典型柔順常力模塊結構參數評估與有限元優化

李玄，丁冰曉，李楊民

(1.吉首大學物理與機電工程學院，湖南 吉首 416000；2.香港理工大學工業與系統工程學系，香港 999077)

0 引言

常力機構是一種可在一定輸入位移范圍內，提供幾乎恒定輸出力的機構[1].因其力可調節特性，被廣泛應用于超精密打磨和微操作等領域[2-4]，例如，使用常力機構設計的微夾鉗，可用于對接觸力敏感的柔軟/易碎物體的夾持[5-6].傳統用于操作力敏感物體的機電系統，通常配備了一系列傳感器，通過閉環控制算法，輸出作用力可以維持在一個特定的值[7-8].然而，精密的傳感裝置并不適合于復雜的環境和微尺度空間應用，同時力觸覺傳感器非常昂貴，控制裝置也很復雜.鑒于這些考慮，部分學者提出了柔順常力機構來解決以上問題[9-11].

柔順機構利用柔性構件的彈性變形來實現力和運動傳遞，具有無需裝配、無運動副間隙和高運動精度等優點，被廣泛用于常力機構設計[12-14].為降低自動夾持過程中對果實的破壞，Miao等[15]設計了一種用于采摘機器人的恒力柔順機構，其恒定夾持力約為8.03 N；為實現平穩接觸未知對象，Meaders等[16]對一種近似恒力彈簧進行了優化，可用于不確定面的力接觸；Liu等[17]設計了一種柔順恒力系統，該系統具有較高的穩定性，可減緩一定的外界負載干擾；Chen等[18]設計了一種可避免抓取物損壞的夾鉗，其恒定輸出力為220 N，常力范圍為440 μm；Pham等[19]設計了一種恒力雙穩態機構，其恒定力大約為11 N，對應的輸入范圍為7～14 mm；Tolman等[20]設計了一種柔順常力機構，通過偽剛體法和有限元法對其進行了建模與優化.

雖然常力機構的優勢明顯且發展迅猛，但對于大尺寸工作面和大接觸力的場合，常力機構的應用通常受限于常力范圍小和常力輸出不足.針對此問題，優化機構性能顯得十分迫切，同時這也是每個結構的需求.多數優化方法較為復雜，如粒子群算法(PSO)的編碼過程較復雜，且具有易陷入局部最優、無法有效解決組合優化等缺點[21].有限元優化法應用較少，但其操作簡單、通用性強，且具有可進行響應面分析、求出參數對結果的靈敏度并推薦最優的參數組合等優點[22].綜上，本研究運用有限元優化法對常力機構的性能進行優化.首先，基于Z型梁和雙穩態梁并聯的結構，提出一種常力柔順機構；其次，通過推導常力機構的力-位移表達式，得到與機構性能相關的結構參數；然后，使用有限元仿真，將所求結果與理論分析進行對比，并經由Matlab計算，得出兩種梁的主要結構參數對機構常力特性的影響關系；最后，選擇待優化的參數組合，運用有限元優化法求解其最優值，以獲得機構的最優性能.

1 常力模塊設計與分析

不同于傳統機構，零剛度機構不滿足胡克定律，可通過正負剛度機構組合來獲得.當前，正剛度梁多采用柔性直梁，但柔性直梁存在應力硬化現象，即隨著輸入位移的增大，其剛度會相應增大，反過來拉伸應力的增大，導致彎曲剛度的增大.同時，該機構剛度非線性特性明顯，不利于獲得大范圍的常力輸出.為了彌補柔性直梁的不足，Z型梁被設計用于正剛度機構，兩者的力-位移特性如圖1所示.可以看出，隨著輸入位移的增大，Z型梁相較于傳統柔性直梁具有更好的線性正剛度特性，能提供更大的位移行程，以便與負剛度中和形成零剛度.

圖1 兩種柔性梁的力-位移特性對比Fig.1 Comparison of the force-displacement characteristics of straight beam and Z type beam

1.1 模塊設計

為使分析與優化方法更具典型性與通用性，選擇較具代表性的Z型折疊梁與雙穩態梁組合的常力模塊作為研究對象，如圖2所示.該模塊采用正負剛度組合原理實現常力輸出特性，具有無摩擦、高輸出精度和結構簡單等優點.整體結構由2根Z型梁和4根雙穩態梁組成，為提高機構整體的剛度和緊湊性，雙側各由兩根雙穩態梁并聯組成.由于雙穩態梁的屈曲特性，機構會在一定輸入位移范圍內表現出零剛度特性，使得機構末端輸出恒力.

圖2 常力模塊Fig.2 Designed constant force module

1.2 正剛度分析

通過分析兩種梁的力學特性，可了解機構的常力特性，同時可得到影響其力學性能的相關結構參數，

為參數的評估與有限元優化做鋪墊.機構的Z型梁由3段葉片柔性梁組成，其受力變形如圖3所示.當輸出力F1時，單個葉片梁因受力而產生彎曲變形.圖中，l1、l2、l3分別為各葉片梁的長度；θ1、θ2、θ3分別為各葉片梁的變形角度；d為梁的厚度；b為梁的寬度；M1為梁固定端所受力矩.

圖3 Z型梁受力形變圖Fig.3 Deformation of the Z-shaped beam

處于懸臂狀態的葉片梁，其懸臂端受到力F作用時，其受力平衡可表示為

(1)

(2)

式中：δx為自由端的輸出位移；M為葉片梁固定端所受力矩；l為葉片梁的長度；E為材料的楊氏模量；I為梁的慣性矩.依據式(1)和(2)，可得

3．不同病理分級NEN的SCGN、CgA陽性表達： G1、G2、G3級NEN中SCGN陽性表達率的差異有統計學意義(H=8.472，P=0.018，表2)，其中G1與G2級、G2與G3級NEN的SCGN陽性率差異無統計學意義，而G3級NEN的SCGN表達率顯著低于G1級(秩均值：13.67比24.18)，差異具有統計學意義(Z=-2.506，P<0.017)。不同病理分級NEN的CgA表達差異無統計學意義。

(3)

由于Z型梁由3段葉片梁組成，所以其輸出力為

(4)

式中：Fθi為Z型梁中單個葉片梁的輸出力，i=1,2,3.依據式(1)～(3)，進一步得

(5)

依據圖3中Z型梁變形后的幾何關系，可得

(6)

結合式(6)，可通過式(4)和(5)，求出Z型梁的力-位移關系表達式.

1.3 負剛度分析

負剛度結構采用具有屈曲特性的雙穩態梁，建模如圖4所示.當雙穩態梁受到力F2作用時，會出現屈曲變形.圖中，L、d分別為雙穩態梁的長度和寬度；θ為梁相對于垂直固定面平面的傾斜角度；ε為傾斜導向梁受到F2作用而輸出的位移.

圖4 雙穩態梁建模Fig.4 Bi-stable beam model

其中導向梁第j個臨界點的屈曲力[23]為

(7)

可得到雙穩態梁的負剛度表達式為

(8)

依據式(7)和(8)，雙穩態梁的力-位移關系式為

(9)

式中：S=bd為梁的橫截面積.當θ為零，利用式(9)可求出傳統直梁的力-位移關系式.

依據式(4)和(9)，可得常力機構整體的力-位移表達式

(10)

2 仿真結果與分析

為驗證理論分析的正確性，利用Workbench進行仿真驗證.運用Matlab進行相關參數對機構常力特性的影響分析.

2.1 有限元仿真

機構采用的材料為具有較高彈性的ABSplus-P340.其密度為1 040 kg·m-3，楊氏模量E=2.2 GPa，泊松比μ=0.394，常力機構的主要參數如表1所示.其中，dz、db分別為Z型梁和雙穩態梁的寬度.

將機構的三維模型導入有限元軟件，建立有限元模型，在所有定位孔的內圓柱面施加固定約束，在提前建立的加載節點進行位移加載，理論與仿真的力-位移曲線如圖5所示.由圖5可知，理論與仿真結果較為吻合，常力輸出部分較為貼近.在輸入位移1.2 mm左右常力機構曲線開始變得平整，常力輸出對應的位移區間大約是[1.2,2.5] mm.恒定輸出力大約為18 N，恒力變化范圍大致為[16.8,17.5] N.

圖5 理論與仿真結果對比Fig.5 Comparison of analytical and simulation results

2.2 參數影響分析

常力機構輸出恒力的大小、穩定性及其輸出位移范圍與機構中各結構參數有關.因此，需評估機構中部分參數對機構力-位移輸出特性的影響，同時為結構參數的進一步優化奠定基礎.

由式(10)和表1可知，模塊的常力特性主要受到Z型梁和雙穩態梁各結構參數的影響.分析某一參數對常力特性的影響時，其他參數應保持不變.選取的Z型梁參數l2、dz變化時，機構的力-位移變化曲線如圖6所示.選取的雙穩態梁參數θ、db變化時，機構的力-位移變化曲線如圖7所示.

圖6 結構參數對Z型梁力學性能的影響Fig.6 Effect of architectural parameters on the performance of the Z-shaped beam

圖7 結構參數對雙穩態梁力學性能的影響Fig.7 Effect of architectural parameters on the performance of the bi-stable beam

分析圖6、圖7，可得出：

1) 由圖6(a)可知，隨著l2的增大，正剛度值減小，常力曲線趨向于負剛度曲線.其值在[8,12] mm區間時，正剛度與負剛度中和形成常力.

2) 由圖6(b)可知，隨著dz的增大，正剛度增大，常力曲線趨向于正剛度曲線，其值在區間[0.8,1.2] mm內時，正剛度與負剛度中和形成常力.

3) 由圖7(a)可知，隨著θ的增大，雙穩態梁的屈曲點向位移更大的位置移動，且相應的輸出力增大.負剛度曲線的陡峭程度變大，負剛度區域隨之增大.常力范圍增大，整體向位移更大的方向移動.

4) 由圖7(b)可知，隨著db的增大,屈曲點位置幾乎不變，但輸出力會增大，負剛度曲線越陡，常力范圍越小，常力曲線趨向于負剛度曲線.

綜上，4個結構參數中dz和θ對機構的力學性能影響最大.因此，有必要選定上述兩參數參與優化，以獲得機構的最優性能.

3 優化分析

由節2.2可知，通過改變結構參數的大小，機構可獲得不同的力-位移輸出特性.因此，在一定的參數變化范圍內，通過優化參數，選擇參數的最佳值，可實現機構的最優化設計.機構的優化分析可利用有限元軟件ANSYS Workbench完成.該方法采用多目標遺傳算法，可求解出由不同優化參數和輸出參數所組成的設計點，推薦最優的優化參數組合；并可獲得優化參數對輸出結果的影響關系.本研究選取5個獨立的結構參數作為優化參數，其上限、下限值如表2所示.

表2 優化參數變化范圍Tab.2 Range variation of optimized parameters

機構的優化目標為在選定的參數變化范圍內，獲得最大的常力范圍和大的常力值.為便于機構的優化分析，定義恒力比例因子(constant force ratio factor,CSRF) 這個物理量作為輸出參數，其值為常力輸出對應的位移區間大小與總輸出位移的乘積.由定義可知，當恒力比例因子增大，常力范圍會相應增大.結合機構的實際工作情況，另選機構的總變形最大值(total deformation maximum,TDM)和等效應力最大值(equivalent stress maximum,ESM)作為輸出參數.優化的效果應使恒力比例因子和總變形最大值達到最大，等效應力最大值達到最小.

為實現優化目標，系統會計算出足夠的設計點作為樣本參考.采集的樣本設計點越多，整體計算的誤差值越小，優化的精確度越高.此次優化一共采集了1 004個設計點，樣本如圖8所示.圖中上下兩條水平邊界線表示優化參數和輸出參數的最大、最小值；每一條曲線對應一個設計點，表示5個優化參數的取值與對應的輸出結果.圖9為輸出參數的響應面預測值與計算觀察值之間的擬合關系，由圖9可知，ESM相較于TDM和CSRF展現出更好的線性擬合度，精確度較高.

圖8 設計點采樣圖Fig.8 Sampling of design point

圖9 預測值與觀察值擬合度Fig.9 Fitting of the predicted value to the observed value

通過響應面分析，可得到優化參數對輸出參數的關系.針對優化目標，主要分析不同優化參數對CSRF的關系，如圖10所示.選取的4個優化參數對ESM的關系如圖11所示.依據圖10、11，可得出：

圖11 結構參數與ESM的關系Fig.11 Relationship between architectural parameters and ESM

1) 隨著l1、db和θ的增大，CSRF相應呈不同幅度的增大，3個參數與CSRF為正比擬合關系；隨著l2和dz的增大，CSRF相應呈不同幅度的減小，兩個參數與CSRF為反比擬合關系.根據CSRF的定義，各優化參數對TDM的關系與CSRF一致.

2) 隨著l2、db和θ的增大，ESM相應呈不同幅度的增大，3個參數與ESM為正比擬合關系；隨著l1的增大，ESM相應呈不同幅度的減小，該參數與ESM為反比擬合關系.

由響應面分析可知，各優化參數對輸出參數的影響不盡相同.此外，其影響程度也不同，即個別優化參數對輸出參數的影響大于其他參數.優化參數對輸出參數的靈敏度如圖12所示，由圖12可知，單個優化參數對CSRF和TDM的影響程度相同，θ對兩輸出參數的影響程度最大，其次為l1和dz，最后為db和l2；各優化參數對ESM的影響程度中，l1和l2對其影響程度最大，其次為db和θ，最后為dz.

圖12 優化參數對輸出參數的靈敏度Fig.12 Sensitivity of the optimized parameters to the output parameters

在已知各優化參數對輸出參數的影響關系及靈敏度的條件下，需根據優化目標對優化參數進行優化.在ANSYS優化模塊中，多目標遺傳算法可在優化參數與輸出參數生成的響應面上，尋找最佳的優化結果待選點.本研究最終選擇的5個優化參數的最優取值如表3所示.

表3 優化參數的最優值Tab.3 Obtained optimized parameters

運用SolidWorks建模，將5個參數的最優值替換原值，導入Workbench進行仿真求解.優化的常力機構的力-位移輸出特性與優化前進行對比，結果如圖13所示.優化的常力機構仍具有常力特性.在輸入位移2.0 mm左右,力-位移曲線開始變得平整，常力輸出對應的位移區間大約是[2.0,4.5] mm.恒定輸出力大約為68.5 N，恒力變化范圍大致為[65.8,73.4] N.相較于未優化的常力機構，常力輸出區間增加了1.2 mm，常力值增加了50.5 N.因此，驗證了該優化方法的有效性與可靠性.

圖13 優化前后力-位移曲線對比Fig.13 Comparison of force-displacement curves between original and optimized module

4 結語

本研究提出面向正負剛度組合的常力機構參數評估與有限元優化方法，通過建立Z型梁與雙穩態梁的數學模型，得出機構結構參數和常力輸出特性的關系.運用Matlab仿真，評估各結構參數對機構性能的影響，選擇5個結構參數作為優化變量，定義CSRF、TDM和ESM作為輸出參數，使用有限元優化法進行優化求解.基于優化過程中的響應面分析與參數敏感度分析，得出了θ對機構常力特性的影響較大的結論.優化的機構常力輸出的位移區間為[2.0,4.5] mm，恒定輸出力為68.5 N，其恒力變化范圍為[65.8,73.4] N.研究成果可為常力機構的參數優化和拓展應用等方面的研究起到積極的推動作用.