橫梁移動式五軸龍門銑床擺動軸與位置相關的幾何誤差檢測與辨識＊

鄔昌軍 鄭明明 王巧花 范晉偉 王良文 宋曉輝

（①鄭州輕工業大學河南省機械裝備智能制造重點實驗室，河南 鄭州 450002；②北京工業大學北京先進制造技術重點實驗室，北京 100124；③河南省科學院，河南 鄭州 450008）

五軸機床作為“工作母機”具有更高的加工效率、更快的切削速度和更強的加工能力[1]，但其兩個旋轉軸的存在帶來更多幾何誤差將直接影響機床加工精度[2-3]。橫梁移動式五軸龍門銑床是一種適應于大型、重型工件的雙擺頭（回轉軸和擺動軸）五軸機床，加工行程長、龍門跨度大，無需移動工件便可以實現復雜曲面的數控加工。然而，受長行程、大跨度及高負載因素影響，橫梁在重力作用下易變形，導致機床各部件之間的位置關系發生變化，嚴重影響加工精度[4]，而其擺動軸B軸作為機床傳動鏈的最末端，直接與刀具相連。因此，擺動軸與位置相關的幾何誤差的檢測與辨識對提高大型五軸機床的加工精度具有非常重要的意義[5-7]。

近年來，國內外學者們對多軸數控機床旋轉軸的幾何誤差進行了諸多方法的檢測與辨識。Xia H J等[6]用減小球桿儀的安裝誤差的方法，提高了回轉軸幾何誤差測量的準確性，但其測量方法過于復雜。Li Q Z等[7]用球桿儀識別了一種傾斜式雙轉臺型五軸機床旋轉軸的幾何誤差，但球桿儀的安裝位置有一定的局限性，易引起與工作臺的碰撞。Chen D J等[8]利用球桿儀辨識出旋轉軸B軸4項與位置相關的幾何誤差，缺少兩項角位移誤差。夏長久等[9]提出了一種基于球桿儀單軸運動測量的旋轉軸幾何誤差辨識方法，但其旋轉軸的角定位誤差未深入分析。Ibaraki S等[10]提出了用R-test來自動辨識旋轉軸與位置相關的幾何誤差的方法。李國龍等[11]用球桿儀6種安裝模式，快速測量小型HMU20 五軸加工中心轉臺C軸6項與位置相關的幾何誤差。Uddin M S等[12]利用球桿儀對機床旋轉軸與位置無關的幾何誤差進行了識別。項四通等[13]提出了3種基于球桿儀測量和辨識旋轉軸誤差的測量方法，通過不同的測量模式辨識出Quaser UX600 雙轉臺五軸數控機床旋轉軸的幾何誤差，但沒有考慮誤差之間的耦合影響。

由于雷尼紹XR20-W測量裝置即使無法安裝在擺動軸旋轉軸線上也可實現角定位誤差的準確測量[13]。考慮到擺動軸各幾何誤差間的耦合影響，首先由雷尼紹XR20-W測量裝置直接測量擺動軸角定位誤差，然后利用多體系統運動學理論建立機床擺動軸(B軸)運動學模型；基于角定位誤差，通過球桿儀一次安裝辨識出機床擺動軸其余5項與位置相關的幾何誤差。最后，通過對檢測辨識結果進行回歸分析和對比分析，以驗證所提出的擺動軸幾何誤差檢測與辨識方法的可靠有效性和辨識結果的正確性。

1 橫梁移動式五軸聯動龍門銑床結構

如圖1所示，研究機床為XKAS2525×60型橫梁移動式五軸聯動龍門銑床，主要包括放置加工工件W的工作臺1，在工作臺上沿X軸方向滑行的橫梁2，在橫梁側方沿Y軸方向移動的鞍座3，在鞍座單側面沿Z軸方向滑動的滑枕4，繞Z軸旋轉的回轉軸5（C軸），繞Y軸擺動的擺動軸6（B軸），刀具T在B軸下端。

2 擺動軸的幾何誤差定義

根據ISO 230-7[15]，擺動軸的幾何誤差分為與位置無關的幾何誤差(PIGEs)和與位置相關的幾何誤差(PDGEs)，如表1所示。PIGEs主要產生于零部件裝配過程中，它們不隨軸類部件運動而變化。

表1 B軸幾何誤差分類

圖2為PIGEs的示意圖，其中，X、Z軸為B軸參考基準軸，B′為B軸實際方向， εxb和 εzb分別為擺軸B與平動軸X、Z間的垂直度誤差。PDGEs主要因自身加工缺陷引起，它們隨軸類部件運動而變化；B軸有6個自由度，分別為3個平動自由度和3個轉動自由度，每個自由度分別對應一項幾何誤差。

圖2 與位置無關的幾何誤差

如圖3所示， εx(b)、 εy(b)、 εz(b)分別為B軸繞X、Y、Z軸運動的角位移誤差， δx(b)、 δy(b)、δz(b)分別為B軸在X、Y、Z方向上引起的線位移誤差。

圖3 與位置相關的幾何誤差

3 擺動軸運動學分析建模

根據文獻[16-19]，多體系統理論通過分析相鄰物體之間的相對運動關系，將一個復雜的力學系統劃分為幾個獨立的物體，并對整個運動系統進行描述，且機床可視為由許多剛體組成[16]。如圖4所示，物體6（B軸）和5（C軸）彼此相連，物體6相對于物體5轉動過程中存在幾何誤差，使物體6偏離理想位置。O6-X6Y6Z6和O5-X5Y5Z5分別為物體6和5上的坐標系；Ql6和Q6分別為物體5體參考坐標系中物體6的理想運動參考點和實際運動參考點；ql6和q6分別為理想位置矢量和實際位置矢量；qe6為位置誤差矢量；Ol6和O6分別為物體6體參考坐標系原點在實際運動參考坐標系中的理想運動位置和實際運動位置；sl6和s6分別為理想運動矢量和實際運動矢量；se6為運動誤差矢量；Hb為物體6上固定點D′b在物體6體坐標系中的位置矢量。

2)與Weibull(韋伯分布)函數相關系數的計算。生成3 180×1的韋伯分布隨機矩陣數據，然后以z=corrcoef(A,C)指令計算相關系數，zWeibull=0.002 1。

圖4 相鄰體相對運動示意圖

物體6在物體5體坐標系中的任意點D′b的位置方程可以用以下方程表示

轉化為實際位置矩陣表達式為

式中：

D′b為點Dbx在物體5體坐標系O5-X5Y5Z5中的實際位置矩陣； {Hb}為Db在坐標系O6-X6Y6Z6中的位置矩陣； [S56]p為物體6相對物體5的相對位置矩陣；[S56]pe為物體6相對物體5的位置誤差矩陣；[S56]s為物體6相對物體5的相對運動變換矩陣；[S56]se為物體6相對物體5的運動誤差變換矩陣。

物體6繞物體5做旋轉運動，Db為Dbx點在物體5體坐標系坐標系O5-X5Y5Z5中的理想位置矩陣

理想位置與實際位置之間的誤差表達式為

4 B軸幾何誤差測量與辨識

4.1 基于球桿儀的測量原理

球桿儀檢測系統如圖5所示，其中有一測量桿，測量桿兩端有兩個球體（中心球1和中心球2）分別安裝在工具杯和中心杯上，工具杯被機床主軸卡緊，中心杯被中心座卡緊。球桿儀測量系統中的測量桿可以伸縮變換，里面裝有高精度傳感器，B軸運動時，該傳感器可以捕捉到兩球中心位置之間的微小誤差。

圖5 雙球桿儀的結構圖

擺動軸的8項幾何誤差中，角定位誤差 εy(b)由雷尼紹XR20-W測量裝置直接測量，垂直度誤差 εxb、εzb可依據ISO 10791-2[20]附錄中所述的檢測方法檢測，其余5項與位置相關的幾何誤差需要球桿儀間接識別。

4.2 基于齊次變換矩陣的誤差辨識模型

識別B軸的幾何誤差分4種模式進行,分別為BX模式、B-Z模式、B-Y模式、B-XY模式，依次對B軸X、Z、Y、X的4個方向進行檢測。球桿儀的方向配合機床體坐標方向，B軸的體坐標系原點位于B、C軸軸心線交匯處，B軸的坐標系方向受C軸影響，為單獨研究B軸，B軸體坐標系名稱不變，計算過程中B軸體坐標系方向配合球桿儀坐標系進行變換，B軸的變換位姿用4×4齊次變換矩陣表示。

圖6為測量模型在XZ平面上的簡化圖，Pb為B軸理想體坐標系原點，P′b為B軸體坐標系原點實際位置，Dbx為小球的理想位置，D′bx為小球的實際位置， Δx為B軸定位誤差在Z方向投影， Δ β為B軸在XZ平面上的角度誤差，Hb為B軸理想體坐標系原點到小球理想位置的距離， ΔLbx為小球的實際位置到小球的理想位置的距離。B軸運動時，在角度和位置誤差的影響下，B軸會在Z方向上產生誤差。

圖6 B-X 測量模式誤差產生原理

4.2.1B-X模式

令C軸與機床Z軸保持平行，球桿儀保持水平180°，僅B軸運動，X、Z軸做跟隨運動，測量球桿儀在X方向的長度變化。讓B軸體坐標原點在它的回轉中心處，即B軸和C軸中心線的交點，Pb到Dbx的理論距離為Hb1。由于球桿儀和B軸運動軌跡會互相干涉，B-X模式測量過程分為B-X-N和BX-P兩部分進行，且B-X-N測量模式里B軸回轉角度為負值；B-X-P測量模式里B軸回轉角度為正值,如圖7所示。

圖7 B-X 模式示意圖

小球在B軸體坐標系中的理想位置Db可由式（5）表示；小球在B軸體坐標系中的實際位置D′b可由式（6）表示；球桿儀長在X方向的變化量可由式（7）表示；將式（7）進行整理，可得到式（8），εxc、 εy(b)為已知誤差參數，所以式（8）中還有兩項未知誤差參數，需進一步建立辨識方程求解。

4.2.2B-Z模式

令C軸與機床Z軸保持平行，球桿儀保持水平180°，僅B軸運動，X、Z軸做跟隨運動，測量球桿儀在Z方向的長度變化，Pb到Dbz的理論距離為Hb1，如圖8所示。

圖8 B-Z 模式示意圖

由式（6）可得球桿儀在Z方向上的桿長變化，即式（9）；參數 εxc、 εy(b)為已知誤差參數，將式（9）進行整理，可得式（10）；式（10）包含δz(b)、 δx(b)兩項未知數，聯立（8）可得式（11），化簡式（11）求得 δz(b)、 δx(b)。

由式（6）可得球桿儀在Y方向上的桿長變化，即式（14），將式（14）進行整理，得到式（15），參 數 εyc、 εbz、 εxb為 已 知 誤 差 參 數 ， 即 式 （15） 中還有兩項未知誤差參數，需進一步建立辨識方程求解。

4.2.3B-Y模式

令C軸與機床Z軸保持平行,球桿儀保持水平180°，僅B軸運動，X、Z軸做跟隨運動，測量球桿儀在Y方向的長度變化。

在B-Y-1測量模式中，設B軸原點Pb到小球理想位置Dby1的距離為Hb1，小球的實際位置在D′by1；在B-Y-2測量模式中，設B軸原點Pb到小球理想位置Dby2的距離為Hb2,小球的實際位置在D′by2，如圖9所示。

圖9 B-Y 模式示意圖

由式（15）可得方程（16），解方程得 εx(b)、δy(b)。

4.2.4B-XY模式

在B-X測量模式的基礎上，令球桿儀固定桿沿Y軸正向偏移Hby后固定，如圖10所示。令C軸與機床Z軸保持平行,球桿儀保持水平180°，僅B軸運動，X、Z軸做跟隨運動，測量球桿儀在X方向的長度變化，Pb到 小球理想位置Dbx的距離為Hb3，小球的實際位置在D′bx。

由于球桿儀和B軸的運動軌跡會互相干涉，因此，B-XY模式測量過程分為B-XY-N和B-XY-P兩部分進行，且B-XY-N測量模式里B軸回轉角度為負值；B-XY-P測量模式里B軸回轉角度為正值，如圖10所示。

圖10 B-XY 模式示意圖

小球在B軸體坐標系中的理想位置Db可由式（19）表示；小球在B軸體坐標系中的實際位置D′b可由式（20）表示；球桿儀長在X方向的變化量可由式（21）表示；整理式（21）可得 εz(b)。

5 誤差測量實驗

如圖11所示，用雷尼紹XR20-W校準裝置直接測得角定位誤差 εy(b)。依據 ISO 10 791-2[15]附錄中所述的檢測方法，獲得相關垂直度誤差，如表2所示。其余5項幾何誤差辨識設備為雷尼紹QC20-W球桿儀，主要技術參數如表3所示。

表2 垂直度誤差

表3 雷尼紹QC20-W球桿儀檢測系統性能指標

圖11 XR20-W 檢測

如圖12所示，球桿儀精確安裝，取Hb1=690 mm，Hb2=790 mm，Hb3=890 mm，Hby=60 mm，B軸誤差測量行程共為210°，每隔15°采集一次誤差，且行程最小值為-105°，最大值為105°，共15個誤差采集點，每一測量行程往返測量5次，將每一測量點處采集到的桿長變化量取平均值。4種模式的球桿儀運行軌跡如圖13所示，其中黑線為誤差影響下的軌跡，灰線為理想運動軌跡；測量軌跡偏心率如表4所示。

表4 偏心率

圖12 球桿儀檢測

圖13 球桿儀測量運動軌跡圖

將以上數據代入式（14）、（15）、（19）、（20）、 （26）中，獲得 δx(b)、 δz(b)、 εx(b)、δy(b)和 εz(b)等5項誤差。

由于機床的幾何誤差參數與部件的運動行程間存在著周期性的作用規律，但同時存在一些不確定的因素。因此，利用傅里葉級數[21]模型擬合誤差測量辨識結果，采用高斯-牛頓迭代法計算模型的回歸系數，得到機床單項幾何誤差參數擬合曲線。

以角定位誤差 εy(B)和Y向跳動誤差 δy(B)為例，以驗證B軸誤差測量辨識結果的可靠性。

εy(B)的擬合曲線如圖14所示，辨識點殘差平方和SSE=1.065 0× 10-11，擬合曲線確定系數R2=0.975 3。δy(B)的擬合曲線如圖15所示，辨識點殘差平方和SSE=2.783 8×10-10，擬合曲線確定系數R2=0.997 8。

圖14 B 軸角定位誤差εy(B)

圖15 B 軸的 Y 向跳動誤差δy(B)

從圖中可以看出擺動軸幾何誤差檢測辨識結果良好，可以反映各幾何誤差參數的運動規律，從而證明所提出的擺動軸軸單項幾何誤差檢測與辨識方法是可靠有效的。

為進一步驗證辨識結果的正確性，首先利用文獻[16]介紹的方法對檢測和辨識的擺動軸幾何誤差進行補償，然后利用Renishaw QC20-W球桿儀測量ZX平面內形成的圓形軌跡，并將這一軌跡與標準圓形軌跡進行比較（如圖16所示）。表5為誤差補償前后的圓形軌跡圓度比較。根據表5，補償前后的圓度減少了57.5%，從而說明了擺動軸幾何誤差辨識結果的正確性。

圖16 球桿儀在 ZX 面的測量結果

表5 圓度比較

6 結語

本文提出了一種XKAS2525×60大型五軸龍門銑床擺動軸B軸6項與位置相關的幾何誤差檢測與辨識方法，首先基于多體系統運動學理論建立機床擺動軸B軸運動學模型，然后基于球桿儀建立機床擺動軸B軸5項幾何誤差辨識模型。最后，基于雷尼紹XR20-W校準裝置測得角定位誤差和利用球桿儀辨識出B軸其余5項與位置相關的幾何誤差，并對實驗結果進行回歸分析和對比分析，實驗結果表明：所提出的機床擺動軸幾何誤差檢測與辨識方法簡化了大型機床旋轉軸檢測和辨識過程、提高了測量精度和效率，檢測與辨識結果是可靠有效和正確的。