時空域同步擠壓小波變換聯合面波壓制方法

林浩然，邢磊,2*，劉懷山,2，李倩倩，張洪茂

1 中國海洋大學海底科學與探測技術教育部重點實驗室，青島 266100 2 青島海洋科學與技術試點國家實驗室海洋礦產資源評價與探測技術功能實驗室，青島 266071

0 引言

面波是地震資料中最為常見的規則干擾波，其是由體波到達地表或介質分界面時，在一定條件下相互干涉并疊加產生的次聲波.面波具有低頻、低速、強振幅、能量衰減緩慢等特點，在炮集記錄中呈近似線性分布，面波的存在嚴重影響中深層有效信號，顯著降低了地震資料的信噪比(王偉奇等，2022).

在地震資料處理過程中，研究人員主要依據面波低頻、低視速度的特點，提出了許多壓制面波的方法，如高通濾波、FK濾波、Radon域濾波、KL變換域濾波、維納濾波、SVD濾波、徑向道分解濾波、二維時間導數濾波等.這些方法雖具有一定的壓制效果，但是往往會對有效信號造成一定程度的損傷.為了獲得更好的面波壓制效果，提高地震資料信噪比，Deighan和Watts (1997)提出將一維小波變換應用于面波壓制工作中.小波變換具有良好時頻分辨能力，以及信號奇異性捕獲能力(陳永芮等，2021).近年來，在小波變換的基礎上，具有更好逼近高維奇異信號能力的多尺度幾何分析方法，如脊波(Ridgelet)變換(Candès and Donoho,1999;包乾宗等,2007)、曲波(Curvelet)變換(Candès and Donoho,2004)等被引入面波壓制方法研究領域中來.其優越之處在于能更好的利用面波與有效波的視速度差異，捕捉地震信號的奇異特性，同時能更好的刻畫圖像邊緣信息.然而這些時頻分析方法都受到海森堡—蓋博測不準原理的影響，導致其時頻分辨能力受到一定限制.為克服這一問題并提高它們表示非平穩信號的能力，基于銳化時頻表示技術(Kodera et al.,1976)和時頻重分配思想(Auger and Flandrin,1995)，Daubechies和Maes(1996)、Daubechies等(2011)提出了同步擠壓算法，并證明其可以應用于地震數據處理領域.劉晗等(2016)提出將同步擠壓小波變換應用于面波壓制中.時頻重分配算法現階段已被推廣至二維(Yang et al.,2015;Lu et al.,2016)和三維空間(Zhu et al.,2021)中，且有多種變體(Clause et al.,2015;Lu and Yang,2018)和改進(陳文超等,2009;Oberlin and Meignen,2017;Daubechies et al.,2016).

隨著處理要求的提高和處理技術的進步，近幾年來提出了一些采用多種手段聯合壓制面波的方法.包乾宗等(2011)提出了聯合小波變換和脊波變換的面波壓制方法.馬見青和李慶春(2011)提出了S變換和TT變換聯合壓制面波.畢云云等(2017)提出了基于離散曲波變換字典和二維局部離散余弦變換字典聯合壓制面波的方法.徐陽等(2018)提出了廣義S變換與二維離散小波變換聯合壓制面波方法，該方法對包含面波成分的低頻信號再次進行二維離散小波變換，成功提取出了低頻信息里包含的有效信號，減少了在有效壓制面波干擾的同時對有效反射波的損害.路鵬飛等(2020)提出了曲波變換與傅里葉變換聯合壓制面波方法.這些多手段聯合壓制面波的方法，在盡可能保護有效信號的原則下，最大限度地將有效信號和面波分離，進一步提升了地震資料的信噪比.

本文首先在前人研究的基礎上將同步擠壓小波變換推廣至一維空間域，后根據面波干擾頻率低、視速度低的特點，采用高精度時頻分析方法同步擠壓小波時域和空域變換聯合壓制面波干擾.從時間、空間、頻率、波數維度對地震數據進行分析，利用時域同步擠壓小波變換結合時頻域濾波器將面波與有效信號分離，并對分離出的面波數據體使用空域同步擠壓小波變換進行低頻有效信號的重提取，通過理論模型測試驗證了所提聯合方法的有效性，最后通過實際資料處理與一些常用方法的處理結果相比較，證明了所提出的聯合方法處理結果信噪比高、保幅性好的優點.

1 方法原理

1.1 一維空間域同步擠壓小波變換

同步擠壓小波變換(Synchrosqueezing Wavelet Transform, SWT)是由Daubechies等(2011)引入的一種針對非平穩信號的稀疏表示.SWT是基于小波變換的時頻重分配，其類似于經驗模態分解(Empirical Mode Decomposition, EMD)可以將信號分解為本征模態函數，優于EMD的是，SWT具有更堅實的理論基礎(Thakur et al.,2013).

同步擠壓算法通過沿頻率軸壓縮信號的能量來聚焦時頻表示，這種后處理方法的時頻分辨率極高且具有嚴格的連續可逆性.該變換可將時變信號分解為如式(1)所示的固有模態：

(1)

式中，Am(t)為瞬時振幅，η(t)代表噪聲或誤差，M為模態數量，φm(t)為瞬時相位.每個模態的瞬時頻率是通過瞬時相位的偏差(Boashash,2003)來計算的，計算方程為：

(2)

現進行空間域同步擠壓小波變換推導，給定一空變信號s(x)：

s(x)=A(x)cos(kx+φ0)，(3)

式中，x為波動距離，φ0為初相，A為振幅，(kx+φ0)為信號相位，k為空域角頻率也稱為角波數：

k=2πξ，(4)

式中，ξ為空間頻率.

若需要獲取空變信號的空間頻率即波數，通常對于空間采樣信號通過傅里葉變換來進行空間-波數域變換，得到此空間采樣信號的波數譜，其一般定義式為：

(5)

給定母小波函數φ，對空變信號s(x)進行連續小波變換，得到空間-尺度域小波系數Ws(a,b)(Stéphane,2009)：

(6)

式中a為尺度序列，b為空間偏移.根據Plancherel定理，式(6)可以寫成波數域表達形式：

(7)

(8)

對Ws(a,b)來說，|Ws(a,b)|表示各空間模態分量的小波系數(Li and Liang,2012)：

(9)

和時間偏移τ一樣，當給定一個空間偏移b，信號能量主要沿尺度軸擴散.忽略沿空間軸的能量擴散，對任意Ws(a,b)不為零的尺度-空間點(a,b)，其瞬時空間頻率估計表示為：

(10)

當把地震信號同一時刻各道的數據序列看作是反映一定范圍內地層及其地質參數，便構成了地震信號的空間序列.地震信號的空間序列與時/深剖面是一一對應的，對于某一探區，不同時刻的空間序列信號對應于相應時/深剖面的不同深度地層位置(黨建武和黃建國,2003).

其實際情況下的一般離散型式為：

(11)

式中，i為時序采樣點，q為地震記錄的道號.

(12)

離散形式的瞬時頻率估計為：

(13)

需要注意的是，式(13)中得到的瞬時空間頻率估計往往并不是瞬時空間頻率本身(只有在輸入信號為理想簡諧信號時才為瞬時頻率)，他是我們用來計算實際空間頻率的校正量.

基于上述概念推導出空間同步擠壓小波變換(Spatial Domain Synchrosqueezing Wavelet Transform, SSWT)的離散形式為：

(14)

這里把a和ω看成連續函數，空間同步擠壓小波變換的連續形式為：

(15)

式中，A(x)={a;Ws(a,x)≠0}.

式(14)、(15)將時頻重分配思想推廣至空間-波數域，且同步擠壓只發生在空間頻率軸.

空間域同步擠壓小波變換得到的同步擠壓空間波數表示，可以使用類似于時域同步擠壓小波變換的重構方式，重構得到原始信號：

(16)

如前文所述，野外采集得到的地震信號是時空維度的，通過相速度我們可以建立起地震時域序列與空域序列的聯系：

(17)

式中，k為角波數，Ω為角頻率，Cp為相速度.由于地震橫波如面波具有很強的頻散現象其傳播速度取相速度，地震體波的相速度和群速度基本相差不大，因此我們可以將式(17)中的相速度近似規定為地震波傳播速度，且地震波波速越大，其角波數越小.對于任意t時刻，有：

(18)

式中，Ω、φt為常數.

信號s(x)的連續小波變換(Continuous wavelet transform, CWT)為：

(19)

瞬時空間頻率為：

(20)

信號s(x)的SSWT為：

(21)

通過式(19)、(21)建立起了CWT、SSWT與地震波波速之間的聯系，并將其展示在空間波數譜中.

由于面波具有視速度低的特性，其在炮集記錄中呈現近乎垂直的圓錐狀，與有效信號差異明顯，因此在對地震數據進行空間域同步擠壓小波變換時，面波干擾將主要出現在高波數區，據此可選合適濾波方式對低頻段面波干擾和有效信號分離，恢復部分低頻有效信號.

1.2 時域同步擠壓小波變換與空域同步擠壓小波變換聯合面波壓制方法

綜合上述方法原理，針對面波與有效信號的振幅、頻率、視速度差異，采用時域同步擠壓小波變換與空域同步擠壓小波變換聯合方法壓制面波干擾，具體實現步驟如下：

(1)對目標單炮記錄進行頻譜分析，確定有效信號和面波干擾的頻帶.選取最優母小波函數，按道對輸入的單炮記錄進行時域同步擠壓小波正變換(Time Domain Synchrosqueezing Wavelet Transform, TSWT)，得到每道信號對應的時頻譜.

(2)根據面波和有效信號在時頻譜上能量顯示差異，面波能量位于低頻段沿時間軸聚集，并呈條帶狀分布，有效信號能量沿頻率軸聚集且沿頻率軸正方向收斂，同時結合頻譜分析得到的面波與有效信號各自的頻帶，在時頻譜上確定面波分布區.

(3)選擇合適時頻窗口將面波區域內的數據充零.后進行時域同步擠壓小波反變換，得到去除面波干擾的單道時域信號，按道依次重復步驟1～3，即可得到去除面波干擾后的地震記錄.同時，將原始單炮記錄與此記錄匹配相減，得到一次濾波濾除的面波數據體.

(4)對分離出來的低頻數據體按時序進行SSWT，選擇合適空頻窗口將面波區域內的系數充零，反變換為各時刻點對應的空變信號，即提取出在時頻域濾波中損傷的部分有效信號.將其疊加到第3步得到的一次濾波后的地震記錄中，完成了對面波干擾的聯合壓制，有效保護了低頻段反射波信號.

本文基于Gauss、Bump、Cmhat、Morlet四種母小波函數進行了信號重構(重構誤差見圖1).結果表明Morlet小波的重構誤差遠小于其他小波，且能較好地表征信號時頻特征(圖2).因此本文選用Morlet小波作為母小波函數.

圖1 四種母小波函數重構誤差比較Fig.1 Comparison of reconstruction errors of four mother wavelet functions

圖2 四種母小波函數的TSWT時頻譜Fig.2 The time frequency spectrum of TSWT of four mother wavelet functions

2 理論模型測試

為驗證所提方法的有效性，首先對正演得到的理論模型進行處理，模型參數見表1.

表1 地層模型參數Table 1 Formation model parameters

圖3 理論模型合成記錄Fig.3 Theoretical model synthesis record

圖3為采用彈性波波場模擬方式生成的理論模型合成記錄，單震源單邊激發，震源位于地表，二維均勻各項同性介質，共設計了2層水平反射層，采樣間隔為1 ms，共有750個采樣點，總記錄長度為0.75 s，80道接收，最小偏移距0 m，道間距6.25 m，最大偏移距493.75 m.面波主頻為20 Hz，反射波主頻為50 Hz，整個合成記錄不含隨機噪聲.

圖4為理論模型第35道數據進行TSWT后得到的時頻譜.時頻分析后可得，根據面波與有效信號能量聚集差異和頻率差異可以將其區分，但面波與有效信號在部分頻段存在重合.因此，當進行面波區充零處理時將損傷部分低頻有效信號(徐陽等,2018).

圖4 理論模型合成記錄第35道的時頻譜Fig.4 The time frequency spectrum of channel 35 of theoretical model synthesis record

對理論模型合成記錄進行TSWT，確定面波區域并將其充零，得到不含面波干擾的模型記錄，如圖5a所示.其與原始理論模型合成記錄匹配相減，得到一次濾波后濾出的面波干擾，如圖5b所示.圖5a與圖3對比發現，其反射波的同相軸振幅發生了改變，分析可得是由于充零過程導致低頻有效信號收到了損傷，這部分有效信號在圖5b中也得到了體現.

圖5 (a) 經TSWT壓制面波后的理論模型記錄； (b) TSWT分離出的面波記錄； (c) 經SSWT重構出的有效信號； (d) 經聯合方法處理所得到的最終記錄Fig.5 (a) Record of theoretical model after suppressing ground roll by TSWT； (b) Ground roll separated by TSWT； (c) Valid signal reconstructed by SSWT； (d) Final record of theoretical model after suppressing ground roll by combination method

為恢復被損傷的低頻有效信號，對經TSWT后分離出的面波數據體再次按時序對空間序列進行SSWT，得到空間波數譜.如圖6所示為0.32 s時刻的空間波數譜對比.

可見對0.32 s的空變信號序列進行同步擠壓小波變換后得到的空間波數譜較連續小波變換后能量沿波數軸有了明顯的集中，同步擠壓小波變換后的空頻分辨率遠高于連續小波變換.如圖6c所示，偏移距在0～100 m能量較強且基本對應同一波數，結合如圖5的輸入數據不難得到偏移距為0～100 m時有效信號同相軸接近水平，說明其視速度相差不大，因此對應在空間波數譜上的波數接近一致，而面波視速度較低且在同相軸不水平連續，因此在空間波數譜上位于高波數區域且能量軸傾斜發散.這正是在空間波數譜上區分面波和有效信號的依據.對分離的面波數據體按時序進行SSWT，抽取同樣時刻數據得到的空間波數譜如圖6f所示.在時頻域被損傷的有效信號即模型中的兩套水平層位的反射波部分能量對應一波數軸刻度集中呈長條狀分布，而面波干擾能量團在空間波數譜中高波數區呈傾斜“堅果”狀分布，如圖6e、f中紅框內所示.圖6充分說明了SSWT的進行空頻分析的可行性和其較連續小波變換更卓越的空頻分辨能力.

將面波區充零，并重構即可提取低頻段部分被損傷的有效信號.據圖6所示，面波干擾得到有效壓制同時有效信號的同相軸連續性和形態得到極大改善，與理論模型合成記錄接近.同時，本文還使用TSWT對各方法的濾波結果進行了單頻地震數據提取，提取出的四組數據從低頻至高頻涵蓋了面波與有效信號的優勢頻帶，并計算了各目標頻段以及整個炮集記錄的的信噪比(具體算法請見附錄).如圖7所示，對比原始記錄、TSWT濾波后記錄和使用聯合方法所得各有效頻段信噪比結果可得，經聯合方法處理后得到的地震記錄的分頻記錄和整體記錄的信噪比均高于前者，尤其是在低頻段.以上結果證明了SSWT有效恢復在TSWT濾波過程中被損傷的部分反射波，TSWT和SSWT的聯合方法提升了地震記錄的信噪比.

圖6 0.32 s時刻信號空間波數譜對比(a) 面波分離后合成記錄的波數-歸一化振幅譜； (b) 面波分離后合成記錄經空間連續小波變換后得到的空間波數譜； (c) 面波分離后合成記錄經SSWT后得到的空間波數譜； (d) 分離出的面波記錄的波數-歸一化振幅譜； (e) 分離出的面波記錄經空間連續小波變換后得到的空間波數譜； (f) 分離出的面波記錄經SSWT后得到的空間波數譜.Fig.6 Comparison of spatial wavenumber spectrum of signal at 0.32 s(a) The wavenumber-normalized amplitude spectrum of the synthetic record after ground roll separation； (b) The spatial wavenumber spectrum of the synthetic record after ground roll separation by Spatial Domain Continuous Wavelet Transform (SCWT)； (c) The spatial wavenumber spectrum of the synthetic record after ground roll separation by SSWT； (d) The wavenumber-normalized amplitude spectrum of the ground roll； (e) The spatial wavenumber spectrum of the ground roll by SCWT； (f) The spatial wavenumber spectrum of the ground roll by SSWT.

圖8 聯合方法面波壓制效果對比圖(a) Alaska地區第20炮原始記錄； (b) 時域同步擠壓小波變換壓制面波干擾后的記錄； (c) 使用聯合方法壓制面波干擾后的記錄.Fig.8 Comparison of ground roll suppression effects of combined method(a) The original record of the 20th source in Alaska；(b) The record after ground roll suppression by TSWT；(c) The record after ground roll suppression by combined method.

圖9 SSWT的輸入與輸出(a) TSWT后濾除的低頻記錄； (b) SSWT重構結果.Fig.9 Input and output of SSWT(a) Low frequency record filtered byTSWT；(b) Reconstruction result of SSWT.

圖10 時空域同步擠壓小波變換切片(a) TSWT濾波前15 Hz頻率切片； (b) TSWT濾波后15 Hz頻率切片； (c) SSWT濾波前0.001 rad·m-1波數切片； (d) SSWT濾波后0.001 rad·m-1波數切片.Fig.10 Slices of SSWT and TSWT(a) 15 Hz frequency slice before TSWT； (b) 15 Hz frequency slice after TSWT； (c) 0.001 rad·m-1 wavenumber slice before SSWT； (d) 0.001 rad·m-1 wavenumber slice after SSWT.

圖11 原始單炮記錄第30道TSWT時頻譜和分離出的低頻數據體第320 ms SSWT空間波數譜(a)和(c) 面波區充零前； (b)和(d) 面波區充零后.Fig.11 The time frequency spectrum of channel 30 of TSWT and spatial wavenumber spectrum at 320 ms of SSWT of the separated low-frequency data(a) and (c) Before zero filling in the ground roll area； (b) and (d) After zero filling in the ground roll area.

圖12 3組數據的頻譜對比Fig.12 Spectrum comparison of three datasets

3 實際資料處理

本文選取美國Alaska地區某一測線實際數據進行處理，震源采用炸藥震源，總道數5568道(曾祥堃，2015).抽取第20炮作為輸入單炮記錄，每炮共96道，道間距33.53 m，最小偏移距55 m，最大偏移距5525 m，3000個采樣點，采樣間隔2 ms，記錄長度5 s，如圖8a所示，面波呈“圓錐狀”存在，近偏移距的淺層反射波和遠偏移距中、深層反射波與面波干擾重疊，有效信號難以識別，信噪比嚴重降低.按道依次進行TSWT，得到各道的時頻譜，結合數據分析結果，確定面波分布區和時頻濾波窗口將其充零.整個記錄的面波分離完成后，將得到的不含面波干擾的地震記錄(圖8b)，與原始記錄匹配相減，即可得到經TSWT后濾除的低頻數據體，如圖9a所示.低頻數據體中含有若干條反射波同相軸，結合圖10a、b的TSWT濾波前后的15Hz頻率切片來看，分析該現象是由于低頻段有效信號與面波存在重疊，且為徹底壓制面波干擾而擴大使用時頻濾波窗口等綜合原因導致.

為減少對有效信號的損害，將時域同步擠壓小波變換分離出的低頻數據體按時序進行SSWT，得到空間波數譜，此時空域的地震數據將轉換至空間、波數域中.在空間波數譜中確定面波區將其充零，如圖11所示.圖10c、d為SSWT濾波前后空頻濾波窗口內0.001 rad·m-1波數切片，濾波前對應的重構結果未混有有效信號，濾波后該波數對應的面波干擾基本被完全壓制，證實了有效信號與面波干擾視速度差異的SSWT方法的優越性.

有效信號提取結果如圖9b所示，可見明顯同相軸.將重構結果疊加到TSWT壓制面波干擾后的記錄中，得到聯合面波壓制方法的最終結果，如圖8c所示.圖8c中反射波能量尤其是面波覆蓋區和中深層段，顯著增強.通過圖12中3組數據頻譜對比，可以更直觀地看出使用聯合方法后，低頻段能量被有效恢復.根據圖13信噪比對比結果來看，經聯合方法處理后的低頻段數據以及整體地震數據的信噪比均高于原始數據和單一使用TSWT處理后的結果.從實際資料的處理結果可以看出本文所述面波壓制聯合方法在有效壓制面波的同時能極大程度地保留低頻段有效信號.

4 討論

在這一部分中，主要討論時域和空域同步擠壓小波變換聯合方法的優勢和通過實際結果呈現出的該方法尚未解決的缺點以及未來的研究方向.

4.1 聯合方法實際應用優勢

時域和空域同步擠壓小波變換聯合面波壓制方法是高精度時頻分析方法在地震資料處理面波壓制領域的綜合應用.如前文分析，理論上使用TSWT一次濾波后可以將面波徹底分離，再對提取出的面波進行SSWT，重提取部分低頻有效信號.對于實際數據時頻分析來說，精確定位面波區，徹底分離面波干擾，避免過多損傷非目標頻段的有效信號才是主要目的.

時域同步擠壓算法可以有效解決傳統時頻分析方法能量沿頻率軸發散的問題.雖然未使用同步擠壓算法的時頻分析方法得到的時頻譜看起來能量成團分布，但是相鄰能量出現多處重疊，這導致以往的時頻域濾波方法為了徹底分離面波，存在擴大濾波窗口(系數充零區)的現象，會損傷非目標頻段的有效信號，而TSWT會有效改善這一問題，但仍未徹底解決.因此時頻窗口選擇范圍越精確，信號的保幅性越好，雖然這會犧牲一定的計算效率.

本文所提出的SSWT重提取在一次濾波中被濾除的有效信號，充分利用了反射波和面波的視速度差異.結合圖5c和圖9b的重構結果，是聯合方法中SSWT可以恢復部分被損傷的低頻有效信號的直接證據，這一優勢是單一方法和其他聯合面波壓制方法不具備的.圖14的四種方法處理結果對比再次證實了上述觀點.圖14a中可見基于視速度差異的FK濾波對面波壓制效果較為徹底但是會損傷淺層有效信號如直達波，同時會產生大量空間假頻；圖14b和圖14c對比證明了TSWT的面波壓制能力和保幅能力優于CWT但還是丟失了部分中深層有效信號；圖14d使用聯合方法得到的處理結果面波壓制力和保幅性兼優，壓制效果最為理想.

4.2 聯合方法的缺點及未來研究方向

如上述分析在使用同步擠壓小波變換后對時頻、空頻濾波窗口內系數充零時沒有尋找到最優處理方式.本研究下一步可以改進濾波方式，在閾值迭代去噪、自適應時窗、深度學習等領域進行探索.

在SSWT重構有效信號環節，主要依據的是面波和有效信號視速度的差異即在地震剖面中同相軸傾斜程度不同.然而由于面波的頻散效應部分相鄰道往往會形成低傾角同相軸，這些假層位同相軸振幅往往較小，但會不可避免的出現在重構結果中，如圖5c所示.如何去除這些假層位低傾角同相軸是未來研究的重點問題.

在圖13中45 Hz的信噪比對比中聯合方法處理后的地震數據信噪比略低于僅使用TSWT處理.我們抽取了三組45 Hz地震數據及其時頻能量切片，發現不存在明顯的面波干擾，如圖15b、e所示，因此判斷是由于重構誤差或是信噪比算法誤差所致.聯合方法處理得到的整炮地震記錄信噪比是最高的未與理論相背.

5 結論

本文將同步擠壓小波變換推廣至空間域，并對其實現過程進行了公式推導與實際驗證.并通過時域與空域同步擠壓小波變換聯合方法壓制面波干擾，并對理論和實際資料進行處理，調整最優參數，取得了較好的處理效果.該聯合方法的優點在于：

(1)使用高精度時頻分析方法時域同步擠壓小波變換，結合時頻域濾波與空頻域濾波，對面波壓制徹底.

(2)對一次濾波后分離的面波干擾再次進行空域同步擠壓小波變換，從空間、波數域中判別有效信息與面波干擾的地震屬性差異，能有效提取部分低頻反射波，切實保護了低頻段有效信息，提高了地震數據的信噪比.

(3)本文方法的實現，證明了在面波壓制中進行時空域濾波，從而恢復低頻段有效信號的方法的優越性.

圖13 野外單炮記錄各有效頻段信噪比對比Fig.13 Comparison of signal-to-noise ratio of each valid frequency band recorded by actualdata

圖14 四種面波壓制方法實際資料處理結果對比(a) FK濾波； (b) CWT； (c) TSWT； (d) TSWT & SSWT.Fig.14 Comparison of actual data processing results of four ground roll suppression methods(a) FK filtering； (b) CWT； (c) TSWT； (d) TSWT & SSWT.

圖15 實際記錄45 Hz切片(a) TSWT 45 Hz 切片； (b) SSWT重構結果45 Hz切片； (c) 聯合方法最終記錄45 Hz切片； (d) TSWT 45 Hz時頻譜； (e) SSWT重構結果 45 Hz時頻譜； (f) 聯合方法最終記錄45 Hz時頻譜.Fig.15 45 Hz slices of actual record(a) TSWT； (b) Reconstruction result of SSWT； (c) Final record with combination method； (d) The time frequency spectrum of TSWT at 45 Hz； (e) The time frequency spectrum of reconstruction result of SSWT at 45 Hz； (f) The time frequency spectrum of final record with combination method at 45 Hz.

附錄

本文計算信噪比的方法為相關時間移法及其改進算法(牛聰等,2006;王紅玲,2007).

Qi,i+1(ti,i+1)=max{Qi,i+1(τ)}，(A1)

其中相鄰道間最大的互相關值Qi,i+1(ti,i+1)作為信號的功率譜：

(A2)

(A3)

N為地震道數，使用各道的自相關值作為地震記錄的總能量，則噪聲的能量為：

(A4)

信噪比為：

(A5)

當對含有面波干擾的原始地震記錄進行信噪比估算時，需要將使用聯合方法濾波后的最終記錄作為有效信號能量Es的輸入記錄.總能量E則用原始地震記錄通過相關時移法計算.