基于Tracker的雪崩現象演示實驗

遲逢逢，張家晨，李 斌，韋先濤

(1.南京郵電大學 理學院，江蘇 南京 210023；2.中國科學技術大學 物理實驗教學中心，安徽 合肥 230026)

沙土、碎石和降雪的堆積是自然界中的常見現象，自然界中廣泛存在的堆積行為造就了很多奇觀，同時也威脅著人類的安全. 例如人們常被告誡禁止在雪山附近大聲喧嘩，這是因為特定頻率的聲音會引起雪崩災害. 離散顆粒的堆積與雪崩一直是離散力學研究的熱點[1-2]. 研究雪崩現象有利于做好災害防控和指導堆積密集型產業安全堆積，同時也有利于控制顆粒在傳送帶上高效流動. 大學物理中對多質點體系的應力、摩擦力和機械波的傳播進行了詳細論述[3]，但在物理實驗課程中卻少有能同時結合這些力學和聲學知識點的實驗. 本文利用常用的器材搭建了聲波誘導崩塌的實驗裝置，演示了雪崩現象，探究了石英砂顆粒對不同頻率聲波的響應結果，并進行了分析討論.

1 實驗材料與儀器

1.1 石英砂顆粒

在實驗室環境，采用顆粒粒徑為0.125～8 mm的石英砂演示聲波誘導發生雪崩的現象較為明顯. 粒徑過大的顆粒難以在有限空間內達到所需要的數目，粒徑較小的顆粒容易產生揚塵，從而污染實驗操作環境. 此外，粒徑過小的石英砂顆粒需要頻率更高的聲波進行誘導，對實驗環境要求更加苛刻，實驗所用揚聲器不能滿足細小顆粒的頻率要求.

如圖1所示，按石英砂粒徑的尺寸編號為A(4 mm

圖1 5種不同粒徑的石英砂

1.2 聲波誘導崩塌實驗裝置

聲波誘導崩塌實驗裝置主要由信號發生器、放大器、高保真揚聲器、鐵架臺和漏斗組成. 信號發生器型號為SIGLENT SDG 2042X，頻率精度為1×10-6Hz，滿足實驗的精度要求. 放大器型號為HAOTIAN TECHNOLOGY AV-2200，輸出阻抗為10 Ω. 高保真揚聲器的阻抗為8 Ω，有效頻率為20～1 000 Hz. 揚聲器的性能滿足實驗需求，并且揚聲器與放大器的阻抗匹配.

聲波誘導崩塌實驗裝置的示意圖如圖2所示. 將規格為500 mm×500 mm×5 mm的木板放在揚聲器之上，中央與揚聲器恰好接觸. 為了避免實驗中木板產生過大位移，需要在木板四周采取吸能措施，實驗中采用定制尺寸的吸音海綿. 吸音海綿能在不破壞揚聲器與木板恰好接觸的條件下最大程度提高誘導平臺的穩定性，防止木板過度移位導致堆積體系發生非聲波因素的崩塌.

圖2 聲波誘導崩塌實驗裝置示意圖

聲波誘導崩塌實驗裝置實物圖如圖3所示. 圖3中為了展示出實驗所使用的揚聲器，將揚聲器置于木板之上，在實際操作時將揚聲器置于木板對角線交點的正下方.

圖3 聲波誘導崩塌實驗裝置的實物圖

2 實驗內容及分析

2.1 崩塌角的定義

在自然界中，頻率合適的聲波可以誘導雪崩的發生. 經過探究發現，在實驗室環境下利用特定頻率的聲波可以有效地誘導石英砂的錐形堆發生坡面雪崩. 自然堆積的石英砂的錐形堆發生雪崩的條件與石英砂的粒徑和聲波頻率密切相關. 利用聲波誘導石英砂的錐形堆發生雪崩，并不要求在錐形堆的底面提供較大的能流密度，只要頻率合適，聲波只需要提供極小的能量就能使錐形堆發生雪崩.

為了量化石英砂的錐形堆的崩塌程度，定義崩塌角

Δθ=θ0-θt，

(1)

其中，θ0為靜止角，表示顆粒在不受任何限制和外力作用時，由一定高度自然下落到水平面上，達到相當數量和高度之后，自動形成的圓錐體的母線和底平面(即水平面)的夾角[2]；θt為穩定角，表示在聲波作用2 s后，砂堆的母線與水平面所構成的夾角. 在前期開展的實驗中發現，顆粒體系在聲波作用的前1 s內發生劇烈崩塌，而在2 s以后崩塌很微弱，測得的角度基本不變. 因此，在本文中將θt定義為聲波作用2 s后的穩定角.

2.2 石英砂堆的澆筑

首先檢查實驗器材各部分是否接通良好，置于揚聲器上的木板是否水平，然后利用圖3所示的漏斗向木板平面上澆筑石英砂. 澆筑石英砂堆期間應保證漏斗下端持續流動，以避免石英砂流沖擊造成削峰現象，同時要保證木板水平穩定，防止外界擾動造成石英砂堆提前崩塌.

2.3 靜止角的測量

澆筑砂堆后，在正面和側面攝像，攝像時保證畫面水平中軸線與木板齊平，即正好看不見木板的上表面. 將所得圖像導入Tracker軟件進行角度定標[4-5]，每個圖像均要取左右2個坡面角數據，定標取角如圖4所示，最終獲得4個有效角度θ1～θ4.計算靜止角θ0時取4個角度的平均值. 計算得到靜止角的不確定度結果見表1.

圖4 靜止角的測量

表1 5種顆粒的靜止角的不確定度

可以看出A和B號顆粒的靜止角測量結果誤差較大，這可能是由于這2種顆粒的粒徑和尺寸分布較大導致. 粒徑小的顆粒間接觸面小、接觸點少、接觸摩擦力小，而粒徑大的顆粒則相反[2]. 粒徑尺寸的分布較大時，較小的顆粒會填充較大顆粒之間的堆積間隙，從而影響靜止角的測量.

2.4 穩定角的測量

將揚聲器的輸出功率調整至合適范圍內，保證當木板上只有少量顆粒時，顆粒不會被振離木板，實驗中設置揚聲器的輸出功率為18 W. 為了得到不同頻率聲波下的穩定角，從20 Hz開始，在聲波作用2 s后，測量穩定角，方法與測量靜止角相同. 每隔20 Hz測量1次數據，在極大值附近改為每隔5 Hz記錄1次數據. 頻率變化范圍為20～1 000 Hz. 測量完全部頻率的穩定角后，將砂粒回收，更換成其他編號的砂粒，并重新澆筑錐形堆，固定揚聲器的輸出功率，重復前面的操作步驟，直至將5種顆粒的穩定角θt全部測量完畢. 在選擇頻率時可以有疏密，即在崩塌現象顯著的頻率附近密集取點，在崩塌現象不顯著的頻率區間取較疏的點.

2.5 崩塌角與誘導頻率的關系

記錄不同粒徑的石英砂錐形堆的靜止角θ0和穩定角θt，利用式(1)計算不同誘導頻率下砂堆的崩塌角Δθ，繪制崩塌角Δθ與誘導頻率f的變化曲線，如圖5所示.用光滑的曲線對圖5中的數據點進行擬合，從擬合曲線中可以得到5種顆粒最敏感的聲波頻率，即峰值頻率，結果見表2. 其中低頻崩塌峰值頻率指石英砂堆在低頻聲波誘導下Δθ極大值對應的頻率，高頻崩塌峰值頻率則是在高頻聲波誘導下Δθ極大值對應的頻率. 由于實驗室揚聲器頻率的限制(20～1 000 Hz)，實驗中沒有獲得A，B和C號顆粒的低頻崩塌峰值頻率.

圖5 5種顆粒的崩塌角度與誘導頻率的關系

表2 石英砂顆粒的崩塌峰值頻率

2.6 高頻崩塌峰值頻率與顆粒粒徑的關系

砂堆對聲音的敏感程度不取決于砂堆的大小或形狀，只取決于顆粒的粒徑[6]. 進一步探究粒徑與崩塌峰值頻率的關系，有利于預測不同堆積體系的敏感聲波頻率.

文獻[7]通過理論推導得出了砂堆雪崩時發出的聲音頻率f與粒徑D滿足：

(2)

其中，λ為與砂堆顆粒種類相關的系數，g為重力加速度，D為砂粒的粒徑，f為聲波頻率.文獻[7]認為砂堆雪崩時發出聲音現象的本質是特殊的共振模型并且可以由外界提供砂堆的發聲頻率f來促使沙堆發生雪崩.

取本文所用5種石英砂顆粒粒徑區間的中間值作為粒徑D，以高頻崩塌峰值頻率作為頻率f，繪制f和D之間的關系圖.采用與式(2)同一類型的函數

(3)

對實驗數據進行擬合.式(3)中的a為常量，可以通過擬合得到，擬合結果如圖6所示.砂粒粒徑越大，高頻崩塌峰值頻率越小，實驗結果與理論基本相吻合.因此，通過圖6可以獲得不同粒徑的砂粒堆體系的高頻崩塌峰值頻率，同時也能解釋在山谷中尖叫會有一定概率觸發雪崩的現象.

圖6 高頻崩塌峰值頻率與砂粒粒徑的關系

3 結束語

雪崩現象在自然界中廣泛存在，研究雪崩行為對人類安全和生產生活具有較大意義. 本文利用物理實驗課程常用的信號發生器、放大器、高保真揚聲器、鐵架臺和漏斗搭建了聲波誘導崩塌的實驗裝置. 實驗裝置簡單、成本低、測量結果穩定. 利用該裝置測量并計算了不同頻率聲波誘導下，5種石英砂堆的靜止角、崩塌角和穩定角，獲得了高頻崩塌峰值頻率與砂粒粒徑之間的變化關系，實驗結果與理論公式相符合. 本實驗可以為大學物理實驗中聲學實驗的教學提供參考，培養學生的探索能力和團隊合作能力，激發學生對物理實驗的學習興趣.