永磁同步伺服系統(tǒng)摩擦力和擾動(dòng)補(bǔ)償方法研究

李浩東, 李長(zhǎng)兵

(1.廣東工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，廣東 廣州 510000；2.廣州數(shù)控信息科技有限公司，廣東 廣州 510000)

0 引 言

數(shù)控機(jī)床、伺服轉(zhuǎn)臺(tái)等精密伺服系統(tǒng)都對(duì)系統(tǒng)的控制精度提出了很高的要求。然而系統(tǒng)的控制精度不可避免地受到包括非線性摩擦力在內(nèi)的系統(tǒng)擾動(dòng)的影響。因此為了提高系統(tǒng)的控制精度，必須采取合適的方法對(duì)系統(tǒng)擾動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)償來消除或減弱系統(tǒng)擾動(dòng)的影響。系統(tǒng)中摩擦力補(bǔ)償?shù)姆椒ㄒ话惆凑帐欠窕谀Σ亮δＰ蛠韰^(qū)分。基于摩擦力模型的補(bǔ)償方法主要通過建立系統(tǒng)中摩擦力的數(shù)學(xué)模型實(shí)現(xiàn)對(duì)摩擦力模型特性的準(zhǔn)確描述，通過數(shù)學(xué)模型觀測(cè)出系統(tǒng)的摩擦力矩并進(jìn)行補(bǔ)償[1-3]，基于摩擦力模型的方法的補(bǔ)償效果依賴于模型的準(zhǔn)確性，越能描述系統(tǒng)摩擦力特性的模型，其補(bǔ)償效果越好。常見的摩擦力模型有庫(kù)倫摩擦力模型、庫(kù)倫+黏性摩擦力模型、Dahl模型、Stribeck模型、LuGre模型、Maxwell-slip模型等。LuGre模型[4]能夠很好地描述摩擦力的動(dòng)靜態(tài)特性，包括Stribeck特性、爬行、極限環(huán)振蕩、摩擦記憶、變靜摩擦力等，模型結(jié)構(gòu)比Maxwell-slip模型簡(jiǎn)單，因此LuGre模型是當(dāng)下研究的熱點(diǎn)之一。不基于模型的摩擦力補(bǔ)償方法主要是將摩擦力當(dāng)作普通擾動(dòng)處理，如利用PID控制器、擾動(dòng)觀測(cè)器(DOB)[5]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等智能控制方法[6]實(shí)現(xiàn)對(duì)摩擦力擾動(dòng)的補(bǔ)償。由于摩擦力的強(qiáng)非線性，不基于摩擦力模型的方法很難實(shí)現(xiàn)最佳的補(bǔ)償效果，且一些智能控制算法往往設(shè)計(jì)較為復(fù)雜，占用大量的控制資源，實(shí)際難以推廣應(yīng)用。

采用固定參數(shù)模型的摩擦力補(bǔ)償方法中需要精確辨識(shí)出系統(tǒng)的摩擦力模型參數(shù)，考慮到實(shí)際系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程中，潤(rùn)滑條件變化，表面磨損等會(huì)使摩擦力模型參數(shù)發(fā)生變化導(dǎo)致摩擦力出現(xiàn)過補(bǔ)償和欠補(bǔ)償?shù)默F(xiàn)象。文獻(xiàn)[7]利用雙觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)對(duì)LuGre模型中不可測(cè)狀態(tài)量的觀測(cè)，并利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器實(shí)現(xiàn)了摩擦力的在線辨識(shí)和補(bǔ)償，克服了摩擦力參數(shù)變化導(dǎo)致補(bǔ)償不佳的問題，但是雙觀測(cè)器的結(jié)構(gòu)過于復(fù)雜，且自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)過程中未考慮系統(tǒng)其他擾動(dòng)的影響。在伺服系統(tǒng)中，對(duì)于系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)，系統(tǒng)不確定因素，系統(tǒng)環(huán)境變化等擾動(dòng)一般采用DOB觀測(cè)器對(duì)其觀測(cè)和抑制[8]，常用如DOB、擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(ESO)、降階擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(RESO)[9]等，此類觀測(cè)器從本質(zhì)上都是將系統(tǒng)的擾動(dòng)當(dāng)作集總擾動(dòng)來處理，因此對(duì)于摩擦力補(bǔ)償階段出現(xiàn)的欠補(bǔ)償和過補(bǔ)償可以將其看作是系統(tǒng)集總擾動(dòng)的一部分，利用DOB進(jìn)行補(bǔ)償。文獻(xiàn)[10]通過將基于Stribeck模型的摩擦力補(bǔ)償方法和DOB相結(jié)合，在補(bǔ)償摩擦力的同時(shí)，利用DOB實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)內(nèi)擾動(dòng)的補(bǔ)償，然而DOB的補(bǔ)償效果受限于Q濾波器的帶寬的限制。

本文提出一種基于LuGre摩擦力模型和RESO相結(jié)合的摩擦力補(bǔ)償方法，利用速度和轉(zhuǎn)矩信息辨識(shí)出LuGre摩擦力模型參數(shù)，將摩擦力模型觀測(cè)出的摩擦力矩以電流的形式補(bǔ)償?shù)诫娏鳝h(huán)的控制輸入端，同時(shí)考慮到RESO具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、抗擾動(dòng)性能強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，利用RESO來觀測(cè)補(bǔ)償系統(tǒng)中的其他集總擾動(dòng)，減弱摩擦力和擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)造成的影響，提高系統(tǒng)的控制精度。

1 永磁同步伺服系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析

永磁同步伺服系統(tǒng)由表貼式永磁同步電機(jī)(PMSM)通過聯(lián)軸器聯(lián)結(jié)滾珠絲杠副構(gòu)成。在矢量控制方法中，電機(jī)通過坐標(biāo)變換在d-q坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型表示為[11]

(1)

(2)

ψd=Ldid+ψf

(3)

ψq=Lqiq

(4)

式中:Rd、Rq、Ld、Lq、ψd、ψq分別為d、q軸的定子電阻、電感和磁鏈；ψf為永磁體磁鏈。

對(duì)于精密伺服系統(tǒng)，系統(tǒng)的剛性一般很大，可以忽略系統(tǒng)中聯(lián)結(jié)處的間隙，將機(jī)械部分看作剛性系統(tǒng)，則系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可簡(jiǎn)化為

(5)

式中:J為系統(tǒng)總的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Kt為轉(zhuǎn)矩系數(shù)；p為電機(jī)極對(duì)數(shù)；Ff為系統(tǒng)的摩擦力；Td為系統(tǒng)中其他擾動(dòng)集合。

2 系統(tǒng)摩擦力模型的建立與模型參數(shù)辨識(shí)

2.1 系統(tǒng)摩擦力模型的建立

LuGre摩擦力模型是一種鬃毛模型，即假設(shè)物體表面由無(wú)數(shù)鬃毛構(gòu)成，對(duì)接觸的物體表面施加作用力時(shí)，接觸面的鬃毛產(chǎn)生形變進(jìn)而產(chǎn)生摩擦力。對(duì)于永磁同步伺服系統(tǒng)，LuGre模型可以描述出系統(tǒng)中的靜摩擦力，滑動(dòng)摩擦力，庫(kù)倫摩擦力，同時(shí)在預(yù)滑動(dòng)階段還能描述可變的靜摩擦力。LuGre摩擦力數(shù)學(xué)模型為[12]

(6)

(7)

(8)

式中：Ff為摩擦力；z為鬃毛形變量；Fc、Fs、Vs和B為摩擦力中的靜態(tài)參數(shù)，分別為庫(kù)倫摩擦力、靜摩擦力、切換速度和黏滯摩擦系數(shù)；σ0和σ1為鬃毛剛度系數(shù)和微觀阻尼系數(shù)。

2.2 摩擦力參數(shù)辨識(shí)

為了能準(zhǔn)確觀測(cè)出系統(tǒng)摩擦力的大小還需要對(duì)模型的參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。LuGre模型參數(shù)的離線辨識(shí)分靜態(tài)參數(shù)和動(dòng)態(tài)參數(shù)辨識(shí)兩步進(jìn)行。靜態(tài)參數(shù)通過摩擦力的Stribeck靜態(tài)特性曲線辨識(shí)得到，動(dòng)態(tài)參數(shù)通過已辨識(shí)出的靜態(tài)參數(shù)和位置響應(yīng)發(fā)生振蕩時(shí)的力矩信息辨識(shí)得到。

2.2.1 摩擦力靜態(tài)參數(shù)辨識(shí)

空載運(yùn)行時(shí)通過給一組速度給定信號(hào)測(cè)得穩(wěn)態(tài)時(shí)相應(yīng)的轉(zhuǎn)矩值，由系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式(5)可知，考慮摩擦力為系統(tǒng)的主要擾動(dòng)，勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)系統(tǒng)的給定轉(zhuǎn)矩與系統(tǒng)的摩擦力矩近似相等。假設(shè)速度正反運(yùn)動(dòng)時(shí)的摩擦力模型參數(shù)是相同的。通過測(cè)得的數(shù)據(jù)可得系統(tǒng)摩擦力的Stribeck曲線如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)Stribeck曲線

(9)

基于式(9)對(duì)Stribeck曲線進(jìn)行擬合辨識(shí)得到模型中的靜態(tài)參數(shù)，辨識(shí)結(jié)果如表1所示。

表1 靜態(tài)參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

2.2.2 摩擦力動(dòng)態(tài)參數(shù)辨識(shí)

LuGre摩擦力模型是一種非線性系統(tǒng)，內(nèi)部狀態(tài)z不可測(cè)量，且靜態(tài)參數(shù)和動(dòng)態(tài)參數(shù)存在耦合，采用最小二乘法和單純形法等難以保證辨識(shí)精度的收斂性，而遺傳算法作為一種啟發(fā)性算法，不需要對(duì)象的模型信息，同時(shí)能夠很好地避免局部最優(yōu)，魯棒性強(qiáng)，因此采用遺傳算法進(jìn)行辨識(shí)[13]。

(10)

定義目標(biāo)函數(shù):

(11)

動(dòng)態(tài)參數(shù)辨識(shí)過程中的轉(zhuǎn)矩信息無(wú)法直接測(cè)量，因此利用系統(tǒng)的轉(zhuǎn)矩方程通過試驗(yàn)中系統(tǒng)的q軸電流轉(zhuǎn)換得到。遺傳算法可利用MATLAB遺傳工具箱實(shí)現(xiàn)。動(dòng)態(tài)參數(shù)的辨識(shí)結(jié)果如圖2所示。

圖2 力矩曲線對(duì)比

由圖2可知，辨識(shí)得到的摩擦力矩曲線和測(cè)得轉(zhuǎn)矩曲線基本保持一致，可以認(rèn)為辨識(shí)的動(dòng)態(tài)參數(shù)是準(zhǔn)確的，辨識(shí)結(jié)果如表2所示。

表2 動(dòng)態(tài)參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

3 摩擦力補(bǔ)償控制方法設(shè)計(jì)

3.1 摩擦力前饋補(bǔ)償

系統(tǒng)中的摩擦力矩可以看作是施加在負(fù)載端的反向力矩，因此可以通過在電機(jī)的控制力矩上加上相等的力矩補(bǔ)償量來抵消摩擦力矩造成的影響。系統(tǒng)采用矢量控制策略，電流環(huán)和速度環(huán)采用PI控制器，位置環(huán)采用比例+速度前饋的控制方法，系統(tǒng)的控制結(jié)構(gòu)框圖如圖3所示。

圖3 系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)框圖

通過LuGre模型觀測(cè)出系統(tǒng)的摩擦力矩，利用系統(tǒng)的轉(zhuǎn)矩方程將摩擦力矩轉(zhuǎn)換成q軸電流iTf，通過將iTf補(bǔ)償?shù)诫娏鞯目刂戚斎攵思纯蓪?shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)中摩擦力矩的補(bǔ)償。在該補(bǔ)償方案中，為避免引入反饋環(huán)節(jié)影響到系統(tǒng)的穩(wěn)定性，摩擦力模型的輸入信號(hào)為速度給定信號(hào)，補(bǔ)償方案結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖4所示。圖4中，Kt為轉(zhuǎn)矩系數(shù)，J為系統(tǒng)總的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，L為電機(jī)定子電感，R為電機(jī)定子電阻。

圖4 摩擦力前饋結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

3.2 擾動(dòng)補(bǔ)償

摩擦力前饋補(bǔ)償方案中補(bǔ)償?shù)男ЧQ于摩擦力模型參數(shù)辨識(shí)結(jié)果的精確性，在實(shí)際系統(tǒng)中，摩擦力參數(shù)會(huì)根據(jù)系統(tǒng)運(yùn)行實(shí)時(shí)狀況,例如潤(rùn)滑條件等發(fā)生變化，導(dǎo)致摩擦力存在欠補(bǔ)償和過補(bǔ)償?shù)膯栴}。實(shí)際的伺服系統(tǒng)中除摩擦力之外還有如系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)、轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)等的擾動(dòng)，為進(jìn)一步提高系統(tǒng)的精度，采用RESO對(duì)此類擾動(dòng)進(jìn)行觀測(cè)補(bǔ)償。

空載條件下，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式(5)可以化為

(12)

式中：f(t)為系統(tǒng)中的集總擾動(dòng)。

設(shè)x1、x2分別代表速度ω和擾動(dòng)f(t)的狀態(tài)變量。則式(12)可轉(zhuǎn)化為

(13)

取z1為x1的觀測(cè)值，z2是x2的線性觀測(cè)器值。可設(shè)計(jì)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器為[13]

(14)

β1、β2為相應(yīng)的參數(shù)與觀測(cè)器帶寬有關(guān)，實(shí)際系統(tǒng)中為了確保輸出量的精確度，輸出的位置信息和速度信息可直接通過編碼器獲得，因此:

(15)

由式(9)和式(12)可得：

(16)

式(16)中狀態(tài)變量x1的微分可能會(huì)引入噪聲，對(duì)其進(jìn)行改寫，定義新的狀態(tài)變量：

znew=βx1-z2

(17)

則降階狀態(tài)觀測(cè)器可設(shè)為

(18)

同樣觀測(cè)器的參數(shù)β可以通過系統(tǒng)的帶寬求得，并可以根據(jù)實(shí)際情況調(diào)節(jié)。降階擾動(dòng)觀測(cè)器補(bǔ)償結(jié)構(gòu)框圖如圖5所示。

圖5 RESO補(bǔ)償結(jié)構(gòu)框圖

4 摩擦力補(bǔ)償試驗(yàn)結(jié)果與分析

4.1 試驗(yàn)平臺(tái)

本文利用滾珠絲杠平臺(tái)對(duì)所提方法進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證，平臺(tái)如圖6所示。電機(jī)采用廣州數(shù)控130SJT-100D型PMSM，驅(qū)動(dòng)采用廣州數(shù)控GR2050T系列驅(qū)動(dòng)，絲杠平臺(tái)采用硬軌平臺(tái)，系統(tǒng)的位置信息由電機(jī)端17位絕對(duì)值編碼器得到。絲杠導(dǎo)程為5 mm，電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jm=2.42 g·m2，聯(lián)軸器轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jc=0.046 4 g·m2，滾珠絲杠和直線運(yùn)動(dòng)部件折合的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jb=0.160 213 g·m2。

圖6 精密滾珠絲杠試驗(yàn)平臺(tái)

4.2 試驗(yàn)結(jié)果

為了驗(yàn)證摩擦力等擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)位置跟蹤精度的影響，位置參考信號(hào)分別給定0.5 sin(πt-0.5π) mm和2.5 sin(πt-0.5π) mm不同幅值的正弦信號(hào)，消除特定位置引起的位置波動(dòng)對(duì)試驗(yàn)準(zhǔn)確性的影響。圖7為系統(tǒng)未進(jìn)行摩擦力和擾動(dòng)補(bǔ)償時(shí)的位置跟蹤誤差曲線。

圖7 系統(tǒng)未補(bǔ)償時(shí)系統(tǒng)位置跟蹤誤差

由圖7可知，位置的跟蹤誤差存在一個(gè)較大的峰值，誤差峰值在正弦信號(hào)的峰值處,這是由于系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)換向時(shí)，摩擦力導(dǎo)致位置出現(xiàn)平頂現(xiàn)象造成的位置跟蹤誤差，參考信號(hào)為0.5 mm時(shí)，誤差約為±14.5 mm，參考信號(hào)幅值為2.5 mm時(shí)，誤差約為±24 mm。

圖8為系統(tǒng)摩擦力前饋補(bǔ)償下的位置跟蹤誤差，采用摩擦力前饋補(bǔ)償后，參考信號(hào)幅值為0.5 mm時(shí)，系統(tǒng)的位置跟蹤誤差約為±5.6 mm，參考信號(hào)幅值為2.5 mm時(shí)，位置跟蹤誤差為±9.9 mm。比未補(bǔ)償時(shí)位置跟蹤誤差減小了60%以上，證明了摩擦力前饋補(bǔ)償能夠有效的提高系統(tǒng)的控制精度。圖9為系統(tǒng)在摩擦力補(bǔ)償?shù)幕A(chǔ)上利用RESO對(duì)系統(tǒng)中的擾動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)償后的位置跟蹤誤差，與圖8相比，參考信號(hào)幅值為0.5 mm時(shí)，系統(tǒng)的位置跟蹤誤差約為±3.5 mm，參考信號(hào)幅值為2.5 mm時(shí)，位置跟蹤誤差為±6.5 mm，比摩擦力補(bǔ)償時(shí)位置跟蹤誤差減小了35%左右，進(jìn)一步提高了系統(tǒng)的控制精度，驗(yàn)證了所提方法的有效性。

圖8 摩擦力前饋補(bǔ)償下位置跟蹤誤差

圖9 摩擦力前饋補(bǔ)償和RESO共同作用下位置跟蹤誤差

5 結(jié) 語(yǔ)

本文提出一種將基于LuGre模型的摩擦力前饋補(bǔ)償和RESO結(jié)合起來的系統(tǒng)摩擦力擾動(dòng)補(bǔ)償方法，通過Stribeck特性曲線和力矩信息辨識(shí)出LuGre模型靜態(tài)和動(dòng)態(tài)參數(shù)，利用LuGre模型實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)中摩擦力矩的準(zhǔn)確觀測(cè)，并通過前饋補(bǔ)償方案減弱了系統(tǒng)摩擦力對(duì)位置跟蹤精度造成的影響。同時(shí)設(shè)計(jì)降階擾動(dòng)觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)中其他集中擾動(dòng)力矩的補(bǔ)償，進(jìn)一步提高了系統(tǒng)的控制精度。試驗(yàn)結(jié)果顯示所提方法比未進(jìn)行任何補(bǔ)償時(shí)位置的跟蹤誤差減小75%左右,比僅采用LuGre模型的摩擦力前饋補(bǔ)償，位置控制誤差減小35%左右，證明了所提方法的有效性。