有限維Galois擴張中正規閉包的一個性質

滕常春

（濰坊學院 數學與信息科學學院，山東 濰坊 261061）

1 預備知識

定義1[1]域 的代數擴域 叫做在 上正規的(或者叫做 的正規擴張), 指中每個不可約多項式只要在 中有根, 則它必然在中分裂.

定義 2[1]設 是域 ,是不可約多項式, 如果 是在 上的某個分裂域, 而在 中的根全是單根 , 稱是可分多項式.如果 在 上的極小多項式可分, 稱 在 上是可分的.如果 中每個元素在 上是可分的, 則 叫做 的可分擴張.

定義3[1]如果 是 的正規可分擴張,則稱 是 的Galois擴張.F的全體K?自同構組成的群稱為F在K上的Galois群 , 記為Gal(FK).

定義4[1]設F是K的Galois擴張,H是 的子群,稱

為H的固定域.

定義5[1]設 是 的正規擴張,是一個中間域,稱 中所有包含 的K上的正規擴張的交L稱為E在上的正規閉包,即

Galois基本定理[2]設 是 的有限維Galois擴張 ,Γ={G的全體子群},Σ={FK的全體中間域 }, 令

則

2 正文

引理 1 設域N1,N2是K上的正規擴張,則 也是K上的正規擴張.

證明: 任取 ,設f(x)是α在K上的極小多項式,由N1,N2都是K上的正規擴張知,f(x)的根都在N1,N2中,從而f(x)的根都在N1,N2中,所以 是K上的正規擴張.

引理2 設F是 的有限維Galois擴張,E是中間域,則

即L是E在K上的正規閉包。

為證明

由Galois基本定理, Gal和Inv是互逆映射且集合Γ與Σ之間存在反序的對應,故只需要證

再由引理2(1),只需要證

下證上式成立.

另一方面,任取 ,對于滿足 且N是K上正規擴張的域N,由E?N有σ(E) ?σ(N),又N是K上 的 正 規 擴 張,從 而σ(N) =N,因 此,所以