基于擴展線性模型的多端元高光譜圖像分組尋優解混方法

房 森，曹文杰，完 誠

(中國船舶集團有限公司第八研究院，江蘇 揚州 225101)

0 引 言

高光譜遙感技術是在遙感技術的基礎上發展并成長起來的一種新型的對地觀測技術，是20世紀80年代開始興起的一種新的遙感技術，其主要的特點是能夠提供較多的地物光譜波段，以較高的光譜分辨率解決大多在全色和多光譜遙感中無法解決的問題。高光譜圖像有效地綜合了代表地物輻射特性的光譜信息和反映空間幾何關系的圖像信息，有效實現了“圖譜合一”。高光譜圖像在光譜分辨率方面擁有其他圖像無可比擬的優勢，但是其空間分辨率相對較低，因此在圖像中很容易出現混合像元現象。混合像元指的是高光譜圖像中某些像元對應的地面區域中包含多種不同的地物，它是遙感成像空間尺度有限性和自然界地物復雜程度的無限性之間矛盾的體現。混合像元成為影響高光譜圖像處理精度進一步提升的重要因素，限制了遙感圖像處理的進一步發展。因此，如何有效解決高光譜圖像中存在的混合像元問題以提高遙感圖像處理精度是一個重要的研究方向。

線性光譜混合模型和非線性光譜混合模型是高光譜圖像處理中較為常用的2種模型。線性光譜混合模型比較簡單，該模型假設高光譜圖像中混合像元的端元組成是以線性比例完成的，即到達成像光譜儀的光子在傳播過程中只與成像區域中的一種地物發生作用，而不考慮光子在多種地物之間的多重散射作用。當光子在地物之間發生多重散射作用時，就需要考慮使用非線性光譜混合模型對像元進行建模。非線性光譜混合模型更符合實際的高光譜圖像成像原理，但是與線性光譜混合模型相比，非線性光譜混合模型使用起來較為麻煩，因此在大多數高光譜圖像混合像元解混文章中均使用線性光譜混合模型對混合像元進行建模。

使用線性光譜混合模型對混合像元進行建模主要分為2個步驟：第一首先建立針對特定研究區域的高光譜圖像端元集，然后使用特定的混合像元解混算法對高光譜圖像中的所有像元進行解混，得到所在區域每種地物在每一個像元中所占的比例，即豐度。端元集中的端元可以從已有的光譜庫中提取或經過野外實地測量得到，還可以利用N-FINDR、PPI、IEA等端元提取算法從指定的高光譜圖像中提取。端元提取的精度對后續的高光譜圖像解混有著重要的影響。在傳統的線性光譜混合模型中，每種地物類別均采用一個端元來表示，并沒有考慮到端元光譜的變異現象以及由該現象引起的端元個數的變化。由于高光譜圖像的空間幅度較廣，導致每種地物端元內部光譜變化一般很大，在這種情況下很難用一個單一固定的端元準確地表示一個地物類別。在需要準確知道各個端元在混合像元中所占比例的應用中，傳統的固定端元的線性光譜混合模型會引起較大的解混誤差。針對這個不足，Roberts等人提出了一種新型的高光譜圖像混合像元解混算法，即多端元光譜混合分析(MESMA)。MESMA考慮到端元光譜曲線可能出現的變異情況，迭代地調整像元中端元的種類和數量。然而，對于高光譜圖像中的每一個像元，MESMA需要使用光譜庫中所有的端元組合來對混合像元進行解混，然后根據最小重構誤差準則為每個像元建立一系列的候選端元集，最后將重構誤差最小的端元集作為該像元最佳的端元組合，所得的豐度向量就是該端元集中的每一個端元在該混合像元中所占的比例。MESMA能夠克服端元變異現象，得到的解混精度較高，但是該方法所需要的計算量較大。為此，文獻[3]提出一種基于分組尋優的多端元高光譜解混算法，該方法最終所得的計算精度與MESMA相當，但是該算法所需的計算量相對較小。

由于大部分高光譜圖像所覆蓋的實際地理范圍較廣，所以在高光譜圖像中存在大量由于光照和地形因素引起的地物端元變異現象，這會嚴重影響高光譜圖像的解混精度。為此本文在基于分組尋優的多端元高光譜解混算法的基礎上提出一種基于擴展線性模型的多端元高光譜圖像解混算法。擴展線性模型能夠有效應對地物端元變異現象，提高高光譜圖像的解混精度。

1 光譜解混模型和豐度反演

解決高光譜圖像中存在的混合像元問題需要建立一定的模型，目前主要存在2種光譜混合模型：線性光譜混合模型和非線性光譜混合模型。

線性光譜混合模型是假設太陽光子只與一種地物發生相互作用，并將其光譜信號疊加到像元光譜中，地物之間沒有相互作用。相反地，非線性光譜混合模型由于同一場景內多種地物之間反射光的相互作用，可以認為是一個迭代乘積過程，是非線性的。非線性混合模型的建立和求解都相對比較困難，因此基于非線性混合模型的光譜解混研究較少。相比之下，線性混合模型因其物理意義明確而容易建立模型，因此，對其研究的相對較多。本文正是基于線性光譜混合模型對高光譜圖像進行研究。

光譜解混技術作為混合像元處理的最主要技術，要求得各個端元在其中所占的比例，是一種更為精確的分類技術。

1.1 擴展線性光譜混合模型

傳統的線性光譜混合模型假設太陽光子在到達成像光譜儀之前只與一種地物發生作用，而沒有與其它地物發生作用。如果1幅高光譜圖像中包含有個地物端元，且每個地物端元有個波段，假設這幅高光譜圖像具有個像元，那么其中的每一個像元均是由這個地物端元以不同的比例組合而成的，這種組合過程即線性光譜混合模型：

(1)

式中：是地物端元在某一像元中所占的比例，也被稱之為豐度，通常被理解為端元在像元對應地面區域中的面積比例；為誤差項，反映了由環境引起以及成像系統產生的隨機誤差。

式(1)表示的是單個像元的線性組合過程，將所有像元的線性組合過程寫在一起可以得到線性光譜混合模型的矩陣形式：

=+

(2)

式中：表示的整個高光譜圖像矩陣，矩陣中的每一列代表一個像元；表示該圖像中包含的所有地物端元的矩陣，其中每一列代表一個地物端元；表示豐度矩陣，它的每一行表示不同地物端元在不同像元中所占的比例；表示誤差矩陣。

傳統的線性光譜混合模型的優點是它的建立和求解比較簡單，但是該模型并不能考慮到某種地物在高光譜圖像中所有的變異情況。本文在線性光譜混合模型的基礎上使用了一種被稱為擴展的線性光譜混合模型，該模型可以將地物端元所有的變異情況表示出來，具體表示如下：

(3)

式中：是一個以某地物端元為參數的函數，然后對進行變換，變換的結果相當于端元發生了變異。

令()=，則式(3)可以寫成：

(4)

式中：是一個元素值非負的×維對角矩陣；表示端元矩陣中的所有端元在像元中的變異情況。

同樣也可以得到式(4)的矩陣形式：

=(°)+

(5)

式中：為×維矩陣，為假設高光譜圖像的像元個數，包含了端元矩陣中所有端元在所有像元中的變異因子，變異端元為原始端元乘上對應的變異因子。

1.2 最小二乘豐度反演算法

豐度反演就是將每個端元在像元中所占比例精確地計算出來。大多數文獻均以最小二乘豐度反演方法為基礎，并在此基礎上做進一步的改進。如果端元矩陣共有個端元，即=[,,…,]，單個像元的豐度向量表示為=[,,…,]，代表噪聲向量。將高光譜圖像中的任意混合像元表示為個端元在豐度值，，…，下的線性組合，即：

=+

(6)

如果高光譜圖像的波段數較大，那么端元矩陣為列滿秩矩陣。若將式(6)看成是方程組，即為超定方程組。通過最小二乘法求誤差的方式可以將上式求解出來，具體的求解公式可以表示成：

(7)

由于端元豐度代表的是端元在像元中所占的比例，以及所有端元在某一像元中的豐度之和為1，因此通過給式(7)加上不同的約束條件可以得到不同約束條件下的最小二乘法，使獲得的豐度結果更滿足實際條件。不同條件下的最小二乘法如下：

(1) 無約束最小二乘算法

當不對可能得到的豐度解施加任何約束條件時，運用最小二乘法所得到的豐度的無約束解為：

(8)

(2) “和為1”約束最小二乘算法

由于各個端元在任一像元中的比例之和為1，當施加這個條件時，式(7)變成：

(9)

使用最小二乘法對式(9)進行求解時，可得部分解為：

(10)

式中:為階單位矩陣；[1,1,…,1],是元素全是1的維列向量。

(3) “非負”約束最小二乘法

由于最終所得豐度值必須是非負的，因此需要求解的豐度值施加非負約束：

(11)

(4) 全約束最小二乘法

為了獲得更加真實的豐度解，需要在式(11)中加上和為1的約束條件：

(12)

2 基于分組尋優的多端元高光譜解混算法

如果端元在像元中所占的比例較小，并且圖像信噪比不高，那么使用傳統的混合像元解混算法會受到噪聲的影響，導致小豐度地物在該像元中的檢測受到影響，使小豐度地物可能被噪聲湮沒，影響高光譜圖像混合像元解混的精度。分組尋優算法提高混合像元解混精度的思想是將一種地物的端元分成1組，在進行混合像元解混時，可以利用端元光譜曲線之間的相關性充分擴大該種地物在像元中的存在。分組尋優算法的優點是對小信噪比的地物檢測具有較好的效果。

如果1幅高光譜圖像中有4種地物，分別記為、、和，為了考慮端元變異的情況，每種地物包含3種地物光譜曲線，分別記為[,,]、[,2,2]、[,3,3]和[,4,4]。每種地物的光譜曲線既可以從光譜庫中提取，也可以使用端元提取算法從所要研究的高光譜圖像中提取。下面簡單敘述基于分組尋優的高光譜圖像混合像元解混[]算法的過程：

() 先使用全約束最小二乘法對高光譜圖像中的每一個像元分別使用類地物的端元集做混合像元解混處理，得到類地物的豐度向量，分別記為[,,]、=[,,]、=[,,]和=[,,]。

(2) 將每種地物的端元集對應乘上(1)中得到的豐度向量，得到反混像元，然后求取原始像元和反混像元的均方根誤差，記為RMSE，假設各類地物中的最小均方根誤差值對應的端元向量分別是、、和，且這4個端元向量對應的均方根誤差值的大小順序為：<<<。然后選取(2)中RMSE值比較小的2個端元，并將它們組成二端元組合，即=[,]，并重新對指定像元使用全約束最小二乘算法進行混合像元解混處理，將得到的豐度結果記為=[,]，計算此次解混結果的均方根誤差，記為，如果>，那么可以確定該像元只包含端元，對應的豐度為1，否則進入下一步。

(3) 從(2)中選取第3個均方根誤差值較小的端元，即，在的基礎上組成三端元組合，記為=[,,]，用對指定像元做解混處理，將豐度結果記為=[,,]，然后計算此次解混結果的均方根誤差，記為。如果>，則該像元最佳的端元組合為，豐度結果為，否則進入下一步。

(4) 在的基礎上添加第4個端元，構成四端元組合，即=[,,,]，用做混合像元解混處理，將得到的解混豐度結果記為=[,,,]，然后計算本次解混結果的均方根誤差，記為，如果>，那么最佳端元組合為，將豐度結果記為，否則最佳端元組合為，豐度結果為，然后結束實驗，并對實驗結果進行分析。

3 基于擴展線性模型的多端元高光譜分組尋優解混算法

基于分組尋優的多端元高光譜混合像元解混算法的優點是對小豐度地物的解混有好處，該算法能夠擴大某種地物在像元中的存在，使小豐度地物不至于被圖像中存在的噪聲所掩蓋，提高混合像元解混精度。但是該算法所用的變異端元有限，并不能完全代表所有高光譜圖像中的變異端元。本文在基于分組尋優多端元高光譜圖像混合像元解混算法的基礎上提出一種基于擴展線性模型的多端元高光譜圖像分組尋優算法，該算法與分組尋優算法的不同在于對像元的建模，傳統的高光譜圖像建模采用的是普通的線性模型，而本文算法使用的是擴展線性模型。從公式(1)和(3)可以看出，擴展線性模型使用的是類似于一個函數的形式對像元進行建模，能夠更好地反映像元變異現象，尤其是對于由光線和地勢引起的光譜變異。基于擴展線性模型的多端元高光譜圖像混合像元解混算法的主要步驟：

(1) 求取每一種地物端元集的平均值，以此平均值為基準端元，對該基準端元做函數變換，即()，這個過程相當于對各個地物的端元光譜曲線做變異處理；

(2) 使用第一步做過變異處理后的端元集合對像元做混合解混處理，并求取各個端元所對應的RMSE，根據RMSE確定每組端元組合中所對應的最佳端元；

(3) 對上一步中所得到的每種地物對應的最佳端元的RMSE進行排序，選出RMSE最小的端元，并以此為基準，將該端元與RMSE第2個較小的端元組合成兩端元組合模型，并比較兩端元組合模型與RMSE最小的端元的均方根誤差，如果該組合的RMSE比(1)中RMSE最小端元的RMSE還小，則依次組合三端元、四端元等；

(4) 重復步驟(1)和(2)；

(5) 最后將每次解混處理所得到的均方根誤差進行比較排序，選出這幾次處理中均方根誤差最小的端元組合，并將對它們解混處理所得的豐度作為最后的解混結果。

4 實驗仿真與分析

本文里所采用的數據是美國的一塊試驗田數據，圖像尺寸大小為144×144，具有100個光譜波段，真實圖像如圖1所示。

圖1 試驗田圖像數據

這里使用了4類地物端元，分別是大豆、玉米、草地和由其它地物所組成的背景，每類地物端元的數量分別為3、3、3和7，具體如圖2所示。

圖2 實驗中使用的端元個數及種類

本次實驗結果如圖3、圖4所示，該結果主要展現基于分組尋優的高光譜圖像混合像元解混算法與基于擴展線性模型的高光譜圖像分組尋優解混算法的區別，這種區別不很明顯，因為2種算法的解混效果相似性極大，具體的差別表現為2種算法的解混均方根誤差及算法執行時間，如表1所示。

圖3 基于分組尋優的多端元高光解混算法

圖4 基于擴展線性模型的多端元高光譜分組尋優解混算法

表1 2種算法之間的比較

5 結 論

從表1可以看出，雖然基于擴展線性模型多端元高光譜分組尋優解混算法的執行時間比常規的分組尋優解混算法要長，以及算法迭代次數也要比常規的分組尋優解混算法多一點，但是本文算法在解混精度上取得了較好的結果，從表格數據計算得到解混精度大概提高了27.7%左右，取得了預期的效果，在以后的算法改進中可以考慮從提高算法計算效率出發，在提高解混精度的同時保證解混效率。