順應“深度學習” 變式拓展探究
——以一道圓錐曲線高三質檢試題的變式探究為例

山東 黃緒榮

由美國新媒體聯盟和美國學校網絡聯合會合作完成的2015年基礎教育《地平線報告》提出了兩種長期趨勢，其中一種就是探索深度學習的策略.深度學習就是在教師的引導下，學生圍繞具有挑戰性的學習主題，全身心參與、體驗成功、獲得發展的有意義的學習過程.復習課是高三數學教學的常態，承載著知識的再現與深化、方法的總結與凝練、思想的感悟與提升.由于解題教學是高三復習課教學的主體形式，發展學生數學分析和表達能力，促進學生思維的縱向深入發展，引導學生深度學習，應當成為倡導提升數學素養的高三解題教學的價值追求.基于“深度學習”理念，在對2022年2月福建省漳州市2022屆高三畢業班第一次教學質量檢測數學試題第21(2)題的深度探究、發現過程中，從解法探究，到延伸推廣，再到類比拓展，直到最后發現圓錐曲線的性質，整個過程可以說完全基于并順應了“深度學習”理念，是一次基于“深度學習”理念探究問題的收獲嘗試.現將整個探究過程展現出來與諸位同行分享、交流.

一、試題呈現

(1)求Γ的方程；

二、解法探究

對于第(1)題，先利用三角形面積公式變形已知面積等式，再利用雙曲線定義和性質求得a2，從而得到Γ的方程.

解：設△PF1F2的內切圓半徑為r，

又a2=c2-1，解得a2=3,

對于第(2)題，解答的關鍵是求切線l的方程.按常規解法，首先設出切線l的方程，然后與雙曲線方程聯立、變形整理，利用判別式為零和點P在雙曲線上得到的坐標間的整體關系，將l的斜率表示為點P的坐標關系，進而變形l的方程，最后表示出兩個交點M,N的坐標，運用兩點間的距離公式和點P在雙曲線上得到的坐標間的整體關系，證得等式.

這個解題程序是清晰、明確的，但實際解答中，其式子、方程之復雜、運算量之大，困難程度是出乎想象的.

解法1:由題意可知直線l不垂直于x軸，設l的方程為y-y0=k(x-x0)，所以y=k(x-x0)+y0.

得x2-3[k(x-x0)+y0]2-3=0，

所以x2-3(kx-kx0+y0)2-3=0，

面對這樣一個含有多個參量的關系，不知后面的關系會有多么的復雜，至此，信心頓失、難以為繼，因運算受阻而就此擱置！

仔細想想，第(2)題的“梗”在于求切線l的方程.這樣我們可以轉換一下對解題認知的思路，運用雙曲線的“二級結論”直接給出切線l的方程，然后完善解答，雖然此做法得不到該題的滿分，但至少可以得到大部分的分數，比放棄解答要強很多.這里將解法1后面的解題過程補充完整，就可以感覺到擱置解法1是個明智的選擇.

因為P(x0，y0)是Γ右支上一點，

所以(x0-3ky0)2=0，所以x0-3ky0=0.

所以代入l的方程為y-y0=k(x-x0)，

下同解法1.

這里需要進一步提醒的是，數學中的許多“二級結論”可以直接用來解答客觀題，但用于解答主觀題時必須有推證的過程，其實上面的解法1運算受阻的原因就在于所用“二級結論”的推證過程.

除上面的兩種解法外，第(2)題還有沒有更好地解答途徑呢？我們進一步轉換視角，可以從“點P(x0，y0)是Γ右支上一點”和“在點P處的切線l”這兩點切入來考慮，將Γ右支分上半支和下半支來討論的基礎上，利用導數的幾何意義解答，豈不妙哉！于是，就有了下面我們優選的解法.

解法3：由題意可知直線l不垂直于x軸，設l的方程為y-y0=k(x-x0).

由題意知y0≠0，

下同解法1.

三、考查模式

(1)求C的方程；

其中第(2)題就是以雙曲線為載體的定值問題.

求解定值問題的基本思想是函數思想，可以用變量表示問題中的直線方程、數量積、比例關系等，得到問題所需要的代數表達式，然后對表達式進行直接推理、計算，并在推理計算的過程中消去變量，從而得到定值．這種方法可簡記為：一選(選好參變量)、二求(對運算能力要求頗高)、三定值(確定定值)．

四、試題變式

1.變式思考，延伸推廣

思考第(2)題證得的結論，有下列兩個變式問題：

變式1.若點P在Γ的左支上將會是怎樣的？結論與點P在Γ的右支還是左支上有無關系？

變式2.點A能否在其他象限的漸近線上或不在漸近線上？結論與點A是否在Γ的漸近線上有無關系？

證明：由題意可知直線l不垂直于x軸，設l的方程為y-y0=k(x-x0).

由題意知y0≠0，

所以b2x0x-a2y0y=a2b2.

故證得|MF2|=e|NF2|.

按結論1的證明過程同理可證得.

2.類比變式，結論深化

圓錐曲線有許多相似的性質或結論，于是又有：

變式3.將結論1和結論2分別類比變式到橢圓和拋物線，是否有同樣的結論？

經過一番探究發現，答案是肯定的，于是就有了橢圓和拋物線的3個結論.

證明：由題意可知直線l不垂直于x軸，設l的方程為y-y0=k(x-x0).

由題意知y0≠0，

所以直線l的方程為b2x0x+a2y0y=a2b2，

故證得|MF2|=e|NF2|.

按結論3的證明過程同理可證得.

證明：由題意可知直線l不垂直于x軸，設l的方程為y-y0=k(x-x0).

由題意知y0≠0，

故證得|MF|=|NF|.

3.整合變式，收獲共性

變式4.以上分別得到了三種圓錐曲線的結論，能否將上述5個結論進行整合、統一呢？

于是經過探究，我們得到了一般圓錐曲線的一條性質命題：圓錐曲線Γ的一個焦點為F，離心率為e，點P是Γ上一點，若Γ在點P處的切線l與過F且垂直于x軸的直線相交于點M，與F相應地準線相交于點N，則無論點P怎么變動，總有|MF|=e|NF|.

五、教學感悟