數(shù)傳天線機電耦合建模及微振動特性仿真與試驗研究

鄭照明月，程 偉，王光遠，李 名

(1.北京航空航天大學 航空科學與工程學院，北京 100191；2.四川航天系統(tǒng)工程研究所，成都 610100;3.中國空間技術研究院,北京 100094)

為了繼續(xù)提升高分辨率遙感衛(wèi)星的成像質量，遙感衛(wèi)星的穩(wěn)定度要求隨之不斷提升[1]。但衛(wèi)星上存在著控制力矩陀螺，動量輪，太陽翼驅動機構，數(shù)傳天線等活動部件[2-6]。衛(wèi)星在軌運行時，活動部件會產生微振動。微振動不僅影響相機等有效載荷的分辨率和指向精度，而且還可能影響衛(wèi)星姿態(tài)控制[7]。其中，星載數(shù)傳天線在航天器數(shù)據(jù)中繼和星間鏈路等任務中扮演著重要角色，但也是低頻段微振動的主要擾振源[8-10]。

混合式兩相步進電機由于其結構簡單、定位精度高、易于開環(huán)控制電路等優(yōu)點，在航天器活動部件低速轉動上應用廣泛[11-12]。目前，細分驅動(subdivision driving,SDD)被廣泛使用，它通過將電流變化細分為多個微電脈沖來提高電機的分辨率[13]和操作的平穩(wěn)性[14]。星載數(shù)傳天線由兩個垂直布置的步進電機驅動反射器轉動[15]。反射器為較大尺寸的柔性結構，通過驅動機構與支撐臂連接。為了提高數(shù)傳天線的指向范圍，避免反射器與衛(wèi)星本體出現(xiàn)干涉，雙軸數(shù)傳天線的支撐臂被設計為較長的尺寸，且具備一定的柔性。在天線工作時，步進電機的電脈沖信號和減速機構的嚙合齒諧波傳動都會產生微擾動[16-17]。這種微擾動可能引起柔性負載-反射器、柔性邊界-支撐臂產生結構振動，并反作用于步進電機。進而既影響星上有效載荷的性能指標，又會影響數(shù)傳天線本身的指向精度。所以，數(shù)傳天線的微振動現(xiàn)象可以歸納為在柔性邊界上步進電機驅動柔性負載的耦合振動問題，而這種問題的建模和分析比較復雜。

多數(shù)研究者以數(shù)傳天線的指向精度為設計目標，從步進電機和控制方法的角度建模。劉輝等[18]從指向算法、指向執(zhí)行、地面站指向、大氣傳輸?shù)确矫娣治隽藬?shù)傳天線指向精度的影響因素。周勇等[19]考慮了諧波齒輪的非線性和驅動電路的動態(tài)特性，建立了數(shù)傳跟蹤天線驅動機構模型。這類思路雖能有效分析數(shù)傳天線的指向精度，但卻無法預測數(shù)傳天線產生微振動的力矩大小。部分研究者從柔性結構角度建立了數(shù)傳天線的動力學模型。宋建虎[20]通過有限元法建立了數(shù)傳天線的動力學模型，計算分析了振動特性。Cao等[21]通過采用加載模態(tài)綜合-混合坐標法建立了數(shù)傳天線的柔性耦合動力學方程。他們的研究未考慮步進電機與柔性結構的耦合作用，不能準確解釋數(shù)傳天線的微振動現(xiàn)象。

在步進電機與結構耦合振動的研究中，Yang等[22]通過試驗和仿真驗證了步進電機存在電磁剛度。劉希剛[23]根據(jù)步進電機原理，將負載簡化為剛性，建立了數(shù)傳天線的微振動的一般解析模型和簡化模型。Chen等[24]通過簡化和線性化步進電機的電磁轉矩建立了步進電機的振動方程，并用兩自由度柔性系統(tǒng)進行了仿真分析。Sattar等[25]根據(jù)拉格朗日能量法建立了步進電機與剛性載荷運動學和微振動耦合的動力學模型。他們在研究中未考慮負載柔性和邊界柔性的影響，或對負載柔性和邊界柔性進行一定程度的簡化。也有研究者通過試驗研究了數(shù)傳天線的微振動現(xiàn)象，但未深入討論其產生原因和耦合機理。Wu等綜合考慮了步進電機和天線結構模態(tài)，通過試驗給出了一種半經(jīng)驗半解析的數(shù)傳天線微振動模型。Oh等使用KISTLER公司生產的測力臺測試了一種數(shù)傳天線的微振動，并設計了一種可以抑制其微振動的偽彈性SMA網(wǎng)墊。但他們均未揭示步進電機和天線結構的耦合關系。因此，需通過數(shù)學建模研究在柔性邊界上步進電機驅動柔性負載的耦合振動問題，并通過試驗驗證和分析數(shù)傳天線微振動產生的機理和影響因素。

本文研究了在柔性邊界上步進電機驅動柔性負載的動力學模型。通過線性化方法簡化了步進電機的動力學方程。采用動態(tài)子結構方法建立了在柔性邊界上步進電機驅動柔性負載的動力學模型，并給出了數(shù)傳天線微振動的解析表達式。通過坐標變化法分析了系統(tǒng)振動的耦合關系。最后，通過仿真和試驗驗證了方法的有效性。

1 雙軸數(shù)傳天線機電耦合模型

1.1 電流細分化的步進電機動力學方程的簡化

兩相混合式步進電機的驅動模型為

(1)

式中：Φ為磁鏈矢量；I為電流矢量;L為電感矩陣。電感矩陣為對稱矩陣，忽略周期性磁導函數(shù)的高階諧波分量，電感矩陣可表示為

式中，z為轉子齒數(shù)。為了使步進電機運行過程具備較好的平穩(wěn)性，通常將步進電機的驅動電流進行階梯化細分，因此電流矢量I可表示為

(3)

式中：IA和IB分別為A,B兩相繞組電流;If為永磁體的等效勵磁電流；Im為兩相繞組電流細分后的幅值;γ為電流細分后的電步距角;i為運行步數(shù)。

兩相混合式步進電機的動力學模型為

(4)

式中：θ為轉子的轉角；J0和C0為電機轉子的轉動慣量和電機內部的黏性阻尼系數(shù)；Te和Tl為電磁轉矩和負載轉矩。由式(1)～式(3)，電磁轉矩Te可化為

Km[IBcos(zθ)-IAsin(zθ)]-Kdcos(4zθ)=

(5)

(6)

(7)

所以，電流細分化的步進電機的動力學方程可化為

(8)

式中：K0=KmImz為步進電機的等效電磁剛度;Tex=KmImγi為電磁轉矩中的階梯激勵，該分量與轉子角位移無關。根據(jù)上式可知，電流細分化的步進電機可等效為電磁彈簧-阻尼系統(tǒng)，為進一步分析步進電機和數(shù)傳天線柔性負載和柔性支撐臂的耦合振動提供基礎。

1.2 柔性結構動力學模型降階

雙軸數(shù)傳天線由支撐臂、X軸步進電機、Y軸步進電機和反射器組成，其中支撐臂和反射器為柔性結構。圖1給出了雙軸數(shù)傳天線的結構示意圖。采用有限元方法對柔性結構建模時，結構自由度高，迭代計算量大，效率低。故選用動態(tài)子結構方法，對柔性結構的動力學模型進行縮聚，將高自由度的物理坐標轉化成低自由度的模態(tài)坐標，從而提高了計算效率。數(shù)傳天線的微振動主要集中于低頻段，忽略高階模態(tài)影響對計算精度影響不大。

圖1 雙軸數(shù)傳天線結構示意圖Fig.1 Structure diagram of data transmission antenna

圖2給出了雙軸數(shù)傳天線的坐標系，XYZ定義為慣性坐標系，x0y0z0為原點位于C點的固定坐標系，xayaza為中間坐標系，xbybzb為反射器坐標系。定義α為X軸電機轉過的角位移，β為Y軸電機轉過的角位移。首先，Y軸電機和反射器繞x0軸轉動α至中間坐標系，然后，反射器繞ya軸轉動β。坐標系的變換關系為

圖2 雙軸數(shù)傳天線坐標系Fig.2 Coordinate system of data transmission antenna

(9)

式中：i0j0和k0為x0y0z0坐標系的單位向量;iaja和ka為中間坐標系xayaza的單位向量;ibjb和kb為xbybzb坐標系的單位向量;R(x0,α)和R(ya,β)為坐標轉換矩陣。當天線反射器大角度轉動后，天線構型和力學特征均會發(fā)生較大變化，在后續(xù)推導中，將通過引入坐標轉換矩陣進行建模分析。

將數(shù)傳天線分為4個子結構，子結構1～子結構4依次為反射器、Y軸步進電機、X軸步進電機和支撐臂。根據(jù)動態(tài)子結構方法，將子結構的自由度劃分為內部自由度和界面自由度。子結構1在其局部坐標系的動力學方程為

(10)

(11)

(12)

根據(jù)固定界面模態(tài)綜合法，子結構的假設模態(tài)集由主模態(tài)和約束模態(tài)構成，子結構1的主模態(tài)和約束模態(tài)的求解方法為

(13)

(14)

式中，下標l代表子結構1保留的主模態(tài)階數(shù)，將式(14)第一行展開可得

(15)

因此，子結構1在其局部坐標系的假設模態(tài)集為

(16)

子結構2和子結構3在自由界面下均為單自由度振動系統(tǒng)，僅存在一個扭轉自由度，根據(jù)式(8)可將步進電機的動力學方程寫為

(17)

(18)

式中：上標2和3分別為子結構2和子結構3，各物理量的含義為

M2=J0+Jβ,M3=J0+Jα,C2=C3=C0,

K2=K3=K0,F2=F3=Tex

(19)

根據(jù)式(13)～式(15)給出方法，可得子結構2和子結構3的假設模態(tài)集

φ2=φ3=1

(20)

子結構4同樣為柔性結構，其動力學方程為

(21)

(22)

(23)

得到所有子結構的假設模態(tài)集后，可將系統(tǒng)的質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣、位移列向量、激勵列向量和模態(tài)矩陣定義為

(25)

對應于模態(tài)矩陣φ的模態(tài)坐標Xp可寫為

(26)

X=φXp

(27)

對系統(tǒng)的動力學方程進行第一次坐標變換，可將耦合系統(tǒng)自由度較高的物理坐標縮聚為自由度較低的混合坐標，即系統(tǒng)的動力學方程為

(28)

其中，

Mp=φTMφ,Cp=φTCφ,Kp=φTKφ,Fp=φTF

(29)

引入式(12)給出的坐標變換關系和界面位移協(xié)調條件

I4=(0 0 0 1 0 0)T,I5=(0 0 0 1 0 0)T(30)

式中，Rα和Rβ為子結構1在A點坐標的坐標轉換矩陣，根據(jù)式(13)～式(16)的模態(tài)綜合過程可知，子結構1的內部節(jié)點物理坐標在模態(tài)綜合后，將通過模態(tài)坐標體現(xiàn)，模態(tài)綜合前后是否對內部節(jié)點坐標變換不影響綜合后的系統(tǒng)動力學方程，僅對界面節(jié)點A處的物理坐標進行坐標變換即可反映反射器在大角度轉動后系統(tǒng)結構特征的變化，所以模型在反射器大角度轉動后同樣適用。同時，模態(tài)坐標Xp中各坐標并非完全獨立，引入變換矩陣S，將Xp中非獨立的坐標消去，得到耦合系統(tǒng)獨立的模態(tài)坐標Xq

(31)

則耦合系統(tǒng)以自由度較低的獨立模態(tài)坐標表示的動力學方程可寫為

(32)

其中，

Mq=STMpS,Cq=STCpS,Kq=STKpS,Fq=STFp(33)

式(32)具備l+m+8階自由度，各個坐標相互獨立，并且XC，α和β具有明確的物理含義。便于結合控制方法，建立數(shù)傳天線的機電耦合模型，同時較低的自由度保證迭代計算效率，各個坐標相互獨立便于分析耦合關系。為了方便動力學模型與控制模型連接，將式(32)改寫成狀態(tài)空間形式，并用下標s表示結構

(34)

其中，

(35)

雙軸數(shù)傳天線的狀態(tài)空間方程的階數(shù)較低，提高了仿真效率，且狀態(tài)空間方程的形式易與雙軸電機的控制模型連接，進行聯(lián)合仿真用以優(yōu)化控制方法和控制參數(shù)。

2 微振動模型

雙軸數(shù)傳天線的步進電機啟動后，驅動系統(tǒng)會給電機輸入脈沖激勵電流，使其行星齒輪在嚙合過程中產生激振。電流脈沖引起振動的基頻f0為

(36)

(37)

3 仿真與試驗驗證

3.1 Simulink仿真模型

首先，通過模態(tài)試驗獲取數(shù)傳天線的低階模態(tài)，表1給出了數(shù)傳天線的模態(tài)頻率和振型，結合模態(tài)試驗結果建立數(shù)傳天線的有限元模型。分別提取柔性結構反射器和支撐臂的質量矩陣和剛度矩陣，由于數(shù)傳天線的微振動主要集中在低頻段，子結構1和子結構4的僅保留前10階模態(tài)進行模態(tài)綜合，表1最后一列給出了模態(tài)綜合后的系統(tǒng)頻率。再根據(jù)第一章給出方法得到耦合系統(tǒng)動力學方程的狀態(tài)空間形式，使用MATLAB的Simulink模塊建立了數(shù)傳天線的仿真仿真模型，如圖3所示。表2給出了仿真過程中使用的參數(shù)，阻尼系數(shù)根據(jù)天線材料及試驗結果共同確定。

表1 數(shù)傳天線模態(tài)Tab.1 Mode of data transmission antenna

圖3 雙軸數(shù)傳天線仿真模型Fig.3 Simulation model of data transmission antenna

表2 仿真參數(shù)Tab.2 Simulation parameters

3.2 微振動試驗

試驗系統(tǒng)包含3個部分：待測設備、測試設備、零重力狀態(tài)模擬設備，如圖4所示。待測設備有數(shù)傳天線和天線控制設備。測試設備有微振動測力臺，單向力傳感器，加速度傳感器，力錘等。微振動測力臺為一種高剛度的壓電式測力臺，由北京航空航天大學研制，其測試原理和方法由Chen等的研究給出，用于測量耦合系統(tǒng)產生微振動。單向力傳感器在氦氣球充氣時，測量氦氣球給吊繩的拉力。加速度傳感器和力錘用于測試耦合系統(tǒng)的模態(tài)。

圖4 微振動試驗Fig.4 Micro vibration experiment

3.3 仿真與試驗結果對比分析

圖5給出了數(shù)傳天線X軸電機和Y軸電機分別轉動時的微振動的典型頻域曲線，表3和表4給出了上述頻域曲線峰值點的頻率和幅值。X軸電機100.0 Hz,144.4 Hz和Y軸電機144.4 Hz 3個頻點的微振動幅值較小(小于0.01 Nm)，試驗時受環(huán)境噪聲影響較大，導致試驗與仿真的偏差較大，忽略上述3個頻點微振動的結果。其他峰值處微振動的仿真和試驗結果表明：頻率一致，幅值誤差不超過9.41%，所以雙軸數(shù)傳天線的微振動模型能準確預測耦合系統(tǒng)產生的微振動。

圖5 微振動頻域曲線對比Fig.5 Comparison of frequency domain curves of micro vibration

表3 X軸電機微振動頻域峰值Tab.3 Micro vibration peak in frequency domain of X-axis motor

表4 Y軸電機微振動頻域峰值Tab.4 Micro vibration peak in frequency domain of Y-axis motor

圖6和圖7給出了步進電機不同轉速下的微振動結果。當X軸電機轉動時，不同轉速工況均出現(xiàn)了7.7 Hz,18.0 Hz,112.0 Hz和117.9 Hz的自然頻率，分別對應結構第一、三、六、七階模態(tài)頻率7.9 Hz,17.8 Hz,112.7 Hz和118.8 Hz，這些模態(tài)振型均在X軸電機轉動方向存在分量。當Y軸電機轉動時，不同轉速工況均出現(xiàn)了7.7 Hz,14.2 Hz,87.3 Hz和117.9 Hz的自然頻率，分別對應結構的第一、二、五、七階模態(tài)頻率7.9 Hz,12.2 Hz,89.9 Hz和118.8 Hz，這些模態(tài)振型均在Y軸電機轉動方向存在分量。以上現(xiàn)象表明，步進電機轉動時，耦合結構在電機轉動方向存在分量的模態(tài)頻率上產生微振動。

圖6 不同角速度的微振動仿真結果Fig.6 Simulation results of micro vibration with different angular velocity

圖7 不同角速度的微振動試驗結果Fig.7 Experimental results of micro vibration at different angular velocities

同時，不同轉速下在式(36)給出的電流脈沖基頻和倍頻出現(xiàn)了微振動峰值，如：轉速0.01 °/s時，在11.1 Hz基頻處和22.2 Hz,33.3 Hz等倍頻處出現(xiàn)了微振動峰值。倍頻處出現(xiàn)的微振動峰值是步進電機減速機構等傳動裝置在行星齒輪嚙合過程中引起的。綜上，數(shù)傳天線的微振動成因主要有：①步進電機轉動引起耦合結構在具有轉動方向分量的模態(tài)頻率附近發(fā)生結構振動；②脈沖激勵電流產生的電磁激勵；③行星齒輪在嚙合過程中，產生了脈沖激勵的倍頻激勵。

同時，當步進電機的轉速較低時，耦合結構在低頻段有較多的諧振頻率。若脈沖激勵電流產生的微振動的基頻和倍頻接近耦合結構的自然頻率時，會出現(xiàn)微振動幅值共同放大的耦合現(xiàn)象。隨著步進電機的轉速提高，脈沖激勵電流引起的微振動的基頻和倍頻隨之提高，在低頻段出現(xiàn)的諧振頻率減少，與結構頻率耦合的幾率降低。然而隨著轉速的升高，耦合結構的低頻微振動幅值隨之提高。所以在天線設計階段和使用過程中，應仔細考慮工作轉速、勵磁轉矩、負載轉矩、機械步距角等參數(shù)的影響，避免微振動與結構頻率發(fā)生耦合。

4 結 論

分析了在柔性邊界上步進電機驅動柔性負載的微振動現(xiàn)象。通過簡化步進電機電磁力矩和動態(tài)子結構方法給出了一種面向控制系統(tǒng)的雙軸數(shù)傳天線的動力學方程，并給出了微振動的解析表達。通過仿真和試驗驗證了模型能準確預測耦合結構產生的微振動，結果表明微振動的主要成因為步進電機轉動與柔性結構耦合、電磁脈沖激勵、行星齒輪嚙合等。