基于DMD微透鏡陣列的投影儀光學鏡頭設計

李亞慧，王凌云，鄭茹，李光茜

（長春理工大學 光電工程學院，長春 130022）

投影顯示技術對環境要求較低，適合于家庭娛樂以及會議等大屏幕顯示。投影與平板顯示相比較可以實現超大屏幕顯示，是一種無論在經濟還是性價比上均為最高的顯示技術［1］。目前，投影技術主流發展趨勢為高亮度、高像質、微小型。當前市場中主流投影機采用的微顯示芯片有數字微鏡器件（DMD）、液晶顯示屏（LCD）、硅基液晶（LCOS）等，其中，DMD器件采用二進制脈寬調制技術控制生成景象的灰度，以其高亮度、高清晰度、色彩鮮艷等特點而備受市場歡迎［2］。

投影儀使用時，由于與幕布位置擺放不正確，會造成出射光線的中心光束無法照射到屏幕中心，便會導致幕布上畫面顯示不完整，對此只能將機器固定在幕布的軸心方向，使用十分不便。為解決以上使用不便等問題，引入偏軸，即投影儀鏡頭前片的透鏡中心向上偏移，從而偏心鏡片會使光路經過后偏離原來的軸心，即形成偏軸光路。本設計的投影儀鏡頭為100%偏移。潘君驊在文章中使用詞匯“偏軸系統”［3］。在早期實際應用中此類光學系統未被證實一定比傳統的光學系統具備明顯的優勢，偏軸系統僅僅被業余愛好者所使用。近年來，由于光學加工技術得到了發展，特殊面形才可以被制造，從而使得偏軸光學系統成為了光學系統設計發展的一個趨勢。另外，本設計鏡頭的畸變小于0.8%，而 Gao Y［4］設計的基于 0.6英寸 DMD 的投影儀鏡頭畸變小于4%，以及QIN G［5］設計的基于0.47英寸DMD的投影儀鏡頭的畸變小于3%，國內上海大學的侯國柱［6］在基于ZEMAX的大視場投影鏡頭設計中的畸變大于2.5%，中國計量大學的賀天賜［7］在共軸大孔徑投影鏡頭的設計中畸變也要大于1.5%。

所設計的投影儀鏡頭為100%偏移，畸變小，與無偏軸技術相比，使用場景增加，真正實現了投影儀在更多場合隨處投放，具有較大的市場前景。

1 設計思想

1.1 投影系統的結構

為滿足投影鏡頭在較短的距離內的投影面積盡可能大，系統必須要有較大的視場，且投影機內部均含有照明以及轉折光路，決定了系統必須具備較長的后工作距離［8］。綜合上述要求，投影鏡頭多采用反遠距型結構，圖1為其結構圖，反遠距型光學結構是完全非對稱的，由兩部分組成，分別為負的前組透鏡和正的后組透鏡，光闌設置在正組中間，入射高度較高的軸外光束產生的初級軸外像差和高級軸外像差均較大，前組透鏡產生的軸外像差最大程度由自身解決，剩余的量由后組來進行補償，尤其是初級彗差、初級畸變、初級倍率色差，因此選取不對稱的結構型式更為合理［9］。

圖1 反遠距型結構

短焦距、長后截距是反遠距鏡頭獨有的特點，投影鏡頭的要求恰好被滿足。而且，視場和相對孔徑分別決定前組結構、后組結構的復雜度［10］。

L1為透鏡組1，L2為透鏡組2，d為透鏡組1和透鏡組2之間的距離，f′為透鏡組的像方焦距，L為系統總長。

另外，視場越大，畸變量越大，因此在數字投影鏡頭的設計中，難點在于畸變的校正，光學結構鏡片越多畸變越容易校正，但系統復雜性增加，會造成鏡頭外形較大，同時也增加了鏡頭的成本，將適當的非球面加入到結構中，可以很好地解決上述問題，其成像質量也將在很大程度上被提高［11］。

1.2 設計指標

圖 2（a）、圖 2（b）分別為 50% 部分偏軸和100%偏軸的投影儀鏡頭。無支架時若將投影儀水平放在桌面上，部分偏軸的鏡頭將會導致一部分畫面缺失；而鏡頭為100%偏軸投出來的光線起點為放置的桌面，可以讓投影畫面全部投射在水平之上，不會導致畫面缺失。

圖2 偏軸示意圖

當畫面發生100%偏軸時，DMD芯片上邊緣中心與光軸重合，由于投影物鏡成倒立放大像，對應投影屏幕為畫面下邊緣中心與光軸重合，由于DMD芯片發生了1/2的垂直偏移量，此時系統半像高為7.8 mm。

表1所示為投影儀鏡頭的設計指標，選用分辨率較高、市場上使用較普遍的對角線為1.19cm（1 920 pix×1 080 pix）的DMD作為微顯示芯片。另外，軸上像點照度與相對孔徑的平方成正比，即

表1 鏡頭設計指標

式中，E0′為像點的照度；τ為光學系統透過率；B為與像點共軛的物點亮度；D為鏡頭入瞳直徑；f為鏡頭焦距。因此，像平面上中心點的照度由相對孔徑的大小來決定［12］。為滿足系統小型化要求，應使系統焦距盡可能短；同時，為增強像面光照度，設計指標F數定為1.8，會造成各種與口徑相關的像差較難平衡。

1.3 設計參數

投影鏡頭視場規劃如圖3所示，由于系統采用100%偏軸方式，根據圖3可計算出系統的視場范圍（投影距離L為2 m，Tr為投射比）：

圖3 投影鏡頭視場

根據DMD長寬比，計算出：

由圖3可知，系統的像高為：

2 設計過程

2.1 初始結構選取

根據系統設計參數等要求，查找鏡頭庫，選取了圖4（a）所示投影鏡頭作為初始結構，由9片鏡片組成，波段為 400～900 nm，半視場為 23°，口徑為12 mm，焦距為18.9 mm，總長度為116.4 mm。MTF曲線如圖4（b）所示。

圖4 初始結構

2.2 優化過程

在評價函數中設置優化變量，包括鏡片的曲率半徑、鏡片厚度、空氣間隙等。在對玻璃進行優化替換時，除通過 MNIN、MXIN、MNAB、MXAB等函數確定玻璃的最小折射率、最大折射率、最小阿貝數及最大阿貝數，還加入RGLA（合理玻璃）來精確控制，使得玻璃替換的過程中不出現虛擬的玻璃［13］。

另外，三膠合透鏡置于中間，能夠消除球面軸向色差，相較于雙膠合透鏡在玻璃材料選擇較少時有更大的優勢，且多一個結構參數，對像差進行優化設計時可以更便捷［14］。

表2為操作數控制：EFFL控制焦距為12.5 mm，TOTR光學總長115 mm，DIMX畸變最大值，RAID遠心度控制出射光線為平行光，REAY控制像面大小。

表2 操作數參數控制

3 設計結果及像質評價

3.1 設計結果

經過ZEMAX反復優化，最終的鏡頭結構如圖5所示，相比初始結構增加了3片鏡片，用于對MTF以及畸變等進行校正；所有視場的主光線都和光軸平行，從而與DMD垂直，為像方遠心光學系統且偏軸為100%，滿足各項設計指標，面型參數和玻璃材料如表3所示。優化后系統的焦距為12.49 mm，總長為115 mm，入瞳直徑為6.94 mm，后工作距為26.01 mm，為100%偏軸，滿足了投影儀使用便捷化的需求。

表3 面型參數和玻璃材料

圖5 鏡頭光學系統結構

3.2 像質評價

對于投影鏡頭，整個系統的分辨率包括微顯示芯片的分辨率和鏡頭的分辨率。為使系統能夠正常工作，鏡頭和微顯示芯片的分辨率必須匹配，微顯示芯片的分辨率可以依據下面公式計算：

式中，a為芯片單像元尺寸。經Zemax優化后，投影物鏡的MTF曲線如圖6（a）所示，在鏡頭分辨率93 lp/mm處，系統中心和邊緣視場的MTF值分別達到了0.8以上和0.5以上，滿足指標要求。

點列圖如圖6（b）所示，對于0～0.7視場，RMS半徑小于2.6 μm，即小于0.49像素；如圖6（c）所示為場曲與畸變，可知畸變絕對值被控制在0.8%以內；鏡頭橫向色差如圖6（d）所示，最大視場色差小于2.8μm，具有較好的成像質量。

圖6 像質評價函數

3.3 公差分析

各個透鏡尺寸的敏感度在一款鏡頭能否進行加工生產中具有重要的影響。若敏感度較高，則會在生產過程中導致透鏡加工和鏡頭裝配成品率低，因此公差分析是必不可少的環節［15］。

利用ZEMAX對系統公差進行分析。根據公差分析的一般方法，對公差的分析標準進行設置，本成像系統考慮的公差種類及對應的公差容限如表4所示。

表4 成像系統公差值

選擇敏感度分析方法，以后截距作為補償器，并且使用MTF值作為評價標準，然后選擇200次蒙特卡洛采樣分析［16］，得到的結果如表5所示。從表5中可以看出，90%的樣品在93 lp/mm處的MTF值高于0.323 4，滿足系統的設計要求。

表5 蒙特卡洛分析MTF概率分布

4 結論

設計了一款基于對角線1.19 cm DMD偏軸為100%的投影儀鏡頭，該鏡頭選取反遠距等光闌位于系統中部的普通成像系統作為初始結構，經過ZEMAX反復優化，最終構成像方遠心光學系統且鏡頭的各項指標均達到了設計要求，鏡頭的焦距為12.49 mm，后工作距為26.01 mm，總長 115 mm，對于 0～0.7視場，RMS半徑小于2.6μm，即小于0.49像素，系統邊緣32°視場的MTF值也達到了0.5以上，畸變小于0.8%，成像質量優良，F數為1.8，實現了投影儀在更多場合隨處投放，大大增加了其使用方便性，且滿足了投影儀高清晰度、結構緊湊的需求，有極大的市場應用前景。