基于數碼觀測式分光計的勞埃德鏡干涉實驗

童利憑，王鳳鵬，張玉強，黃 贛，曾澤楷，劉 聰

(贛南師范大學 物理與電子信息學院，江西 贛州 341000)

光的干涉是大學物理、光學等課程的重要教學內容，開展光的干涉實驗不僅能很好地鍛煉學生的實驗動手能力，還有助于學生更好地理解光的干涉原理. 實現光的干涉通常有分波前法和分振幅法. 利用分振幅法進行干涉實驗的裝置有牛頓環、劈尖、邁克耳孫干涉儀等，利用分波前法進行干涉實驗的裝置有菲涅耳雙面鏡、菲涅耳雙棱鏡、勞埃德鏡等[1]. 目前，大學物理實驗課程中常做的實驗有牛頓環或劈尖等厚干涉實驗、邁克耳孫等傾干涉實驗、雙棱鏡干涉實驗[2]等，但很少用菲涅耳雙面鏡和勞埃德鏡開展實驗教學，這主要是因為：與菲涅耳雙棱鏡相比，菲涅耳雙面鏡實驗方案的光路調節更為困難，而在勞埃德鏡實驗方案中，虛像光源與實際光源之間的距離測量比較困難. 因此，近年來只有少數實驗研究報道將勞埃德鏡用于微小尺度測量[3-4]、薄膜厚度測量[5]，而沒有用勞埃德鏡驗證雙縫干涉原理的實驗研究. 此外，傳統實驗中通常采用測微目鏡或顯微鏡觀測干涉條紋，由于測微目鏡或顯微鏡的視場較小，使得教師不能邊講解邊展示實驗現象. 利用數碼相機作為觀測工具可以較好地解決這些問題[6-8].

本文在已有的數碼觀測式分光計的基礎上做進一步改進，設計了實現勞埃德鏡干涉的實驗方案，通過測算光源波長來驗證雙縫干涉的實驗原理.

1 實驗原理與方案

1.1 數碼觀測式分光計的結構

文獻[7]提出了數碼觀測式新型分光計，其結構如圖1所示，其中1～9為利用數碼相機替代傳統望遠鏡及支架的部分，其余結構與傳統分光計相同. 將數碼相機固定在鳩尾板上，鳩尾板可在鳩尾槽中前后移動，從而使數碼相機靠近或遠離載物臺，在合適位置處固定. 鳩尾槽通過彈簧片與T形立柱連接，T形立柱上設有數碼相機俯仰調節螺絲，用于調節數碼相機的俯仰角. T形立柱安裝在轉座上，使數碼相機可繞旋轉軸旋轉.

1.T形立柱 2.數碼相機俯仰調節螺絲 3.彈簧片 4.鳩尾槽 5.數碼相機前后固定螺絲 6.鳩尾板 7.數碼相機 8.鏡頭緊固環 9.鏡頭緊固螺絲圖1 數碼觀測式分光計

1.2 勞埃德鏡干涉實驗原理

拆下數碼觀測式分光計中準直管部分的準直透鏡和數碼相機的鏡頭，在載物臺上垂直放置平面反射鏡，即可進行勞埃德鏡實驗. 如圖2所示，平面反射鏡豎直放置在分光計的載物臺上，并使狹縫S的方向與鏡面平行. 固定刻度盤和數碼相機的位置，使游標盤和載物臺帶反射鏡一起轉動，當狹縫S處在平面鏡鏡面內時，如圖2(a)所示，光束直接照射到數碼相機的圖像傳感器上，此時沒有干涉現象，但在明暗交界處會出現邊緣衍射現象. 然后，輕微轉動游標盤使平面鏡偏轉小角度θ，如圖2(b)所示，此時，從狹縫光源S發出的光一部分掠入射到平面鏡后反射到數碼相機的感光元件上，另一部分直接投射到數碼相機的感光元件上. 在數碼相機感光元件上2束光的交疊區域里將出現等間距的干涉條紋.

(a)無干涉現象 (b)有干涉現象圖2 勞埃德鏡實驗裝置示意圖

假設狹縫光源S到平面鏡鏡面的垂直距離為a，根據勞埃德鏡干涉原理[1]，可得光波波長為

(1)

其中，D為狹縫光源S到數碼相機感光元件的距離，Δx為干涉條紋間隔.測出分光計中狹縫S到旋轉軸的距離L，根據幾何關系可以得到a=Lsinθ≈Lθ，則式(1)轉換為

(2)

因此，只要測出L，D，θ和Δx，就可根據式(2)計算出光波波長，從而驗證雙縫干涉原理.

1.3 實驗方法

1.3.1 實驗裝置調節

基于數碼觀測式分光計的勞埃德鏡干涉實驗裝置如圖3所示，其中準直管部分未安裝準直透鏡，數碼相機未安裝鏡頭. 由于實驗中利用分光計游標盤測量的角度很小，且不需要用到平行光，因此對分光計的調節要求較低，只需使載物臺大致垂直于旋轉軸即可. 具體操作如下：

1)將平面反射鏡垂直放置在載物臺上. 擰緊數碼相機止動螺絲和數碼相機與刻度盤離合螺絲，使該度盤和數碼相機的位置固定.

2)擰緊載物臺和游標盤間的鎖緊螺絲，松開游標盤上的止動螺絲，使游標盤和載物臺可帶著反射鏡一起轉動.

(a)俯視

1.3.2 調節干涉條紋

轉動游標盤改變平面鏡角度，使在數碼相機顯示屏上觀察到2束光的交疊區在明暗分界線附近，如圖4所示. 調節狹縫寬度和方向，當狹縫寬度滿足空間相干性條件[1]且方向與平面反射鏡嚴格平行時，交疊區可觀察到清晰的等間距的干涉條紋，如圖4放大部分所示，用數碼相機拍攝干涉條紋圖.

圖4 勞埃德鏡干涉條紋

1.3.3 測量θ角

拍攝記錄干涉條紋圖的同時，記錄下游標盤對應的刻度值φ1.緩慢轉動游標盤，使干涉條紋變粗，直到等間隔干涉條紋消失，而只有邊緣衍射條紋，如圖5所示.記錄此時游標盤對應的刻度值φ2.則

θ=|φ1-φ2|.

(3)

值得注意的是，測量刻度值φ2時容易出現誤差，可通過多次觀測來提高測量精度.

圖5 邊緣衍射條紋

1.3.4 測量L和D

利用直尺測出狹縫到旋轉軸的距離L和狹縫到數碼相機感光元件的距離D.

1.3.5 測量Δx

將1.3.2中拍攝記錄的干涉條紋圖導入電腦，利用Matlab或GIMP等軟件測出條紋間距對應的像素數，利用像素數與像素大小相乘便可以得到條紋間距Δx. 以GIMP軟件為例，在GIMP軟件中打開干涉條紋圖，選擇合適的放大倍數(如400%)顯示圖片，找到條紋區，點擊工具，再點擊測量，測出N(可取10或20)個條紋間隔對應的像素數.

2 實驗方案的運行結果及分析

為驗證本文提出的實驗方案，采用索尼NEX-7數碼相機(圖像傳感器面積：23.4 mm×15.6 mm，像素數：6 000×4 000，像素尺寸：δ=3.9 μm)進行實驗，采用波長為589.3 nm的鈉燈作為光源. 由于數碼相機的感光面積較大，因此實驗時很容易觀察到2束光的交疊區，調節狹縫寬度和方向，通過數碼相機電子顯示屏的放大功能可以觀察到清晰的干涉條紋. 調節游標盤改變反射鏡方向，通過數碼相機的顯示屏，可以直觀地展示干涉條紋寬度的變化，教師只需進行簡單地指導就可讓學生自行探索其中的規律. 在不同θ下拍攝記錄勞埃德鏡干涉條紋圖，其中3幅圖如圖6所示.

(a)θ=0.006 69 rad

因分光計有2個游標進行讀數，故θ的計算公式可由式(3)改寫為

(4)

測量φ2時，重復觀測3次，取平均值.使用GIMP軟件中圖像測距工具測出10個條紋間隔對應的像素數q，如圖6中白色線段所示.再利用

(5)

表1 勞埃德鏡干涉測波長實驗結果

根據誤差理論公式，先求出各個變量的不確定度，其中D和L是利用最小分度值為1 mm的直尺測量的，且在測量過程中存在對準的不確定性問題，則uB(D)=uB(L)=1 mm.θ由最小分度為1′的分光計游標盤測量所得，uB(θ)=0.000 17 rad. Δx可以以數碼相機感光元件的像素大小作為最小分度值，根據式(5)可得，uB(Δx)=0.23 μm.由誤差傳遞公式計算出波長測量的B類不確定度為uB(λ)=0.017 μm.

最后采用方和根合成法，可得到測量的波長不確定度為0.02 μm.因此，波長測量結果為

λ=(0.59±0.02) μm,

Er=3.4%.

以上實驗結果表明，本文提出的實驗方案測量結果準確，其相對偏差小于5%，符合實驗教學要求.

3 結束語

利用數碼相機對分光計進行數字化改造，不僅可以更方便地開展分光計的調節和使用、透射光柵等實驗，還可進行勞埃德鏡干涉實驗. 在數碼相機未安裝鏡頭的情況下，載物臺上放置平面反射鏡，由游標盤測出有干涉現象時到干涉條紋剛好消失時載物臺轉過的角度，從而計算出狹縫光源到反射鏡的垂直距離. 利用數碼相機觀察拍攝勞埃德鏡干涉條紋圖像，有利于學生更好地掌握實驗裝置的調節方法和相關實驗原理. 通過數碼圖像測量干涉條紋間隔，可避免產生回程誤差. 實驗中需要用到的GIMP等圖像處理軟件，操作簡單，學生易上手. 從數碼圖像中提取實驗數據，可讓學生接觸到現代信息技術知識，有利于激發學生的實驗研究興趣.