圓線圈平面磁場分布及其電感的計算與分析研究

張克生

(江蘇安全技術職業學院 基礎課教學部，江蘇 徐州 221011)

0 引言

通電線圈的磁場分布以及電感系數已有多篇論著進行相關研究[1-5]，然而在實際求解線圈空間磁場分布和電感系數時，存在著數學計算公式復雜、計算量大等相關問題[6]。通電圓線圈是電磁學理論及應用中最典型的模型之一，雖然該模型簡單，但是對于其空間磁場分布及其電感系數的計算比較復雜。張德根等[7]用線電流模型給出了圓線圈磁場分布的積分表達式；杜珊等[8]通過理論與實驗相結合研究了載流圓線圈平面內的磁場分布情況；張星輝等[9]從一個圓電流的矢勢出發, 導出了任意兩共軸圓線圈間互感系數的函數表達式；左曉旺等[10]分析討論了兩共軸平行圓線圈之間的互感系數與線圈的尺寸、相對位置的關系等。

對于實際載流圓線圈來說，通常具有一定的截面積，將其簡化為線電流模型處理往往存在一定的問題，如線圈自身所在位置的磁場無法計算，從而不能由圓線圈的磁通量來計算其自感系數。例如圓形截面的載流圓線圈，線圈的平均半徑R和截面半徑a對其磁場分布和電感系數的影響缺乏定量的計算，同時對圓線圈側面邊界處磁場如何變化等問題缺乏定性的分析，因此有必要對線圈平面的磁場分布和電感系數計算作進一步分析研究。

1 圓線圈平面磁場分布

1.1 計算模型與方法

如圖1所示，在平均半徑為R、截面半徑為a的載流圓線圈所處的平面上，r為線圈平面上任意一點與圓線圈圓心之間的距離。當電流I順時針通過圓線圈時，根據對稱性及右手螺旋關系，可以判定圓線圈內部磁場垂直向里，圓線圈外部磁場垂直向外。在圓線圈導體外部，即r>R+a或r

(1)

式中：μ0為真空磁導率。

圖1 載流圓線圈及其截面

在載流圓線圈內部，即R-a≤r≤R+a，當a<

(2)

式中：μ為線圈導體材料的磁導率；μr為相對磁導率。整個圓線圈所在平面的磁場分布表達式可表示為：

(3)

根據上述表達式，其中包含的積分表達式可利用Mathematica軟件進行數值求解，可以得到圓線圈平面沿著其徑向的磁場分布。例如當R=0.1 m，a=0.3 mm，I=10 A時，導體材料為銅，在溫度為293 K時相對磁導率μr為0.999 990。r在0～0.2 m范圍內磁感應強度大小分布曲線如圖2所示。

1.2 邊界處磁場的連續性

根據上述表達式，在線圈內外側面邊界處，即r=R-a和r=R+a，磁場計算值分別按式(1)和式(2)進行計算，分析線圈內外側面邊界磁場的連續性。例如當I=10 A，R=0.1 m時，邊界處磁場計算數據如表1所示。當圓線圈平均半徑(R=0.1 m)保持不變，隨著線圈截面半徑a的增大，兩種模型計算結果的相對誤差不斷增加。如果要求兩者計算結果的相對誤差小于3%，則a與R的比值應小于0.015。在圓線圈內側面邊界，即r=R-a處，線電流模型計算值大于長直導線模型計算值，在圓線圈外側面邊界，即r=R+a處，線電流模型計算值小于長直導線模型計算值。通過表1的數值計算結果可以看出：當a/R<0.015時，圓線圈內、外側面邊界處兩種模型計算的磁場值非常接近，邊界處磁場近似連續變化；當a/R>0.015時，邊界處兩種模型計算的磁場值有較大的躍變。在計算精度要求高的情況下，隨著截面半徑的增大，用長直導線模型計算其內部磁場誤差較大，需要考慮新的計算辦法。

圖2 圓線圈平面徑向磁場分布曲線B(r)(0≤r≤0.2 m)

1.3 實驗值與計算值比較

為驗證圓線圈平面磁場分布表達式的正確性，利用FB516型亥姆霍茲線圈磁場實驗儀，對圓線圈平面的磁場進行定量測量，圖3為儀器測量實物圖。實驗儀器選用先進的玻莫合金磁阻傳感器，該傳感器與傳統使用的探測線圈、霍爾傳感器相比，具有靈敏度高、抗干擾性強、可靠性好及便于安裝等諸多優點。實驗待測線圈的匝數為100，平均半徑為10 cm，恒流源輸出電流設置為100 mA，等效電流為10 A，使其與上述理論計算的電流相等。在線圈所在的平面上測量磁場分布，得到平面上磁場分布的實驗值和計算值曲線，如圖4所示，兩條曲線基本重合，兩者間的相對誤差非常小，說明實驗值與計算值是相符合的。

圖3 磁阻傳感器測量線圈磁場

圖4 實驗值與計算值曲線

2 圓線圈的自感系數

對于圓線圈的自感(L自)通常利用式(4)進行近似簡便計算。

(4)

在計算精度較高的情況下，隨著圓線圈幾何尺寸的不斷增大，近似計算公式的誤差將會增大，必須重新考慮新的計算方法。

單個圓線圈的自感為內自感(L內)與外自感(L外)之和：

L自=L內+L外

(5)

2.1 第1種計算方法

利用圓線圈平面上的磁場分布表達式，先計算圓線圈內部的磁通量，再根據電感的定義計算外自感，其中圓線圈內部的磁通量為半徑r=R-a面圓內磁感線的條數。根據圓線圈平面上磁場分布的中心對稱性，分別得到磁通量(Φ)的表達式(6)、外自感(L外)表達式(7)和自感(L自)的表達式(8)。

(6)

式中：S為圓線圈內部面元。

(7)

(8)

2.2 第2種計算方法

如圖5所示，單個圓線圈的外自感可以看成平行共軸且在同一平面的兩個半徑分別為R和R-a的圓線圈互感。對于兩個平行共軸圓線圈L1和L2，其半徑分別為r1，r2，線圈之間的距離為d。根據諾依曼公式，兩個線圈之間的互感系數(M)為：

圖5 兩平行共軸圓線圈

(9)

(10)

利用上述互感系數的表達式，將r1=R，r2=R-a代入式(10)可得單個圓線圈外自感與自感的表達式：

(11)

(12)

3 電感系數的數值計算與分析

如上所述：第1種電感系數的計算方法是先給出磁通量的表達式，再得到電感系數，計算過程容易理解，缺點是計算的表達式為復雜二重積分，利用數值計算需要較長時間；第2種計算方法得到的表達式為一重積分，數值計算速度快。

分別利用式(4)、式(8)和式(12)計算圓線圈的自感系數，其中式(8)和式(12)積分可以直接利用Mathematica軟件得到計算值。根據表2和表3中的數據，可知兩種數值計算的結果幾乎相等，隨著線圈尺寸的增加，兩種數值的計算值與近似公式計算值的差值增大。

表2 截面半徑a=0.3 mm時的自感系數計算值

表3 平均半徑R=10 cm時的自感系數計算值

當線圈截面半徑a一定時，其電感系數L與線圈的平均半徑R近似成正比；當線圈平均半徑R一定時，其電感系數L隨線圈截面半徑a增大而減小，其原因在于平均半徑R不變時，外自感會隨截面半徑增大而減小，而內自感不變，總自感減小。

4 結語

本文對圓形截面圓線圈平面磁場及其電感系數進行了相關計算與分析，求解計算過程中沒有使用比較煩瑣的第一類、第二類橢圓積分等特殊函數，也沒有通過編程求解雙重積分值，而是直接利用Mathematica軟件強大的數值計算功能，計算過程簡潔，確保物理量概念清晰。通過精確的數值計算結果可知：當截面半徑a與平均半徑R的比值逐漸增加時，按式(3)計算圓線圈平面磁場則會引入較大誤差，尤其是圓線圈邊界附近的磁場；同時其自感系數的計算還需要進一步深入探討。