動多層膜結構，增大平均速度、張力比、非均勻張力系數，系統的穩定區域會變小；增大長寬比，運動多層膜的穩定區域會變大。

2）在系統不同參數中，平均速度的變化對運動多層膜穩定區域的影響最為顯著。

3）當邊界條件為對邊簡支對邊固支時，動態穩定曲線在=15之后變的平緩，當邊界條件為四邊簡支時，動態穩定曲線在=50之后才變的平緩。由此可知，四邊簡支邊界對速度變化頻率更為敏感，在相同條件下，對邊簡支對邊固支邊界比四邊簡支邊界的穩定區域更大。

該研究對提高運動多層薄膜結構印刷質量、改善柔性電子薄膜印刷在變速運動工況下鍍層平整性與套印準確性，確保薄膜穩定傳輸有重要參考意義。

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Dynamic Stability of Multilayer Film Structure under Non-uniform Tension

SHAO Ming-yue1, ZHANG Miao1, WU Ji-mei1, QING Jia-juan2, WANG Jing2

(1. School of Printing Packaging Engineering and Digital Media Technology, Xi'an University of Technology, Xi'an 710054, China; 2. School of Mechanical and Precision Instrument Engineering, Xi'an University of Technology, Xi'an 710048, China)

non-uniform tension; variable speed; multilayer film structure; dynamic stability

TB486

A

1001-3563(2022)15-0195-08

10.19554/j.cnki.1001-3563.2022.15.022

2021–12–05

國家自然科學基金（52075435）；陜西省自然科學基金（2021JQ-480）；陜西省教育廳自然科學專項項目（21JK0805）

邵明月（1989—），女，博士，西安理工大學講師，主要研究方向為機械結構動力學。

責任編輯：曾鈺嬋