基于NSGA-Ⅱ的局部范圍搜索算法的電機參數優化*

黃朝志, 耿永民, 原紅衛

(江西理工大學 電氣工程與自動化學院，江西 贛州 341000)

0 引 言

在日常生活中多目標優化問題隨處可見，人們往往希望在有限的資源中挑選出最優解，但實際情況往往是多個最優解共同存在，最優解的目標函數之間相互制約，使最優參數難以通過比較得出。因此人們往往通過制定一些技術指標來限定目標函數的范圍以降低選擇的難度[1]。轉矩脈動、效率和平均轉矩均可以作為目標函數，其中以效率為目標函數是為了更好地了解損耗的變化。為了觀察局部的轉矩脈動和平均轉矩之間的約束關系，設置局部范圍，使最優解集在該區域內產生，這對優化算法的搜索能力提出了更高的要求，算法必須擁有足夠強的搜索能力才能得到最優解集。

非支配排序遺傳算法(NSGA-Ⅱ)是由Deb等[2]提出的一種通用的多目標優化算法，在多目標優化問題中有著廣泛的應用[3-5]。陳吉清等[6]使用NSGA-Ⅱ對開關磁阻電機樣機的結構參數進行多目標尋優，優化的結果表明該方法能夠有效地抑制轉矩脈動。由于該NSGA-Ⅱ是Isight軟件自帶的算法，因此其結果還可以進一步優化。刁凱凱等[7]利用分層優化的方式進行多目標優化，通過對比分析確定可以獲得最優的電磁性能，然而其有著魯棒性差且容易受到加工誤差影響的缺點。

NSGA-Ⅱ的優點是搜索的范圍廣，然而在全局搜索中犧牲了局部范圍中的優秀解。為了解決傳統NSGA-Ⅱ存在的問題，路艷雪等[8]提出改進的正態分布交叉算子和自適應調整變異方式，使Pareto最優面更加均勻連續地分布，但其自適應變異方式不利于搜索到更優解。栗三一等[9]提出了一種基于密度的局部搜索NSGA-Ⅱ算法，對稀疏的個體進行極限優化和隨機搜索，使搜索能力和收斂速度得到提高，但是算法的計算量有一定的增加，使收斂速度減慢了。

本文提出基于NSGA-Ⅱ的局部范圍搜索算法(RLS-NSGA-Ⅱ)。RLS-NSGA-Ⅱ相比NSGA-Ⅱ增強了局部搜索能力，同時為應對計算量的問題，RLS-NSGA-Ⅱ在局部范圍內進行搜索，減少了搜索能力強導致的計算資源浪費。本文在算法優化的基礎上將RLS-NSGA-Ⅱ應用于一種永磁輔助開關磁阻電機(該種電機通過在定子槽中嵌入永磁體，使其具有更好的電磁性能)的參數優化中，并加入有效單位保留策略，試驗證明RLS-NSGA-Ⅱ在搜索能力和收斂性方面都明顯優于NSGA-Ⅱ，并且最優解的參數更加符合實際需求。

1 電機拓撲結構和優化模型建立

1.1 電機拓撲結構

本文提出一種在外轉子開關磁阻電機中加入永磁體的新型6/20混合勵磁三相外轉子永磁輔助開關磁阻電機，其結構如圖1所示。該電機定轉子由硅鋼片疊壓而成，定子分為六個分段定子，每個分段由兩個輔助齒和一個Y型齒組成。一相的磁通路徑如圖2所示，永磁體就嵌入在輔助齒與Y型齒之間的槽口中，其中永磁體的磁性在分段定子中相反，在相鄰的定子中磁性相對。定子極上有集中繞組，相對的兩個繞組串聯構成一相。外轉子有20個極，本文在每個轉子極上增加一個極靴角，以探究對電機運行參數的影響，極靴示意圖如圖3所示。混合勵磁結構中的永磁體對開關磁阻電機磁場有增強的作用，進而改善電機的運行轉矩。該電機的初始設計尺寸如表1所示。

圖1 永磁輔助開關磁阻電機三維結構

圖2 一相的磁通路徑

圖3 極靴示意圖

表1 初始設計尺寸

1.2 建立優化模型

本文將轉矩脈動作為一個目標函數；在降低轉矩脈動的同時，平均轉矩的大小也是一個值得考慮的問題，因此將平均轉矩也作為一個目標函數；最后將電機的運行效率作為一個目標函數。綜上，本文選取的三個目標函數分別為轉矩脈動、平均轉矩和效率[10-11]。

本文選取5個結構參數和4個控制參數作為設計變量，對其進行皮爾遜相關系數分析，設計變量表和皮爾遜相關系數分布如表2和圖4所示。

表2 設計變量表

圖4 皮爾遜相關系數分布

由皮爾遜相關系數分布可以看出，匝數、極靴角、導通角、關斷角和斬波電流等五個設計變量對三個目標函數的影響最大，因此選取此五個變量作為本優化的決策變量。利用響應面法對決策變量定義域內的樣本點進行試驗設計[12-14]，樣本點數據由Maxwell有限元軟件仿真得到。本試驗設計采用所需樣本點少的Box-Behnken方法，樣本點共有46個，使用Design-Expert軟件對試驗數據進行回歸擬合分析，得到三個目標函數的二階響應面方程。

1.3 保留有效單位

傳統NSGA-Ⅱ的決策變量的數值是由隨機數、交叉算子和變異算子決定的，在優化的過程中決策變量的優化會越來越精細，這導致在最后的優化結果中存在決策變量精度過高的問題。因此，針對永磁輔助開關磁阻電機的運行參數特點，對其優化參數進行有效單位保留。具體做法是：匝數進行取整操作，電流、開通角、關斷角和極靴角保留小數點后一位。經過有效單位保留后，考慮到所有可能存在的解集，總個體數約4×107個。其中最小單位優化變異的最小單位的精度和有效單位保留的精度相同。圖5是RLS-NSGA-Ⅱ使用了有效單位保留和不使用有效單位保留的對比圖。

圖5 使用有效單位保留對比

其中不使用有效單位保留的個體為1 416個，使用有效單位保留的個體為32個，可以看到，使用了有效單位保留后，解集的數量大幅減少，在一定程度上減小了算法搜索的壓力。雖然可供選擇的個體變少了，但更加符合實際電機優化的需要，為后期的最優個體選擇帶來了方便。

2 RLS-NSGA-Ⅱ算法

為了解決傳統NSGA-Ⅱ對局部范圍的Pareto最優面搜索能力較差的問題，本文提出一種基于改進NSGA-Ⅱ的局部范圍搜索的算法RLS-NSGA-Ⅱ。RLS-NSGA-Ⅱ在NSGA-Ⅱ的優化空間中選擇某一局部區域進行搜索，采用了正態分布交叉算子、極限優化變異算子和最小單位變異算子，并結合永磁輔助開關磁阻電機的實際情況，采用了有效單位保留策略，使得RLS-NSGA-Ⅱ比NSGA-Ⅱ有更好的搜索能力。由于RLS-NSGA-Ⅱ在局部區域搜索，可以平衡采用新交叉算子和變異算子帶來的計算量增大的問題。

2.1 局部范圍搜索

2.1.1 正態分布交叉算子

傳統的NSGA-Ⅱ采用模擬二進制(SBX)交叉算子，本文采用隨機搜索范圍更廣、搜索能力更強的正態分布交叉算子(NDX)[15]。其交叉過程如下。首先產生一個隨機數t∈(0,1]。

當t≤0.5時，則：

(1)

當t>0.5時，則：

(2)

式中：p1,i和p2,i分別為父代1和父代2的第i個染色體；x1,i和x2,i分別為子代1和子代2的第i個染色體；|N(0,1)|為標準正態分布隨機變量。

2.1.2 極限優化變異算子

傳統的NSGA-Ⅱ變異策略只對一個決策變量進行變異，RLS-NSGA-Ⅱ變異策略為每個決策變量分別進行變異，即極限優化變異[16]。極限優化變異能夠有效提高局部搜索能力[17]，其具體方法如下。設當前目標變異解為X=(x1,x2,…,xv)，v為決策變量的個數，極限優化變異公式為

(3)

(4)

βmax(xi)=max[xi-li，ui-xi]，1≤i≤v

(5)

式中：xi為未變異的決策變量；x′i是變異后的決策變量；h為0～1的隨機數；q為正實數，其決定了變異曲線的形狀，因此稱為形狀參數，本文q設置為11；βmax(xi)為當前目標變異解的決策變量可變動的最大值;α為隨機變量；li為第i個決策變量的下界；ui為第i個決策變量的上界。

經過極限變異后，一個父代個體可以產生v個不同的子代個體。極限優化變異的搜索距離較小，而搜索范圍較廣，可以搜索到目標周圍可能存在的可行解。本文的極限優化變異針對的是擁擠度較大的前20%的個體。

2.1.3 最小單位優化變異

前文介紹了有效單位的保留。本文在極限優化變異的基礎上加入最小單位變異，通過對染色體施加最小單位的變異量，起到增強其局部搜索能力的作用。最小單位代表著優化的精確度，精確度越高，則Pareto解集越多。對決策變量進行最小單位變異有利于增加變異的有效搜索能力。變異的最小單位由下式決定：

(6)

式中：real_max、real_min分別為決策變量的實際最大值和實際最小值；Sd表示有效位數，代表著精確位數，例如精確位為保留小數點后一位時是0.1，保留小數點后兩位時是0.01。

由此提出一種基于單位優化變異的變異算子，如下：

(7)

式中：Z是整數，可以根據實際情況設置為-2、-1、1或者2等整數;m為變異的最小單位。

該變異算子的最大優勢是以最小精度為變異單位，搜索個體周圍的可行解。

2.2 局部范圍和最優個體的選取

2.2.1 選取局部范圍

以本文的三目標電機參數優化為例，局部搜索優化原則是在降低轉矩脈動的基礎上，盡量減少平均轉矩的降低[18]，效率的選取則優先級較低，因為效率主要是用于觀察損耗的變化。在RLS-NSGA-Ⅱ運行之前，使用者需要設定轉矩脈動的上限、下限和平均轉矩的下限。局部范圍搜索的選擇過程示意圖如圖6所示，為方便理解，圖6的右視圖如圖7所示，在轉矩脈動上、下限之間且在平均轉矩下限之上的個體即是符合要求的個體。

圖6 局部范圍選擇示意圖

圖7 右視圖

2.2.2 最優個體的選取

由圖6可知，在NSGA-Ⅱ算法得到的全局Pareto解集中，隨著轉矩脈動的降低，電機效率和平均轉矩的數值也在降低，目標之間相互制約。在圖6中，隨著轉矩脈動減小，平均轉矩降低的速度逐漸加快。在得出一組局部范圍個體后，需要根據需求選出最優的個體，但是選擇最優個體主要依靠決策者的個人偏好。為了便于后面的參數優化對比，這里給出一種簡單的最優個體選取公式：

(8)

(9)

f=fripple+ftorque

(10)

式中：fripple、ftorque和f分別是轉矩脈動、平均轉矩和個體的適應值；Max-ripple、Min-ripple和Ch-ripple分別是轉矩脈動的最大值和最小值以及個體的轉矩脈動；Max-torque、Min-torque和Ch-torque分別是平均轉矩的最大值、最小值和平均值。

由式(8)可知，轉矩脈動越小，則該個體的適應值越大，其被選為最優個體的概率就越大。由式(9)可知，平均轉矩越大，該個體的適應值越大，其被選為最優個體的概率就越大。式(10)表明，個體的適應值是轉矩脈動適應值和平均轉矩適應值之和，通過這種方法可以較好地平衡轉矩脈動和平均轉矩之間的優化矛盾。盡管效率與轉矩脈動和平均轉矩之間也有優化矛盾，但本文未將效率考慮到最優個體的選取過程中。

2.3 RLS-NSGA-Ⅱ算法流程

根據NSGA-Ⅱ求出Pareto解集的大致分布，選擇具體的轉矩脈動上、下限和平均轉矩的下限等參數，設定種群個數和最大迭代次數，RLS-NSGA-Ⅱ的具體算法流程如下。步驟1：設置RLS-NSGA-Ⅱ的參數；步驟2：初始化，產生符合要求的解集作為初代父代解集；步驟3：對父代解集進行正態分布交叉和變異，并對擁擠度大的個體進行極限優化變異和最小單位優化變異，產生子代解集；步驟4：合并父代解集和子代解集，進行非支配排序；步驟5：記錄合并解集中Pareto等級為1且符合要求的個體，并選擇局部范圍內的解集作為下一代的父代解集；步驟6：重復步驟3～步驟5直到完成迭代次數；步驟7：對記錄的解集進行非支配排序，挑選其中Pareto等級為1的個體作為最優解集。

RLS-NSGA-Ⅱ在局部范圍內進行優化，使用改進的交叉和變異方式，可以擴大解集的搜索范圍得到更多的個體，使搜索能力和收斂性得到提高。

3 優化算法仿真與電機參數優化

3.1 優化算法仿真

ZDT系列函數和DTLZ函數廣泛應用于多目標函數的性能測試。為了測試本論文提出的RLS-NSGA-Ⅱ的性能，采用雙目標ZDT系列函數(ZDT1、ZDT2和ZDT3)和三目標DTLZ系列函數(DTLZ2)進行仿真，將結果與傳統的NSGA-Ⅱ進行對比。本文采用MATLAB R2016a版本，處理器為3.30 GHz，8.00 GB內存。

評價函數使用收斂性度量指標γ，γ表示測試解集與真實Pareto解集最優前沿的逼近程度，其計算式如下：

(11)

(12)

式中：x是測試算法的解向量；S是測試算法的解集；S*是真實Pareto解集；d(x,S*)表示測試算法得出的解集與真實Pareto解集的距離最小值;F(x)為算法求得的非支配解的位置；F(y)為真實Pareto最優解前沿采樣點的位置。

該評價函數表明，當測試算法得出的解集越逼近真實Pareto解集時，γ值越小。因此，該評價函數可以用來測試算法的收斂能力。

為對比RLS-NSGA-Ⅱ和傳統NSGA-Ⅱ的收斂效果，將RLS-NSGA-Ⅱ與NSGA-Ⅱ分別獨立運行100次，記錄其收斂性度量指標γ的數值，運行參數是：NSGA-Ⅱ種群數量500，迭代次數500；RLS-NSGA-Ⅱ的種群數量為100，迭代次數500。對兩算法得出的γ值進行獨立樣本t檢驗[19]，得出兩樣本的顯著性差異，仿真數據如表3所示。

表3 算法仿真數據

從表3可以看出，RLS-NSGA-Ⅱ相比NSGA-Ⅱ在測試函數ZDT2、ZDT3和DTLZ2中有著極顯著的差異(P值小于0.001)，而在測試函數ZDT1中則不顯著(P值大于0.05)，但RLS-NSGA-Ⅱ得出的γ平均值仍然小于NSGA-Ⅱ的。

測試函數的Pareto前沿圖如圖8～圖12所示。在ZDT1、ZDT2和ZDT3兩目標函數圖中，RLS-NSGA-Ⅱ得出的Pareto前沿比NSGA-Ⅱ得出的更靠近真實Pareto前沿，說明其可以較為穩定地收斂到真實Pareto前沿；在DTLZ2三目標函數圖中，RLS-NSGA-Ⅱ得出的Pareto前沿比NSGA-Ⅱ得出的更靠近Pareto前沿，并且RLS-NSGA-Ⅱ的個體相比NSGA-Ⅱ更均勻地分布在Pareto前沿。

圖8 ZDT1的Pareto前沿圖

圖9 ZDT2的Pareto前沿圖

圖10 ZDT3的Pareto前沿圖

圖11 DTLZ2的Pareto前沿圖

圖12 DTLZ2局部對比的Pareto前沿圖

通過NSGA-Ⅱ與RLS-NSGA-Ⅱ的對比可以看到，RLS-NSGA-Ⅱ擁有比NSGA-Ⅱ更強的局部收斂能力，能夠搜索到質量更好的Pareto解集，而且從搜索的局部區域來看，RLS-NSGA-Ⅱ在Pareto前沿的分布也更好。

3.2 永磁輔助開關磁阻電機優化

3.2.1 電機多目標優化對比

NSGA-Ⅱ得出的全局Pareto最優面如圖13所示，其中種群數量為1 000，迭代次數為500。全局最優個體的決策變量是匝數70匝、電流30 A、開通角-1°、關斷角7.8°和極靴角2°，目標函數的參數是轉矩脈動51.74%、效率78.92%、平均轉矩27.328 4 N·m。

圖13 NSGA-Ⅱ得出的全局Pareto最優面

在實際電機優化中，為了使RLS-NSGA-Ⅱ求出的解集數量盡可能多，在迭代選擇過程中將轉矩脈動范圍擴大10%，將平均轉矩的下限降低3%。表4是RLS-NSGA-Ⅱ的7組試驗參數設置。對NSGA-Ⅱ得出的全部解集進行表4的范圍設置，與RLS-NSGA-Ⅱ得出的最優解集進行對比，得出的局部Pareto解集如圖14所示。

表4 RLS-NSGA-Ⅱ的參數設置

圖14 局部Pareto解集對比

由圖14可得到表5，搜索到的個體數量代表搜索能力的強弱，是否被支配代表收斂能力的強弱。從表5可以看到，在第1、2、4、5組中，有一個NSGA-Ⅱ搜索到的個體被RLS-NSGA-Ⅱ搜索到的個體所支配；在第3、7組中，有三個NSGA-Ⅱ搜索到的個體被RLS-NSGA-Ⅱ搜索到的個體所支配；在第6組中，沒有NSGA-Ⅱ搜索到的個體被RLS-NSGA-Ⅱ搜索到的個體支配。同時RLS-NSGA-Ⅱ搜索到的個體比NSGA-Ⅱ搜索到的個體更多，這說明RLS-NSGA-Ⅱ的搜索能力和局部收斂能力更強。

表5 局部搜索能力對比

使用前文提出的最優個體選取方案[式(8)～(10)]，挑選出局部最優的個體，表6和表7分別為NSGA-Ⅱ和RLS-NSGA-Ⅱ的7組試驗結果，其中第1、3、5組得出的最優個體相同。第2、4、7組RLS-NSGA-Ⅱ得到的最優個體相比NSGA-Ⅱ的轉矩脈動更小，但效率和平均轉矩不如NSGA-Ⅱ的。其中第2組在關斷角延后0.1°和極靴角增加0.1°后，轉矩脈動降低3.44%，而效率和平均轉矩分別降低了0.93%和0.79%；第4組在極靴角增加0.1°后，轉矩脈動降低了2.65%，而效率和平均轉矩分別降低了0.59%和0.89%。第6組在匝數增加1匝和關斷角延后0.1°后，RLS-NSGA-Ⅱ得到了比NSGA-Ⅱ轉矩脈動低0.12%且平均轉矩高0.11%的優秀個體。

在使用有效單位保留的NSGA-Ⅱ與RLS-NSGA-Ⅱ進行對比后可以看到，RLS-NSGA-Ⅱ有著更強的局部范圍搜索能力，可以搜索到NSGA-Ⅱ搜索不到的優秀個體，加上引入的最小單位優化變異，使得RLS-NSGA-Ⅱ可以局部搜索到解集周圍的優秀個體，而且RLS-NSGA-Ⅱ可以搜索到能支配NSGA-Ⅱ搜索結果的個體。綜上所述，RLS-NSGA-Ⅱ相比NSGA-Ⅱ有著更強的搜索能力和收斂性。盡管如此，算法搜索出的依然是理論值，接下來將利用有限元軟件進行仿真。

表6 NSGA-Ⅱ的1～7組試驗數據

表7 RLS-NSGA-Ⅱ的1～7組試驗數據

3.2.2 電機有限元仿真對比

將NSGA-Ⅱ局部最優第6組、RLS-NSGA-Ⅱ第6組和NSGA-Ⅱ全局最優的參數代入Maxwell軟件中進行仿真[20]，仿真結果如表8所示。

表8 有限元仿真數據對比

將有限元仿真結果與多目標優化結果對比可以看到，局部NSGA-Ⅱ、RLS-NSGA-Ⅱ和全局NSGA-Ⅱ的轉矩脈動在有限元仿真的數值上比算法得出的值分別高19.1%、15.7%和3.6%；效率上分別高5.4%、6.3%和0.4%；平均轉矩的差別不大，基本可以忽略。

圖15 轉矩仿真對比圖

三組有限元仿真圖如圖15～圖17所示，圖15～圖17中截取了電機處于穩定時的狀態。在圖15轉矩仿真對比圖中可以看到，局部搜索得到的結果相比全局搜索在轉矩脈動沒有太大變化的情況下，平均轉矩得到較大的提升，并且RLS-NSGA-Ⅱ相比局部NSGA-Ⅱ在平均轉矩降低了1.2%的情況下轉矩脈動降低了2.9%，這說明RLS-NSGA-Ⅱ擁有更強的搜索能力。在圖16鐵損對比圖中可以看到，RLS-NSGA-Ⅱ比局部NSGA-Ⅱ匝數多1匝且關斷角延后0.1°，而鐵損比局部NSGA-Ⅱ小。在圖17銅損對比圖中可以看到，RLS-NSGA-Ⅱ的銅損最大，這主要是由電流的導通時間延長帶來的。從轉矩對比圖和損耗對比圖來看，RLS-NSGA-Ⅱ算法相比局部NSGA-Ⅱ和全局NSGA-Ⅱ在局部區域尋優中，搜索更優解的能力更加優秀。

圖16 鐵損對比圖

圖17 銅損對比圖

從有限元仿真來看，多目標優化與有限元仿真的結果是相近的，具有較好的擬合程度，多目標優化的結論可以在有限元仿真中得到驗證，可以一定程度上預測有限元仿真的結果，這對電機結構和控制參數優化的提升是巨大的。在接下來的研究中，將繼續對RLS-NSGA-Ⅱ進行符合工程實際的優化設計，以便提高電機本體設計的效率和有效性。

4 結 語

本文針對6/20永磁輔助開關磁阻電機參數優化提出了基于NSGA-Ⅱ改進得到的RLS-NSGA-Ⅱ，在引入了正態分布算子和對擁擠度大的個體進行極限優化變異和最小單位優化變異的基礎上，進行局部尋優，并使用有效單位保留策略，使算法搜索到的解集參數更加符合實際需求。

使用RLS-NSGA-Ⅱ進行優化算法仿真和永磁輔助開關磁阻電機參數優化試驗。在評價函數測試中，通過使用收斂性度量指標γ，證明了RLS-NSGA-Ⅱ擁有優秀的收斂速度和收斂能力，驗證了RLS-NSGA-Ⅱ的有效性。在電機多目標優化對比中，第6組中RLS-NSGA-Ⅱ搜索到了37個解集，遠多于NSGA-Ⅱ的7個，說明本算法的搜索能力強于NSGA-Ⅱ。在電機參數優化試驗中，使用有限元仿真軟件對最優個體進行仿真，RLS-NSGA-Ⅱ相比局部NSGA-Ⅱ在平均轉矩降低了1.2%的情況下轉矩脈動降低了2.9%，這說明RLS-NSGA-Ⅱ擁有更強的搜索能力，驗證了本算法有更為優越的最優解搜索能力。盡管仿真中一些運行數據的實際值與理論值存在誤差，但總體與理論值差別不大。在后續的研究中，將會考慮減小理論值與實際值之間的誤差，為電機的結構優化和控制參數優化提供更好的參考。