基于Weibull 分布的凍結砂巖損傷本構模型研究

2022-08-27 08:42:10馬飛飛

煤田地質與勘探 2022年8期

伊明，趙濤，馬飛飛，王磊，袁超

(1.中鐵十六局集團第五工程有限公司，河北唐山 064000；2.西安科技大學建筑與土木工程學院，陜西西安 710054；3.山東水利職業學院建筑工程系，山東日照 276826)

巖石在復雜的地下環境中歷經長時間各種地質作用，材料內部存在許多原生缺陷，如線缺陷、面缺陷和體缺陷[1-3]。西部侏羅系煤層開發過程中，立井需穿越深厚白堊系砂巖地層，其強度低、孔隙率高，在凍結過程中因孔隙水凍脹導致原生裂隙擴展和局部應力變化出現新生裂隙，這些變化都會導致人工凍結砂巖力學特性的改變，進而影響凍結鑿井凍結壁的穩定性[4-5]。

凍結法施工過程中，因復雜的應力環境和地質條件，嚴重影響凍結圍巖體的強度和穩定性。因此，國內外學者針對溫度和圍壓對凍結巖石強度的影響展開了大量研究，并取得系列研究成果。夏才初等[6]分析了飽和砂巖在不同環境工況下的凍脹變形規律；劉波[7-8]、楊更社[9]等對不同圍壓、凍結溫度及不同初始含水率的凍結砂巖強度特性展開了系統研究；訾凡等[10]基于核磁共振試驗研究發現，未凍水含量和孔隙冰含量決定了不同飽和度泥質粉砂巖的凍結強度。另外，蠕變破壞是誘發凍結壁變形的顯著特點之一，基于此特點，相關學者[11-12]開展了凍結砂巖的三軸蠕變試驗研究，建立了考慮溫度及損傷效應的蠕變本構模型。劉波等[13]則研究了白堊系凍結砂巖解凍過程中的蠕變力學特性，并基于分數階理論，建立非線性蠕變本構方程。以上研究成果從宏細觀角度系統揭示了凍結軟巖的力學特征，但針對內部損傷演化與宏觀力學性質變化的量化機制缺乏深層次研究，這也是分析凍結砂巖力學性質的關鍵。

目前，有關凍結及凍融環境下巖石的非均質性和內部損傷變化研究，一方面是進行室內試驗，借助X 射線、CT 掃描、核磁共振及電鏡等進行細觀識別，并借助數字圖像技術定量分析內部裂隙擴展演化規律[14-17]。另一方面，從理論上假定巖石內部裂隙服從統計學分布規律(如Weibull 分布、正態分布等)，結合巖石最大應變準則、Drucker-Prager(D-P)準則和Mohr-Coulomb(M-C)準則等不同強度準則研究巖石的非均質性變化規律。D-P 破壞準則具有表達式簡單、參數少等優點，得到廣泛應用，如曹文貴等[18]采用D-P 破壞準則，提出了新的巖石微元強度表征方法，為巖石微元強度的確定提供了一種新思路；張慧梅等[19-20]基于D-P破壞準則從Weibull 分布的角度出發，運用損傷力學理論，考慮凍融與荷載的耦合作用，建立了巖石總損傷模型，分析了凍融巖石的損傷演化規律；Li Gen等[21]基于統計學建立巖石的非均質性分析模型，分析巖石在破壞過程中非均質演化規律，定量反映該過程中巖石的單元尺寸、微裂隙變化規律；N.Guy 等[22]采用室內試驗并結合Weibull 分布，分析了加載過程中參數的變化規律，間接預測裂紋開裂擴展情況；R.Pakza 等[23]考慮巖石滲透系數的影響，模擬分析了巖石滲透與裂紋擴展的影響；K.Weddfelt 等[24]構建隨機損傷本構關系，研究硬巖在不同荷載下的裂紋擴展情況及非均質性演化規律。上述研究成果從試驗角度和理論研究出發，對凍結和凍融環境條件下巖石的強度、蠕變特性展開了大量研究，但考慮凍結條件下巖石非均質性隨凍結溫度變化的損傷本構關系研究較少。

因此，基于Weibull 分布函數在分析巖石類材料內部裂隙變化具有的優勢，以D-P 破壞準則結合Weibull 隨機分布理論建立凍結砂巖的隨機損傷本構關系，并結合不同凍結溫度砂巖三軸壓縮試驗對本構模型進行修正與驗證，在此基礎上分析凍結巖石的非均質性與加載應力和凍結溫度的變化關系，以此研究凍結巖石內部裂隙的演化規律。

1 基于D-P 準則和Weibull 分布的隨機損傷本構關系

1.1 巖石損傷本構關系

J.Lemaitre 等[25]提出的應變等效原理指出：將無損材料本構方程中的名義應力用損傷后的有效應力來代替，則受損材料的應變本構關系可以由無損材料的本構方程推導而得。基于此，建立了巖石損傷本構關系的基本表達式：

式中：[σ?]為受損材料的有效應力矩陣；[σ]為無損材料的應力矩陣；[C]為材料彈性矩陣；[ε]為應變矩陣；D為損傷變量。

損傷變量D在連續介質損傷力學中的定義為：材料損傷形成的微裂紋、微孔洞面積Sd與材料損傷前總承載面積S之比，其關系式可以表示為：

1.2 損傷演化方程的構建

按照連續介質力學原理，在巖石材料內部取一個微元體，假設微元幾何尺寸相對原生孔隙裂隙足夠大，可以容納較多微破裂和微孔洞；從連續介質力學角度又足夠小，可以被看作一個質點來考慮。經過假設，則原生巖石材料是均勻分布的，材料內部原生缺陷自身具有承載能力，附加在均勻介質上，這樣的模型就可以列為彈性力學范疇。考慮到巖石材料內部原生缺陷承載能力不可能是相同的，也就是微元體強度各不相同，而且巖石材料在受力狀態下破壞是一個損傷的連續過程，作以下假設：(1) 人工凍結巖石材料從宏觀角度考慮為各向同性體。(2) 微元體受力達到破壞強度之前服從胡克定律，具有線彈性性質；微元體達到破壞強度時符合塑性D-P 屈服準則。(3) 微元體的強度特征符合統計學規律和Weibull 分布。

基于上述假設，微元體概率密度函數φ(F)為：

式中：F為微元體強度，符合Weibull 分布的隨機分布變量；m和F0為Weibull 參數，其中，m為巖石均質度系數，F0為巖石材料宏觀平均強度。

損傷變量D與微元體強度的關系可以用概率密度函數來表示，即：

巖石強度理論中，D-P 破壞準則具有表達式簡單、參數少的優點，得到廣泛應用，基于此，確定微元體強度表達式為：

式中：a0為巖石特性參數，與內摩擦角有關；φ為巖石內摩擦角；I1為應力張量第一不變量；J2為應力偏量第二不變量。

為求出I1和J2，利用巖石常規三軸壓縮試驗可以得到 σ1、σ2、σ3。由于本次試驗為假三軸，所以σ2=σ3，相應的巖石有效應力分別為且

依據文獻[26]可得到巖石常規三軸壓縮試驗應力應變全過程關系曲線的損傷變量表達式：

式中：ε1為應變值；μ為泊松比；E為彈性模量；σ3為圍壓值。

依據三軸壓縮試驗應力應變全過程曲線可以得到以下幾何邊界條件：(1)ε=0，σ=0；(2)(3) σ=σpk，ε=εpk，σpk為峰值；(4)

通過巖石應力應變曲線幾何邊界條件推導損傷參數的具體過程如下：

對式(8)中應變求一階導數，得：

顯而易見，幾何邊界條件中(1)和(2)能夠自然滿足，將條件(4)代入式(9)并簡化可得：

式(15)和式(16)就是基于D-P 破壞準則和Weibull分布的巖石材料損傷本構模型方程參數的求解公式。

2 凍結砂巖損傷模型驗證

2.1 試樣選取與制備

試驗砂巖取自甘肅五舉煤礦凍結法施工所穿越的白堊系砂巖地層，取樣深度在315～350 m，經實驗室鉆取、切割和打磨制作成?50 mm×100 mm 標準試樣(圖1)。為避免試樣離散性對力學特性試驗的影響，試樣制備完成后進行聲波測試，挑選波速相近試樣。試樣的基本物理參數見表1。

圖1 砂巖試樣Fig.1 Sandstone sample

表1 試樣基本物理參數Table 1 Basic physical parameters of samples

2.2 試驗方案

不同凍結溫度下飽和水砂巖的單、三軸壓縮試驗采用GCTS 巖石低溫三軸測試系統(圖2)，該系統能夠保證凍結砂巖在加載過程中維持試驗溫度不變，系統最低控制溫度為?30℃，精度±0.01℃。試驗系統共分為低溫控制、圍壓控制、加載系統和數據采集系統4個模塊。

圖2 GCTS 巖石低溫三軸測試系統Fig.2 GCTS rock low temperature triaxial test system

根據凍結法施工過程中經歷的溫度階段，試驗設置低溫組和常溫對照組，試驗溫度分別為：20、0、?10和?20℃，根據立井建設所穿越的地層不同，設置4 組圍壓，分別為0、2、4 和6 MPa。具體的試驗方案和步驟如下：

(1) 對將試樣進行干燥和加壓飽和，使試樣處于完全飽水狀態。

(2) 進行裝樣和傳感器的布置，然后開啟低溫控制系統，對試樣進行降溫，降溫速率為10 ℃/h，待試樣達到試驗溫度后，維持試驗溫度12 h 以上，使得試樣充分凍結，再進行加載試驗。

(3) 施加圍壓，以應力控制方式加載圍壓至試驗指定圍壓。

(4) 施加軸向荷載，以應變控制方式加載軸壓，為避免加載速率對試驗造成影響，加載速率控制在0.12 mm/min，直至凍結砂巖破壞，停止加載，卸載樣品。

2.3 力學特性分析

根據單、三軸試驗結果繪制不同凍結溫度及圍壓下砂巖的應力應變曲線，如圖3 所示。由圖可以看出，巖石變形破壞過程大致分為壓密、線彈性、屈服、應變軟化階段，同時，部分試樣出現殘余變形階段。在單軸作用下，相較于常溫狀態，隨著凍結溫度降低為0℃、?10℃、?20℃，凍結砂巖的強度分別提高了65.86%、202.30%和317.31%，表明凍結溫度對于砂巖強度的增強效果顯著。隨著圍壓從0 MPa 上升到6 MPa，常溫砂巖的強度分別提高了13.68%、65.98%和105.20%，溫度為0℃時砂巖的強度分別提高了47.59%、85.26%和88.18%，溫度為?10℃時砂巖的強度分別提高了16.58%、33.44%和48.02%，凍結最低溫度為?20℃時砂巖的強度分別提高了8.84%、16.54%和23.44%，表明圍壓效應對于常溫巖石強度增強作用高于凍結巖石，而隨著凍結溫度的降低，巖石內部水分得到充分凍結，強度提升幅度逐漸減小，圍壓效應減弱。在相同圍壓下，隨著凍結溫度的降低，砂巖峰值應變減小，壓密階段逐漸減弱，彈性變形階段斜率增加，巖石脆性破壞特征明顯。

圖3 不同凍結溫度和圍壓下砂巖應力應變曲線Fig.3 Sandstone stress-strain curves under different freezing temperatures and confining pressures

由不同凍結溫度及圍壓下砂巖的應力應變曲線可以明顯看出，峰值(應力)強度在凍結溫度由0℃下降到?10℃過程中出現大幅增長，應變減小，主要原因在于凍結溫度的降低，使飽和砂巖內部的自由水凍結充分，冰體對孔隙間顆粒的黏結作用增強，強度得到明顯提升。而隨著溫度從?10℃下降到?20℃的過程中，內部未凍水進一步凍結，但同時凍結過程中，冰體的膨脹作用改變了顆粒間膠結方式，使峰值強度提升幅度下降。

依據試驗應力應變曲線，計算不同凍結溫度及圍壓下砂巖的參數，結果見表2，其中泊松比的計算根據試驗中測得環向應變與徑向應變之比所得。由表2 可直觀看出，在相同凍結溫度，隨著圍壓增大，砂巖的彈性模量增大，峰值強度大幅提升，內摩擦角增大，而泊松比呈減小趨勢，說明不管對于常溫還是凍結砂巖，都存在明顯的圍壓效應。而在相同圍壓條件下，隨著凍結溫度的降低，凍結砂巖的峰值應力是常溫單軸抗壓強度2～4 倍，說明凍結法施工對于砂巖強度的提高有顯著作用。

2.4 凍結砂巖的損傷本構方程修正

2.4.1 Weibull 參數m和F0的變化規律

根據表2 中試驗結果，各參數具有隨溫度及圍壓變化而變化的特征，結合式(15)和式(16)計算m和F0值，結果如圖4?圖7 所示。

圖4 參數m 隨圍壓σ3 的變化關系Fig.4 Parameter m with confining pressure σ3 change relationship

表2 不同凍結溫度及圍壓下砂巖試驗結果Table 2 Calculation results of various parameters of sandstone under different freezing temperatures and confining pressures

由圖4 可以看出，隨著圍壓的增大，當溫度高于0℃時，砂巖的均質度系數m變化較小，而當凍結溫度低于0℃時，砂巖的均質度呈小幅下降且逐漸趨于穩定，說明凍結與圍壓的共同作用降低了砂巖的均質性，但降低效果有限。圖5 顯示，砂巖宏觀平均強度F0隨圍壓的升高呈遞增趨勢，在0～?10℃內，平均強度F0有明顯的提升，驗證了力學特性分析中該區間范圍內強度顯著提升。而在相同圍壓作用下，參數m和F0受溫度的影響較為顯著，因此，對溫度影響下參數m和F0的變化關系單獨開展研究。

圖5 參數F0 隨圍壓σ3 的變化關系Fig.5 Parameter F0 with confining pressure σ3 change relationship

由圖6 和圖7 可以看出，在相同凍結溫度情況下，圍壓的升高，對參數m和F0的影響較小。而隨著凍結溫度的降低，均質性系數m和平均強度F0分別呈現指數增長和線性增長，說明隨著凍結溫度的降低，砂巖凍結越充分，內部自由水凍結成冰占比及冰體強度快速升高，尤其在0～?10℃內效果顯著。表明凍結作用提高了砂巖內部孔隙顆粒之間的黏結能力和抵抗變形的能力，冰體的黏結作用和支撐作用使凍結砂巖整體性更強，均質性更好，從而使平均強度F0呈線性增長。

圖6 參數m 隨凍結溫度t 的變化關系Fig.6 Variation of parameter m with freezing temperature t

圖7 參數F0 隨凍結溫度t 的變化關系Fig.7 Variation of parameter F0 with freezing temperature t

根據圖6 和圖7，得到參數m和F0隨凍結溫度的變化關系擬合關系式，并代入式(8)后，得到修正后不同凍結溫度砂巖應力應變曲線的損傷本構方程：

2.4.2 損傷演化規律

根據式(5)及各參數計算結果可求得不同凍結溫度砂巖隨圍壓變化的損傷演化曲線，如圖8 所示。

由圖8 可知，損傷演化曲線均呈S 形，能夠很好地反映凍結砂巖壓縮試驗的各階段：(1) 壓密及線彈性階段。此時砂巖內部孔隙被壓密，發生彈性變形，對應損傷演化初期無明顯損傷變化。(2) 屈服變形階段。當結束彈性變形階段砂巖內部損傷裂隙開始萌生并加速擴展，從而抵抗變形，砂巖發生屈服，對應損傷演化曲線的上凹段。(3) 應變軟化階段。試樣內部裂隙繼續擴展并貫通，強度逐漸喪失，損傷演化曲線斜率逐漸減小，當發生破壞后，損傷值趨近于1。

由圖8 可直觀看出，在相同凍結溫度下，隨著圍壓的升高，損傷加速擴展的上凹段曲線斜率逐漸降低，說明圍壓作用抑制了損傷的演化速率。在相同圍壓情況下，隨著凍結溫度的降低，損傷加速擴展階段的曲線斜率逐漸增加，且該階段相同應變對應的損傷值逐漸增加，說明凍結作用下，砂巖的強度雖得到了顯著提升，但塑性特性減弱，脆性破壞特征顯著增強。