基于泰勒級(jí)數(shù)的空間機(jī)器人時(shí)延神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制

張宇涵，于瀟雁，2，陳力

(1.福州大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，福建 福州 350108；2.流體動(dòng)力與電液智能控制福建省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(福州大學(xué))，福建 福州 350108)

0 引言

空間技術(shù)的發(fā)展為人類開拓宇宙提供了極大的便利，而太空環(huán)境多變，工作風(fēng)險(xiǎn)極高，因此空間機(jī)器人代替宇航員進(jìn)行太空作業(yè)是目前的主要手段.目前為止，對(duì)高度自主的空間智能機(jī)器人的研究還在初步階段，因而遙操作技術(shù)依然是人類探索太空的重要手段和主流研究.對(duì)于空間機(jī)器人遙操作控制系統(tǒng)來說，天地間距離過大，信號(hào)在傳輸過程中會(huì)產(chǎn)生時(shí)間延遲(簡(jiǎn)稱時(shí)延).如果控制系統(tǒng)對(duì)時(shí)延影響不予考慮，其控制精度將會(huì)大大受到影響甚至導(dǎo)致系統(tǒng)控制失效.目前針對(duì)時(shí)延環(huán)境下空間機(jī)器人展開的研究相對(duì)較少.張建宇，葉柄能等提出了基于時(shí)延估計(jì)法的控制力矩設(shè)計(jì)問題[1-3],但它們均是為解決機(jī)器人參數(shù)不確定問題而設(shè)計(jì)的控制手段，而并非解決時(shí)延問題，其實(shí)際動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中并不存在時(shí)延；白碩等展開了網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下工業(yè)機(jī)器人的時(shí)延預(yù)測(cè)研究，但地面網(wǎng)絡(luò)環(huán)境并不適用于太空遙操作環(huán)境[4-7]；Chen等提出使用泰勒級(jí)數(shù)預(yù)測(cè)法來得到系統(tǒng)時(shí)延項(xiàng)，但他們未在三角函數(shù)展開式部分進(jìn)行化簡(jiǎn)，導(dǎo)致系統(tǒng)模型過于繁冗，也未在空間機(jī)械臂系統(tǒng)上展開相關(guān)工作[8-10]；此外，上述研究均未對(duì)時(shí)延范圍進(jìn)行有效探討.因此對(duì)具有時(shí)延的空間機(jī)器人系統(tǒng)進(jìn)行研究，并給予良好的補(bǔ)償控制手段[11-16]是非常有必要的.

針對(duì)上述問題與不足之處，本研究利用基于泰勒級(jí)數(shù)展開的預(yù)測(cè)手段，對(duì)關(guān)節(jié)空間坐標(biāo)進(jìn)行時(shí)延項(xiàng)的提取，從而得到改進(jìn)的空間機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程.與傳統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程相比，改進(jìn)的動(dòng)力學(xué)方程模擬了時(shí)延誤差，更加符合客觀實(shí)際情況；利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[14]對(duì)非線性函數(shù)項(xiàng)的逼近能力，彌補(bǔ)計(jì)算力矩法無法解決的時(shí)延誤差；在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器的基礎(chǔ)上引入模糊和遞歸控制可有效降低系統(tǒng)的抖振并提升在線學(xué)習(xí)速度；同時(shí)對(duì)時(shí)延值的有效范圍進(jìn)行在線評(píng)估，在能提供良好品控的基礎(chǔ)之上確定時(shí)延范圍.利用本文所提出的控制器方案，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)關(guān)節(jié)空間預(yù)設(shè)軌跡的精確跟蹤.數(shù)值仿真驗(yàn)證了所提出方法的有效性.

1 漂浮基空間機(jī)器人系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

不失一般性，考慮做平面運(yùn)動(dòng)的漂浮基空間機(jī)器人(三桿)結(jié)構(gòu)模型如圖1所示.

圖1 自由漂浮三桿空間機(jī)器人系統(tǒng)Fig.1 Free-floating space-based robot system

忽略微弱的重力梯度，空間機(jī)械臂系統(tǒng)為無外力作用的無根多剛體系統(tǒng)，其重力勢(shì)能為0.將總動(dòng)能T代入第二類拉格朗日方程，可以得到載體位置及姿態(tài)均不受控下欠驅(qū)動(dòng)形式的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

2 泰勒級(jí)數(shù)展開式在時(shí)延系統(tǒng)的應(yīng)用

(2)

將含有時(shí)延的關(guān)節(jié)參數(shù)代入到三角函數(shù)中，并進(jìn)行簡(jiǎn)化可得

(3)

從上式可以看出，計(jì)算誤差來源于對(duì)泰勒展開式高階項(xiàng)的省略.

3 時(shí)延下基于泰勒級(jí)數(shù)展開的動(dòng)力學(xué)模型

(4)

(5)

將式(5)代入動(dòng)力學(xué)方程式(1)，可得到存在時(shí)延誤差下的改進(jìn)動(dòng)力學(xué)方程為

(6)

其中：ΔE為擴(kuò)展后的剩余項(xiàng).即系統(tǒng)存在的時(shí)延誤差為

研究將用到以下假設(shè).

4 基于模糊遞歸的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器設(shè)計(jì)

若不考慮時(shí)延誤差，一般情況下對(duì)于動(dòng)力學(xué)模型(1)，常規(guī)的計(jì)算力矩法反饋控制器τ可寫為

(8)

其中:Kp、Kv為正定常值矩陣(增益因子).在沒有時(shí)延誤差的情況下，常規(guī)反饋控制器下的追蹤誤差逐漸收斂為0.若將常規(guī)控制器應(yīng)用于改進(jìn)的泰勒級(jí)數(shù)展開下的動(dòng)力學(xué)模型，即將式(8)代入式(6)得

(9)

由于時(shí)延誤差的存在，系統(tǒng)無法實(shí)現(xiàn)漸進(jìn)穩(wěn)定，需要引入補(bǔ)償控制f(·)，使得在理想狀況下有

(10)

其中，時(shí)延項(xiàng)ΔE為未知的非線性函數(shù).因此,這里引入基于模糊遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制算法來補(bǔ)償時(shí)延誤差.

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有強(qiáng)大的非線性逼近能力及良好的在線學(xué)習(xí)能力，可以用其對(duì)非線性進(jìn)行補(bǔ)償；在此基礎(chǔ)上引入模糊與歸納推理，將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與模糊控制結(jié)合起來，構(gòu)成具有推理歸納能力的模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，提升控制品質(zhì).其綜合性能更適用于非線性控制系統(tǒng).所設(shè)計(jì)的模糊遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制算法為三輸入三輸出的層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)如圖2所示.

圖2 模糊遞歸結(jié)構(gòu)Fig.2 Fuzzy recurrent neural structure

每一層的描述規(guī)則如下.

第一層接受輸入變量.同時(shí)也作為第二層的輸入變量.在姿態(tài)關(guān)節(jié)不受控前提下，設(shè)輸入變量為誤差函數(shù)s,有

(11)

第二層為隸屬函數(shù)值計(jì)算階段.采用高斯函數(shù)作為隸屬函數(shù)，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都有一個(gè)隸屬度函數(shù),即

(12)

第三層為模糊推理層.由第二層得到的輸出量通過規(guī)律連乘(模糊過程)得到第三層的輸出量,且第三層上一時(shí)刻的輸出量φjp經(jīng)過bji的加權(quán)后反饋到第二層，構(gòu)成了遞歸結(jié)構(gòu),即

(13)

第四層為輸出層.其輸出表達(dá)式為

(14)

式中：fi為第四層輸出量；wji為模糊推理層與輸出層的連接權(quán)值，該值通過在線訓(xùn)練不斷地調(diào)整φj第三層第j個(gè)節(jié)點(diǎn)的輸出.將所有的輸出結(jié)果進(jìn)行整合，最終得到補(bǔ)償控制的形式為

f(·)=WTΦ

(15)

其中:W為網(wǎng)絡(luò)權(quán)值矩陣，Φ=[φ1φ2φ3…φn]T為最終的輸出變量.

在一致估計(jì)理論和假設(shè)1的前提下，對(duì)于連續(xù)函數(shù)f(·)，對(duì)于任意給定的很小正數(shù)ε0，總是存在最優(yōu)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值W*(f(·)的最佳逼近權(quán)值)，使得

(16)

因此，定義逼近誤差η=ΔE-f*(s)，并存在如下假設(shè).

假設(shè)4 逼近誤差η是有界的，即有

(17)

實(shí)際應(yīng)用中理想補(bǔ)償控制效果難以達(dá)到，因此設(shè)估計(jì)的補(bǔ)償控制(實(shí)際輸入控制)為

(18)

設(shè)理想網(wǎng)絡(luò)權(quán)值與估計(jì)(實(shí)際)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值的誤差為

(19)

其網(wǎng)絡(luò)權(quán)值自適應(yīng)律在后續(xù)的李雅普諾夫證明中可得到.

綜合式(8)、(18)，最終的控制器算法可寫為

(20)

其中:δ是為保持等式右端載體姿態(tài)角項(xiàng)的輸入控制力矩恒為0所設(shè).

(21)

結(jié)合式定義逼近誤差及式(19)，可得

因此最終狀態(tài)方程可改寫為

(22)

5 穩(wěn)定性證明

對(duì)上述閉環(huán)系統(tǒng)，做如下穩(wěn)定性分析，設(shè)計(jì)李雅普諾夫函數(shù)為

(23)

(25)

(26)

網(wǎng)絡(luò)取值誤差自適應(yīng)律為

(27)

將式(27)代入到式(26)，可得

(28)

其中:λmin(Q)和λmax(P)分別為矩陣Q和P的最小特征值和最大特征值.

6 數(shù)值仿真算例

對(duì)圖1所示的空間機(jī)器人系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真試驗(yàn).設(shè)計(jì)參數(shù)如下：m0=40.00 kg，m1=2.00 kg，m2=1.00 kg，m3=2.50 kg；J0=34.17 kg·m2，J1=1.50 kg·m2，J2=1.50 kg·m2，J3=0.75 kg·m2；L0=1.50 m，L1=3.00 m，L2=3.00 m,L3=3.00 m;d1=1.50 m，d2=1.50 m，d3=1.50 m；隸屬函數(shù)單元數(shù)為n=25;高斯基函數(shù)中心值c按間隔為0.5的均勻分布取值，基帶寬度σ取值為1.2，其余值均為1；Q=diag(60,60,60，60,60,60);Kp=diag(25,25,25);Kv=diag(30,30,30).

利用本文所提出的控制手段進(jìn)行數(shù)值仿真，其軌跡追蹤結(jié)果如圖3～5所示.為了突出本文所設(shè)計(jì)的控制方法(控制方法1)的優(yōu)越性，將式(8)計(jì)算力矩法(控制方法2)和文獻(xiàn)[14]所提出的常規(guī)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制手段(控制方法3)與其進(jìn)行比對(duì)，其軌跡誤差e變化情況如圖6～8所示.

圖3 關(guān)節(jié)角1追蹤結(jié)果Fig.3 Joint angle 1 tracking results

圖4 關(guān)節(jié)角2追蹤結(jié)果Fig.4 Joint angle 2 tracking results

圖5 關(guān)節(jié)角3追蹤結(jié)果 Fig.5 Joint angle 3 tracking results

圖6 關(guān)節(jié)角1追蹤誤差對(duì)比Fig.6 Comparison of joint angle 1 tracking error

圖7 關(guān)節(jié)角2追蹤誤差對(duì)比 Fig.7 Comparison of joint angle 2 tracking error

圖8 關(guān)節(jié)角3追蹤誤差對(duì)比Fig.8 Comparison of joint angle 3 tracking error

從以上結(jié)果可以看到，用控制方法2根本無法保證系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性；控制方法3可以有效追蹤，但和本文所提出的控制方案1相比，收斂速度相對(duì)較慢，而且趨于穩(wěn)定后會(huì)出現(xiàn)抖振.仿真結(jié)果說明，融合模糊遞歸的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器既可以有效補(bǔ)償時(shí)延誤差，也可以提高收斂速度并減緩抖振現(xiàn)象，擁有更高的控制精度.

圖9 關(guān)節(jié)角1追蹤誤差Fig.9 Joint angle 1 tracking error

圖10 關(guān)節(jié)角2追蹤誤差 Fig.10 Joint angle 2 tracking error

圖11 關(guān)節(jié)角3追蹤誤差Fig.11 Joint angle 3 tracking error

結(jié)果顯示，在L∈[0.1,2.6)范圍內(nèi)，誤差在逐漸遞增，當(dāng)臨近范圍邊緣，最大誤差波動(dòng)已經(jīng)超過了0.01，雖然仍符合軌跡追蹤效果，但是追蹤精度已經(jīng)不滿足要求，這勢(shì)必會(huì)影響控制品質(zhì)，因此本文控制手段從理論上說延遲值在2.6 s以內(nèi)都可以滿足控制精度要求.

7 結(jié)語