波形鋼腹板PC組合箱梁純扭全過程分析模型

周 聰 ，李立峰

（1.湖南大學土木工程學院，湖南 長沙 410082；2.湖南科技大學土木工程學院，湖南 湘潭 411201；3.湖南科技大學結構抗風與振動控制湖南省重點實驗室，湖南 湘潭 411201）

與普通混凝土箱梁相比，波形鋼腹板組合箱梁（composite box girders with corrugated steel webs,CBGCSWs）具有自重輕、預應力導入效率高、完全避免腹板開裂等諸多優勢[1-3]，因此在我國得以迅速推廣.近十幾年來，國內外學者對CBGCSWs的抗彎[4-5]、抗剪[6-7]等方面的受力性能進行了廣泛研究.然而，聚焦其純扭性能方面的研究卻較為匱乏.事實上，用輕薄的波形鋼腹板取代傳統的混凝土腹板后，CBGCSWs的抗扭剛度會被大幅削弱（大約僅為傳統混凝土箱梁的30%～40%）[8].因此，在扭轉效應突出的情形下（如曲線梁橋、偏心荷載等），該結構的抗扭問題值得重點關注和深入研究.

針對波形鋼腹板PC組合箱梁（prestressed concrete composite box girders with corrugated steel webs, PCCBGCSWs）純扭作用下的受力問題，諸多學者均提出過相應的分析模型.Mo等[9]將變角軟化桁架理論（rotating angle softened truss model for torsion,RA-STMT）應用于PCCBGCSWs，提出了一種預測該結構純扭作用下力學性能的理論分析模型.基于RA-STMT，同時考慮結構的受力特點，聶建國等[10]建立了PCCBGCSWs在純扭作用下的非線性分析模型.丁勇等[11]以扭轉理論及固角軟化桁架模型為基礎，建立了PCCBGCSWs 在純扭作用下的抗扭承載力計算模型.Ko等[12]提出了預測PCCBGCSWs純扭受力行為的改進分析模型，該模型考慮了混凝土抗拉鋼化效應，并對混凝土翼緣板內的剪力流有效厚度進行了修正.但作者僅將該模型用于混凝土開裂后階段的分析，而針對開裂前階段的預測則基于Bredt薄壁構件扭轉理論[13].沈孔健等[14]將PCCBGCSWs的全過程扭矩-扭率曲線分成混凝土開裂前及開裂后兩個階段，并針對上述兩個階段分別采用扭轉剛度修正和RA-STMT進行分析.基于RA-STMT，同時將混凝土抗拉強度考慮在內，Shen等[15]提出了針對單箱多室PCCBGCSWs純扭全過程的分析模型.Shen等[16]以軟化薄膜元模型（softened membrane model for torsion, SMMT）[17]及RA-STMT為基礎，建立了PCCBGCSWs純扭全過程分析模型.之后，Shen等[16]對該模型進行了改進，在模型中考慮了預應力效應對初始應力及應變的影響[18].

從以上文獻可以看出：已有的PCCBGCSWs純扭分析模型大都基于RA-STMT.然而，由于RASTMT忽略了混凝土的抗拉強度和抗拉剛化效應，也不能考慮開裂混凝土提供的抗剪強度，因此基于該理論提出的分析模型無法預測結構在混凝土開裂前的扭矩-扭率曲線，對混凝土開裂后純扭力學行為的預測也不夠精確.另外，有部分模型（如Ko模型[12]和沈模型[14]）分別采用不同的計算理論對PCCBGCSWs開裂前、后兩個階段進行分析，這樣的處理方式顯然不具有理論一致性.除此之外，已有理論模型的求解程序均包含多個迭代循環，因此導致這些模型的求解效率比較低.

本文基于SMMT提出了用于分析PCCBGCSWs純扭全過程受力行為的改進軟化薄膜元模型（improved softened membrane model for torsion，ISMMT）[19-20].該分析模型基于單一軟化薄膜元理論，考慮了混凝土抗拉強度及開裂混凝土提供的抗剪強度，且對剪力流有效厚度進行了合理修正.文獻[19]將國內外8根PCCBGCSWs純扭試件的扭矩-扭率曲線與ISMMT預測的理論曲線進行了比較，初步驗證了ISMMT的適用性.事實上，ISMMT除了能夠預測扭矩-扭率曲線，還能對各構件在加載全過程的應變歷程進行模擬.因此，該理論模型的準確性尚需進一步的驗證.

本文首先對ISMMT的平衡、變形協調、材料本構方程以及通用求解程序進行介紹；之后，針對ISMMT和同類型分析模型中求解程序過于復雜且耗時的問題，提出當波形鋼腹板、預應力及普通鋼筋均處于彈性階段時的簡化求解程序框圖；最后，完成1根PCCBGCSWs試件的純扭模型試驗，并將模型試驗結果與采用ISMMT計算的理論結果進行對比，來進一步驗證該理論模型的適用性與準確性.

1 軟化薄膜元模型（SMMT）簡介

通過考慮受扭構件中混凝土斜壓桿的受壓軟化效應，Hsu等[13]對空間桁架模型進行了改進，提出了經典的軟化桁架模型（softened truss model, STM）.該模型能準確預測純扭構件在極限狀態下的扭矩與扭轉角，但由于其未考慮混凝土的抗拉強度，無法對結構在開裂前的扭轉性能進行預測，因而具有局限性[21].

為了克服上述不足，Jeng等[17]將用于預測RC受剪構件受力行為的軟化薄膜元模型（softened membrane model, SMM）進行了改進，提出了針對RC受扭構件的分析模型（softened membrane model for torsion, SMMT）.該模型的創新點體現在：通過修正混凝土本構關系來考慮斜壓桿的應變梯度效應，并首次將混凝土的抗拉強度考慮在內.通過與已有文獻中的純扭試驗數據進行對比，表明SMMT能對RC實心純扭構件的全過程受力行為作出精準預測.

2 改進軟化薄膜元模型（ISMMT）

ISMMT是以軟化薄膜元理論為基礎，并將PCCBGCSWs的結構和力學特點考慮在內，進而得出的一種預測該結構純扭全過程受力行為的理論分析模型.以下對ISMMT的平衡、變形協調及材料本構方程以及通用求解程序進行簡要介紹，其詳細推導過程參見文獻[19-20].

2.1 平衡、變形協調及材料本構方程

2.1.1 平衡方程

對于承受外扭矩的PCCBGCSWs，其截面內會形成連續閉合的剪力流q來平衡外部扭矩，如圖1所示.圖中：A0為組合箱梁中剪力流中心線所包含的截面面積，A0=b(h-td) ，b、h分別為組合箱梁梁寬和梁高；td為剪力流有效厚度；T為箱梁承受的扭矩； τlt為l-t坐標系中的平均剪應力；s為箍筋間距.

圖1 純扭作用下波形鋼腹板PC組合箱梁Fig.1 Prestressed concrete composite box girder with corrugated steel webs subjected to pure torsion

根據組合箱梁截面平衡狀態可得

式中：As為在混凝土翼緣板內單獨閉合的剪力流q2所包含的截面面積； τw、 τwy分別為鋼腹板的剪應力和剪切屈服強度；tw為鋼腹板的厚度.

在混凝土翼緣板內剪力流區域取微元A，該微元受純剪作用.根據微元A面內平衡狀態可得

式中： σ1c、 σ2c分別為1與2方向的混凝土平均正應力； σ21c為 1-2 坐標系中混凝土的平均剪應力；fl、ft、fp分別為縱筋、箍筋及預應力筋的應力； ρl、 ρt、 ρp分別為縱筋、箍筋及預應力筋的含筋率，如式（5）；σci、fli、fpi分別為由預應力引起的混凝土（式（6））、縱筋（式（7））及預應力筋的初應力； ρli、 ρpi分別為扭轉前縱筋及預應力筋的含筋率，如式（8）.

式（5）～（8）中：Al、Ap分別為剪力流區間內的縱筋和預應力筋面積（單塊混凝土翼緣板內）；At為單根箍筋面積；Ec、Es分別為混凝土和鋼筋的彈性模量；εˉli為預應力引起的l方向初應變；Acc=Ac-Alw-Apw，Ac為混凝土翼緣板截面面積，Alw、Apw分別為全部縱筋和預應力筋的面積.

2.1.2 變形協調方程

根據Bredt薄壁構件扭轉理論[13]，可得組合箱梁截面變形協調方程為

式中： γlt為l-t坐標系中的平均剪應變； γw、hw分別為鋼腹板的剪應變和高度； θ 為組合箱梁扭率.

基于莫爾應變圓相關理論，可推導出微元A的3個變形協調方程為

式中： εl、 εt分別為沿l、t方向鋼筋的雙軸應變； ε1、ε2分別為1、2方向的混凝土平均雙軸正應變；γ21為1-2坐標系中混凝土的平均剪應變.

假定混凝土薄膜元中應變是線性分布的，可得變形協調方程為

式中： ? 為混凝土薄膜元應變梯度曲率； α2為混凝土主壓應力方向與縱筋的夾角，取45°；為2方向的混凝土表面單軸正應變.

微元A處于雙向受力狀態，雙軸應變與單軸應變之間的關系為

式中： εsf為縱筋與箍筋中先屈服者的應變； εy為鋼筋屈服應變.

2.1.3 材料本構方程

受壓混凝土的本構方程如下：

式（14）～（17）中： η 為修正系數，按式（19）計算；k1c為平均壓應力系數： ζ 為軟化系數；fc為混凝土軸心抗壓強度標準值； σ2c按文獻[19]分段選??；=0.625，為預應力引起的1方向混凝土初應變；β為裂縫旋轉角度.

受拉混凝土的本構方程如下：

普通鋼筋的本構方程如下：

預應力鋼筋的本構方程如下：

式中：fp為預應力筋的應力；Ep、 εp、 εpro、fpu分別為預應力筋的彈性模量、應變、比例極限應變和極限強度，

波形鋼腹板的本構方程如下：

式中：Ge為波形鋼腹板的有效剪切模量；Gs為鋼材的剪切模量；aw、bw和cw分別為波形鋼腹板的直腹板段、斜腹板段投影和斜腹板段長度.

混凝土剪應力與剪應變之間的關系為

需要指出的是，一些已有的PCCBGCSWs純扭分析模型（如文獻[9-10]）忽略了混凝土的抗拉強度，因此僅能預測結構在混凝土開裂后的抗扭行為.而ISMMT成功地將混凝土抗拉強度考慮在內，從而能夠預測PCCBGCSWs包括開裂前上升段在內的整個扭矩-扭率曲線.

2.2 求解程序框圖

2.2.1 通用求解程序

聯立式（9）、（11）可求得td的表達式，但可能出現計算所得td大于混凝土翼緣板厚度tc的不實際情況.因此，對td進行判定并修正，如式（25）.

式（25）的推導是為了避免采用“試錯法”迭代計算td，從而提高求解效率.ISMMT的通用求解程序見圖2（a），式（26）～（28）為迭代計算的 3 個收斂判別準則.

2.2.2 簡化求解程序

Jeng等[17]給出的SMMT求解程序適用于PC構件的純扭全過程分析，但其中包含2層嵌套迭代循環，較為復雜，求解耗時也較長.為提高求解效率，Jeng等在此基礎上提出了當普通鋼筋處于彈性階段時的簡化求解程序，該簡化程序僅包含1層迭代循環[22].同樣地，圖2（a）所示的通用求解程序適用于PCCBGCSWs純扭全過程分析，但包含3層嵌套迭代循環，求解更為復雜與耗時.因此，本文在充分考慮PCCBGCSWs結構特點的基礎上，參考Jeng等[17]提出的簡化模型，提出了當波形鋼腹板、預應力及普通鋼筋均處于彈性階段時的簡化程序框圖（圖2（b））.當縱筋、箍筋及預應力鋼筋均處于彈性階段時，其本構關系可分別表示為

將式（12c）、（12b）、（24）、（29）代入式（26）和式（27），可得

顯然， γ21可通過求解式（30）、（31）得出，求解γ21的目的是為了消除與 γ21相關聯的迭代循環.此外，由于波形鋼腹板也處于彈性階段，與 γw相關聯的迭代循環可通過代入 γw= τlttd/Gestw（根據式（23）和q= τlttd= τwtw求出）予以消除.至此，通過上述簡化，求解程序僅包含1層迭代循環，如圖2（b）所示.需要注意的是，圖2（a）所示的通用求解程序適用于純扭全過程分析，而圖2（b）所示的簡化求解程序僅適用于當波形鋼腹板、預應力及普通鋼筋均處于彈性階段時的純扭分析.

圖2 ISMMT的求解程序框圖Fig.2 Program block diagram for solution algorithm of the ISMMT

與通用求解程序相比，該簡化求解程序的計算效率有顯著提高，主要原因為：1） 通用求解程序與簡化求解程序分別包含3層嵌套迭代循環和1層迭代循環，其計算復雜度可分別用O(n3)和O(n)來表示（n為問題的維度）.因此，后者的求解效率要顯著高于前者；2） 通用求解程序采用“試錯法”來假定未知變量 γ21、 ε1和 γw的值，具有盲目性，求解效率低.而在簡化求解程序中，當收斂判別式不滿足后，程序可自動生成下一個迭代循環所需的初始值 εˉ2，從而避免采用“試錯法”盲目尋找，可有效提高求解效率.同時，與本文通用求解程序類似，已有的同類型分析模型（文獻[9-12、14-16、18]中模型）均包含3層嵌套迭代循環.因此，本文簡化求解程序的求解效率同樣遠高于已有同類型分析模型.

根據圖2所示求解程序框圖，本文采用MATLAB編制了PCCBGCSWs純扭全過程分析模型，運行程序可得到一組扭矩與扭率的離散點，最終繪成扭矩-扭率圖.

2.3 ISMMT與已有分析模型比較

與文獻中已有的同類型分析模型相比，ISMMT有著較為顯著的優勢.首先，由于ISMMT基于單一軟化薄膜元理論提出，因而具有理論一致性.同時，SMMT成功地將混凝土抗拉強度、抗拉剛化效應以及開裂混凝土提供的抗剪強度考慮在內.本文ISMMT基于SMMT提出，同樣能夠考慮上述效應，因而能準確模擬結構包括開裂前階段在內的全過程扭轉行為.此外，與已有分析模型[9-12,14-16,18]的求解程序相比，本文提出的簡化求解程序效率更高、求解耗時更少.因此，ISMMT為純扭作用下PCCBGCSWs的受力分析提供了有效途徑.

3 模型試驗

3.1 試件概況

設計并制造了一根等截面PCCBGCSWs試件，如圖3所示.圖3（a）為試件的立面圖，梁的長度及高度分別為2.8 m和0.55 m， 為方便固定與加載，在梁的兩端各布置一道0.4 m厚的橫隔板.圖3（b）為組合箱梁橫截面尺寸和預應力及普通鋼筋布置示意圖，普通鋼筋型號均為HRB335，規格均為Φ10.0，箍筋間距為100 mm，混凝土保護層厚度均為20 mm.預應力鋼束采用單根直徑15.2 mm、抗拉強度標準值1 860 MPa的低松弛鋼絞線，在加載前施加初應力.波形鋼腹板采用Q235鋼材，圖3（c）為其尺寸示意圖.為了確保波形鋼腹板與混凝土頂、底板連接處在加載過程中不提前發生破壞，剪力連接件采用剛度較大的雙PBL形式.此外，模型試件的材料特性列于表1.

圖3 試件尺寸Fig.3 Size of the specimen

表1 試件材料參數Tab.1 Material properties of the test beam

3.2 加載裝置

自行設計了一套純扭加載裝置，如圖4所示.試件的一端通過千斤頂進行固定，另一端通過加載梁夾緊后作為轉動端，在轉動端底部放置鉸支座.在壓力傳感器與反力梁之間放置球鉸，采用液壓千斤頂在加載梁上施加豎向偏心荷載，可使得試件在加載過程中處于近乎純扭的受力狀態.加載梁的懸臂段長1.65 m，通過壓力傳感器對豎向荷載的大小進行控制.由于加載梁自重較大，考慮加載梁偏心對試件產生的初始扭矩.

3.3 測試方案

3.3.1 扭矩與扭轉角

扭矩可近似按豎向偏心荷載與加載梁力臂的乘積計算，該近似值與考慮扭轉角的精確值相比相差較小[23].此外，在試件的1/2及3/4截面分別布置位移千分表來測量試件在加載過程中的扭轉豎向位移.按式（32）換算得到該截面的扭轉角，圖5為計算示意圖.

圖5 扭轉角計算示意Fig.5 Calculation diagram of torsional angle

式中：Lc為梁中心至千分表的距離； δc為千分表測得的扭轉豎向位移； αc為試件的扭轉角度.

3.3.2 測點布置

試件的測點布置情況為：在跨中截面左、右兩側波形鋼腹板上各布置6組（共12組）應變花，編號分別為 LW-1～LW-6（左側）和 RW-1～RW-6（右側）；跨中截面混凝土頂、底板沿橫向分別均勻布置5組（共10組）應變花，編號分別為TC-1～TC-5（頂板）和BC-1～BC-5（底板）；預應力鋼束采用后張法進行張拉（未灌漿，屬無黏結預應力），沿對角選取2根鋼束在其張拉端布置預應力傳感器，編號分別為PZS及P-YX（如圖4所示）；在混凝土頂、底板內各選取8個普通鋼筋（包括縱筋和箍筋）測點（共16個）布置應變片，編號分別為TG-1～TG-8（頂板）及BG-1～BG-8（底板）.上述主要測點的詳細布置情況如圖6所示.

圖4 純扭加載裝置Fig.4 Loading equipment for pure torsion test

圖6 應變測點布置Fig.6 Arrangement of strain measuring points

4 結果對比

為驗證ISMMT能否準確預測PCCBGCSWs中各構件在純扭作用下的應變歷程，將ISMMT預測的各項理論結果與對應的試驗結果進行對比，如圖7所示.

4.1 扭矩-扭率曲線

將扭矩-扭率曲線的理論和試驗結果列于圖7（a），其中，扭率的試驗結果取所有4個豎向位移測點按式（27）換算得到扭率值的平均值.從圖7（a）可以看出：當試件處于彈性階段時，扭率試驗結果要略大于對應的理論結果，造成該現象的原因可能是該階段扭率值相對較小，千分表讀數易受周圍環境的干擾.但由于本文僅完成了1根模型梁的純扭試驗，扭率的試驗與理論結果存在偏差的原因還有待進一步研究.在混凝土開裂后，理論與試驗曲線遵循著相同的發展趨勢，且吻合良好.此外，將理論和試驗曲線在純扭加載過程中關鍵節點處的對應結果列于表2～4.表中：T和θ分別為扭矩和扭率，下標第 1 個數（1、2、3）代表狀態（開裂狀態、屈服狀態和極限狀態），下標第2個數1、2分別代表理論值與試驗值.表中結果表明：除開裂狀態下的扭率試驗值與對應的理論結果相差較大外，其他結果均十分接近.由此可知：ISMMT能準確預測PCCBGCSWs在純扭狀態下的全過程扭矩-扭率曲線.

表2 ISMMT預測結果與試驗結果對比（開裂狀態）Tab.2 Comparison of the predicted torques and twists from the ISMMT and the experiment (cracking state)

4.2 波形鋼腹板剪應變

圖7（b）為由ISMMT和試驗給出的波形鋼腹板剪應變結果（絕對值）.從圖中可以看出：理論與試驗曲線吻合良好，且由分析模型給出波形鋼腹板平均剪應變位于各分散試驗曲線的區間內；左側與右側波形鋼腹板對應位置處的剪應變值很接近，且在凹進（LW-1～LW4、RW-1～RW4）與凸出（LW-5～LW6、RW-5～RW6）直鋼板處的剪應變值也相差很小.在鋼腹板屈服前，波形鋼腹板上的剪應變隨著外扭矩的增加而近乎線性增加.而當鋼腹板達到其屈服強度時，由于模型梁已基本達到其抗扭極限承載力，因此盡管波形鋼腹板上的剪應變迅速增加，施加在試件上的外扭矩仍基本保持不變.

4.3 混凝土翼緣板剪應變

圖7（c）給出了混凝土翼緣板剪應變（絕對值）的理論和試驗結果對比情況.圖中結果表明：當模型梁處于彈性階段時，混凝土翼緣板上的剪應變隨著外扭矩的增加而近乎線性增加，但增長幅度很?。辉谠撾A段內，理論結果與試驗結果高度吻合；在混凝土開裂后，混凝土頂、底板上的剪應變迅速增加，盡管此時試驗曲線較為分散，但由ISMMT給出混凝土翼緣板平均剪應變仍處于各分散試驗曲線的區間內，且二者遵循著同樣的變化趨勢.造成精度下降的主要原因在于混凝土裂縫出現位置及開裂角度的不確定性.

圖7 ISMMT預測結果與試驗結果對比Fig.7 Comparison of the results obtained from the ISMMT and experiment

表3 ISMMT預測結果與試驗結果對比（屈服狀態）Tab.3 Comparison of the predicted torques and twists from the ISMMT and the experiment (yield state)

表4 ISMMT預測結果與試驗結果對比（極限狀態）Tab.4 Comparison of the predicted torques and twists from the ISMMT and the experiment (limit state)

4.4 預應力鋼束應變

將由ISMMT和試驗給出的預應力鋼束應變結果列于圖7（d）.圖中結果表明：理論與試驗曲線吻合較好且遵循著同樣的發展規律，在混凝土開裂前，預應力鋼束的應變基本保持不變；當所施加的外扭矩達到開裂扭矩后，混凝土頂底板上斜裂縫的數量和寬度隨著外扭矩的增加而不斷擴張，從而導致預應力鋼束應變迅速增加.

4.5 縱筋及箍筋應變

圖7（e）、（f）分別給出了縱筋和箍筋應變的理論和試驗結果對比.從圖中可以看出：由于試驗誤差等原因，縱、箍筋各測點的應變試驗結果較為離散，但總體保持著一致的發展趨勢，且理論與試驗結果也較為吻合；預應力的存在會使得模型梁沿橋軸向產生初始應變.因此，在正式施加純扭荷載前，縱筋處于受壓狀態（如圖7（e））；圖7（d） 中預應力鋼束應變的變化趨勢和幅值與圖7（e）中縱筋應變一致，該試驗現象與理論模型中的假設吻合，從而進一步證明了理論模型的準確性.

4.6 求解效率

當采用ISMMT預測試件的純扭全過程受力行為時，在波形鋼腹板、預應力及普通鋼筋均處于彈性階段時分別采用簡化求解程序和通用求解程序進行計算，并對二者的求解耗時進行對比.其中，兩種求解程序的收斂誤差均控制在0.1%以內.結果表明，對于某指定的 ε2，采用通用求解程序求得 γ21、 ε1和γw真實值所需的總迭代次數最少為4.9 × 105次，最多達7.9 × 106次（需要說明的是，該迭代次數與 γ21、ε1和 γw所假定的迭代步長有關）.而采用簡化求解程序進行計算時，對于某指定的 εˉ1，求得所有未知變量的最少迭代次數為5次，最多也僅為193次.由此可見，采用本文提出的簡化求解程序可以極大地提高求解效率.

5 結 論

在軟化薄膜元理論的基礎上提出了改進軟化薄膜元模型（ISMMT）來預測PCCBGCSWs在純扭作用下的全過程受力行為.針對ISMMT以及已有同類型理論模型中求解程序所存在的迭代循環多、求解效率低等問題，提出了當波形鋼腹板、預應力及普通鋼筋均處于彈性階段時的簡化求解程序框圖.此外，還完成了純扭模型試驗對ISMMT的適用性與準確性進行驗證.主要結論如下：

1） 本文所提出的簡化求解程序框圖僅有一層迭代循環，其求解效率要遠高于國內外已有同類型分析模型.

2） 由模型試驗得到的試件扭矩-扭率曲線、波形鋼腹板和混凝土翼緣板剪應變、預應力及普通鋼筋應變與ISMMT預測的理論結果吻合良好，表明ISMMT除了能準確預測PCCBGCSWs的全過程扭矩-扭率曲線外，還能模擬混凝土翼緣板、波形鋼腹板、預應力和普通鋼筋等構件的整個應變發展歷程.該理論模型為更全面地了解PCCBGCSWs的純扭力學性能提供了有效途徑.