菲涅爾衍射及有限時域差分在光柵仿真中的應用研究

宮鵬，徐桂成，張斯特，劉震宇

（中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，長春 130031）

計算機技術的高速發展，為波動光學及電磁學方程的研究提供了數值解法的工具，也使得數值仿真方法在許多光學領域得到了廣泛而深遠的應用，從電磁學最基本的麥克斯韋方程組出發的有限時域差分方法，到光線傳播的角譜理論和傅里葉光學，都可以用數值方法加以求解［1］。針對理論的光學公式在數值計算過程和實際研究中的實現技巧及應用等有許多成果，例如在超分辨率時光場經過結構后的高精度聚焦情況研究［2］；在激光諧振腔的設計工作中腔內光束經過多次反射后的光場分布研究［3］；角譜衍射公式及快速傅里葉變換在數字全息波面重建中的研究［4］；在菲涅爾衍射計算中引入虛擬光波場以提高空間分辨率的研究［5］；以及通過矩陣法改進光場傳輸算法以提高計算效率的研究等［6］。

基于波動光學衍射原理所設計的衍射光學元件在諸多領域中同樣有著廣泛的應用，如實現光束的整形［7］，實現光束聚焦［8-9］，產生衍射圖樣等［10-11］。光柵作為一種應用非常廣泛的光學元件，在衍射光學尺度下的設計及制造需要較高的精度，其衍射場分布規律也隨光柵幾何的復雜程度增加而增加，因此光柵衍射場的仿真研究對于實際的光柵設計及加工具有深刻的指導意義。

本文從周期結構的相位光柵仿真分析出發，以菲涅爾衍射公式作為出射光柵之后光場傳播的主要計算工具，輔以光柵區域的有限時域差分計算仿真，研究了一種系統的光柵仿真方法。在光的波長尺度內，有限時域差分算法的網格尺寸不能大于波長的，否則會導致計算精度的缺失，而在面對光柵尺寸較大或者需要計算的傳播距離較遠時，單獨應用有限時域差分法會產生極大的計算量，也需要花費大量計算時間。因此在菲涅爾衍射的近場區，采取將有限時域差分計算得到的光場數據導出，用菲涅爾衍射公式來解決光場在后續介質中的傳播問題，大大減小了計算量和計算時間。結果顯示，光線在經過相位光柵后，在接收屏處產生了三個強度較高及對比度較高的衍射峰，即產生了可供后續處理及測量的光信號。同樣的，在周期結構的光柵基礎上，對于幾何分布不規則的非等距光柵和有加工誤差的光柵，也可以通過有限時域差分計算求解光柵區域內的光場分布，之后通過菲涅爾衍射解決光場在近場內的傳播問題。

1 算法分析

根據惠更斯-菲涅爾公式在近似條件下得到的二維菲涅爾衍射公式解析形式的表達式為：

式中，定義光場出射面所在z坐標為0；光場經過傳播后到達的接收屏位置所在z坐標為d，即為兩屏之間距離；?為復數形式表達的光場分布信息；為出射面處的幾何坐標及對應位置的光場信息；為光場經過z=d距離傳播后的接收屏位置處的幾何坐標和對應的光場信息，即為所要求的經過傳播后的光場信息；λ 為入射光線的波長；k=2π /λ 為對應波長光線的波數。解析形式的菲涅爾衍射公式針對接收屏處的各個位置，通過對出射面處的二維光場進行x和y方向的積分來得到整個出射面的光場對接收屏處各個位置的疊加效果。公式（1）中的積分上下限為-∞～+∞，當出射面處的通光孔徑幾何確定后，積分上下限即為實際的幾何空間。整個模型的幾何關系如圖1所示。

圖1 菲涅爾衍射模型分布示意圖

將上面的解析形式的菲涅爾衍射公式進行離散化處理，得到：

式中，M、N為將幾何x、y方向離散化的單元數。

當所研究的問題為一維問題時，則上述的解析形式和離散形式的菲涅爾衍射公式化為如下的形式：

2 光柵仿真

常見的光柵類型包括幅值光柵和相位光柵。本文以相位光柵為例，首先運用有限時域差分方法計算光柵及光線入射區域的光場分布，之后在光柵出射面處導出光場分布數據，然后運用菲涅爾衍射公式對相位光柵進行仿真模擬。整個計算的流程如圖2所示。

圖2 光柵仿真流程示意圖

這里的相位光柵設計為周期性結構，每個周期具有相同的柵距及占空比，光柵尺寸及相關材料屬性如表1所示，幾何模型如圖3所示。

表1 相位光柵相關參數

圖3 相位光柵幾何模型及相關參數

菲涅爾衍射公式所應用的條件為需要給出出射面的光場分布數據，無法直接應用于從空氣入射到光柵即介質材料發生變化時光柵對光場的作用效果，而有限時域差分方法則可以處理介質變化區域的計算問題，因此結合波動光學的有限時域差分來計算光柵附近區域內的光場分布情況。之后通過導出光柵出射面處的光場分布數據作為后續步驟的原始數據，再利用菲涅爾衍射算法計算光場經過一定距離傳播之后的分布情況，來仿真整個過程中光線經過光柵的作用之后在近場菲涅爾衍射距離下的分布結果。

首先進行有限時域差分部分的光柵仿真，模型如圖4所示，這里面內方向為x、y坐標，面外方向為z坐標。通過設置兩邊的邊界為重復性的周期邊界條件，可以通過計算五個光柵周期來實現無限長的周期性結構的光柵衍射效果。在空氣的邊界處設置入射邊界條件，入射光波的設置條件列于表2中。

圖4 光柵有限時域差分計算模型

表2 有限時域差分入射光波設置

五個周期的光柵結構計算區域內的光場模的分布如圖5所示，出射邊界處的電場z方向分布圖像如圖6所示。

圖5 光柵區域有限時域差分計算光場模結果圖

圖6 光柵出射面處光場z方向分布結果圖

將出射邊界處的電場z分量數據導出，后續研究即為光線射出光柵之后在空氣中傳播的過程中的衍射和干涉效應在接收屏處產生的光斑分布情況。

在實際制造及應用的光柵中，光柵都具有一定的寬度，通常有數百個周期，因此在上述有限時域差分計算得到的五個周期的出射光場數據基礎上，需要根據光柵的周期結構特性將五個周期數據通過復制擴展至200個周期來模擬實際尺寸下的光柵結構。

根據菲涅爾衍射的條件，在算法計算中設置接收屏距出射面的距離為50 mm，接收屏上的觀察寬度設置為-15～15 mm，圖7為經過菲涅爾衍射算法計算得到的接收屏處的光場模的平方的圖像，即為光強分布的圖像，也對應實驗上的光斑亮度。由計算結果圖像可見，最終在接收屏上的光強分布主要集中在五個區域，其中0級衍射級和±1級衍射級強度最高，對比度較高，光斑亮度也最高，這三級即可作為光線經過光柵作用后產生的信號，通過后續的元件作用和信號采集即可進行設計和應用。

圖7 接收屏處光場模的平方結果圖像

3 結論

本文主要是基于菲涅爾衍射公式和電磁場的有限時域差分算法進行光柵仿真的分析。有限時域差分算法通過直接求解麥克斯韋方程組來解得光場的精確分布形式，但是缺點是對于網格尺寸的要求很高，通常要小于入射光波長的，因此當光柵所需要的計算區域較大或者需要計算的傳播距離較遠時，就會導致劃分的網格數量極大，進而導致整個有限時域差分的計算過程花費時間過長。因此采用菲涅爾衍射與有限時域差分計算相結合的方式，首先通過有限時域差分方法構建模型求解得到介質過渡區域的光場分布，然后將計算得到的光柵出射面的數據導出，利用菲涅爾衍射公式編程計算得到光場在近場距離內也就是菲涅爾衍射區內的傳播之后的分布情況，有效地解決了傳播距離較遠時有限時域差分計算量過大的問題和介質過渡區域的計算方法問題。基于以上研究步驟，本文構建了周期結構的相位光柵，通過設置有限時域差分模型的初始邊界條件及將其數據結果進行擴展，使其與實際的光柵結構相匹配，之后將光場數據用于菲涅爾衍射計算。最終結果顯示光線經過相位光柵的作用后在接收屏處共形成了五個衍射峰，其中0級和±1級衍射峰較強，對比度較高，可作為光信號供后續元件和設備的處理和采集。而且基于有限時域差分算法的通用性，對于幾何結構不規律的非等距光柵和有制造誤差的光柵，以上仿真方法同樣適用，具有普適性。