一種基于數(shù)字正交變換的頻率估計(jì)算法

楊 坡，韓光威

(中國船舶集團(tuán)有限公司第八研究院，江蘇 揚(yáng)州 225101)

0 引 言

在對(duì)周期信號(hào)的分析中，頻率用來表征信號(hào)在某段時(shí)間內(nèi)的大致特征。對(duì)于典型的周期信號(hào)，正弦信號(hào)的頻率一般定義為其周期的倒數(shù)；而對(duì)于非周期信號(hào)，雖然沒有固定的周期，但是可以通過傅里葉級(jí)數(shù)將非周期信號(hào)轉(zhuǎn)換成多個(gè)不同頻率正弦信號(hào)的加權(quán)組合，進(jìn)而可以通過分析各個(gè)不同頻率正弦信號(hào)的特征得到原信號(hào)的總體特征。

頻率估計(jì)是指通過對(duì)獲得的信號(hào)采樣值進(jìn)行變換以及計(jì)算，從而估計(jì)出淹沒在背景噪聲下的信號(hào)的頻率。信號(hào)的頻率估計(jì)在雷達(dá)定位、語音信號(hào)處理等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。例如當(dāng)雷達(dá)獲取了一段輻射源的信號(hào)后，通過對(duì)其頻率的精確估計(jì)，可以大致知曉其飛行特征，甚至可以推算出其速度及距離等信息。

本文提出了一種基于數(shù)字正交變換的頻率估計(jì)算法，該算法首先利用數(shù)字正交變換獲得解析信號(hào)，再利用解析信號(hào)的相位信息進(jìn)行頻率估計(jì)，突破了傳統(tǒng)算法分辨率的限制，算法簡單，易于實(shí)現(xiàn)。

1 基于數(shù)字正交變換的頻率估計(jì)算法

1.1 Welch算法

1965年，Cooley和Turkey在《計(jì)算數(shù)學(xué)》雜志上提出了快速傅里葉變換(FFT)算法，使得FFT和頻譜分析得到了快速發(fā)展，周期圖的譜估計(jì)方法得到了廣泛應(yīng)用；1967年，Welch提出的修正周期圖法是工程實(shí)踐中應(yīng)用最為廣泛的經(jīng)典譜估計(jì)方法，該算法在平均周期圖法的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，可以在保持原算法譜估計(jì)性能的同時(shí)改善其分辨率。對(duì)數(shù)據(jù)分段處理后分別加窗，再計(jì)算平均周期圖，此方法改善了因分段數(shù)增加給分辨率帶來的影響，另外各段可以使用不同的窗函數(shù)，這樣可以改善由于矩形窗旁瓣較大所產(chǎn)生的譜失真，從而保證得到的譜是漸進(jìn)無偏的估計(jì)。Welch算法步驟如下：

(1) 假設(shè)隨機(jī)信號(hào)()有個(gè)觀察點(diǎn)，則信號(hào)的傅里葉變換為：

(1)

(2) 對(duì)式(1)進(jìn)行譜估計(jì)可得：

(2)

(3) 把()平均分為段，每段數(shù)據(jù)長度為點(diǎn)，分別對(duì)段數(shù)據(jù)計(jì)算其周期圖，段與段之間部分重疊，由此可以得到功率譜表達(dá)式為：

(3)

(4) 對(duì)式(3)的功率譜進(jìn)行搜索，找到最大值并記下其索引號(hào)，則Welch算法的頻率估計(jì)為：

(4)

為了較好地估計(jì)出功率譜，加窗處理和平均處理都需要同時(shí)兼顧減小隨機(jī)起伏和保證一定的譜分辨率2個(gè)方面：由于Welch算法將各段數(shù)據(jù)進(jìn)行了重疊處理，從而使得數(shù)據(jù)段數(shù)得到了增加，大大改善了估計(jì)的方差，相當(dāng)于減小了數(shù)據(jù)的隨機(jī)起伏，可是各段數(shù)據(jù)的不相關(guān)性也由于數(shù)據(jù)的重疊而減小，因此估計(jì)的方差不會(huì)減小到理論的程度。

1.2 基于數(shù)字正交變換的頻率估計(jì)算法

Welch算法是基于功率譜的頻率估計(jì)，僅僅利用了頻譜的幅度信息，而利用相位信息也能提高頻率估計(jì)精度。

通常接收到的信號(hào)往往是實(shí)正弦信號(hào)的形式，這就需要通過對(duì)信號(hào)進(jìn)行正交變換從而得到解析信號(hào)和信號(hào)的相位信息。最為常用的獲得解析信號(hào)的方法是數(shù)字Hilbert變換，該方法的正交性能由濾波器的階數(shù)決定，通常只有當(dāng)濾波器的階數(shù)達(dá)到上百階時(shí)才能獲得較好的濾波性能，這限制了該方法的應(yīng)用范圍。基于數(shù)字正交變換的頻率估計(jì)算法首先利用數(shù)字正交變換獲得解析信號(hào)，再利用解析信號(hào)的相位信息進(jìn)行頻率估計(jì)，突破了傳統(tǒng)算法分辨率的限制，算法簡單，易于實(shí)現(xiàn)。算法的原理和步驟如下：

(1) 已知一個(gè)實(shí)信號(hào)()，將其解析形式表示為：

(5)

(6)

解析信號(hào)與其原信號(hào)在頻域上的關(guān)系為：

(7)

由式(7)可以看出，通過如下方法可得到原信號(hào)的解析信號(hào)：對(duì)原信號(hào)作FFT，將雙邊譜的負(fù)頻率部分置0，再將正頻率部分的頻譜擴(kuò)大2倍，最后求反快速傅里葉變換(IFFT)。這樣得到的解析信號(hào)避免了對(duì)原信號(hào)的Hilbert濾波，克服了Hilbert濾波器帶來的幅、相不平衡。由于其利用了FFT/IFFT的固有特性，結(jié)構(gòu)規(guī)整，運(yùn)算速度較高，能夠滿足頻率估計(jì)的實(shí)時(shí)性要求。

根據(jù)瞬時(shí)頻率的定義可知，信號(hào)的瞬時(shí)頻率為信號(hào)的相位對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，則信號(hào)的頻率估計(jì)為：

(8)

2 仿真與分析

2.1 目標(biāo)直線運(yùn)動(dòng)

實(shí)驗(yàn)參數(shù)：目標(biāo)的初始速度為10 m/s，初始航向?yàn)?0°(與軸正方向的夾角)；采樣率為2 000 Hz，信號(hào)頻率為284.519 Hz，初相為π/3。目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方式如下：0～100 s作勻速運(yùn)動(dòng)；100～110 s作勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度為0.01 m/s；110 s～200 s作勻速運(yùn)動(dòng)。觀測數(shù)據(jù)長度為4 000點(diǎn)。

圖1是信噪比為0 dB時(shí)Welch算法和基于數(shù)字正交變換的頻率估計(jì)算法對(duì)信號(hào)頻率的跟蹤性能；圖2和圖3是不同信噪比下Welch算法和基于數(shù)字正交變換的頻率估計(jì)算法100次頻率估計(jì)的均方根誤差和估計(jì)偏差。

圖1 算法對(duì)信號(hào)頻率的跟蹤

圖2 不同信噪比下的均方根誤差

圖3 不同信噪比下的估計(jì)偏差

2.2 目標(biāo)曲線運(yùn)動(dòng)

實(shí)驗(yàn)參數(shù)：目標(biāo)的初始速度為10 m/s，初始航向?yàn)?0°(與軸正方向的夾角)；采樣率為2 000 Hz，信號(hào)頻率為284.519 Hz，初相為π/3。目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方式如下：0～20 s作勻速運(yùn)動(dòng)；20～60 s作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為800 m；60 s～200 s作勻速運(yùn)動(dòng)。觀測數(shù)據(jù)長度為4 000點(diǎn)。

圖4是信噪比為0 dB時(shí)Welch算法和基于數(shù)字正交變換的頻率估計(jì)算法對(duì)信號(hào)頻率的跟蹤性能；圖5和圖6是不同信噪比下Welch算法和基于數(shù)字正交變換的頻率估計(jì)算法100次頻率估計(jì)的均方根誤差和估計(jì)偏差。

圖4 算法對(duì)信號(hào)頻率的跟蹤

圖5 不同信噪比下的均方根誤差

圖6 不同信噪比下的估計(jì)偏差

由圖1和圖4可以看出，在一定的信噪比下，基于數(shù)字正交變換的頻率估計(jì)算法能夠較好地跟蹤信號(hào)頻率，同時(shí)突破了Welch算法的頻率分辨率的限制；由圖2、圖3、圖5和圖6可以看出，在信噪比為-7 dB～0 dB時(shí)，基于數(shù)字正交變換的頻率估計(jì)算法性能好于Welch算法，且該算法不需要頻率的粗略估計(jì)，實(shí)現(xiàn)較為方便，當(dāng)信噪比低于-7 dB時(shí)，算法的估計(jì)精度不及Welch算法，且隨信噪比的降低性能急劇下降。

3 結(jié)束語

分析比較了Welch算法和基于數(shù)字正交變換的頻率估計(jì)算法，前者是基于功率譜的頻率估計(jì)算法，后者是基于相位信息的頻率估計(jì)算法。仿真表明，相位差法估計(jì)精度較高，但穩(wěn)定性相對(duì)較差；基于數(shù)字正交變換的頻率估計(jì)算法在信噪比較高時(shí)表現(xiàn)優(yōu)異，且算法實(shí)現(xiàn)最為簡單，并且算法突破了頻率分辨率的限制。