KH2PO4晶體已加工表面頻率特征對亞表層溫度場的影響

束梓豪 龐啟龍 況良杰

1.南京林業大學機械電子工程學院，南京，2100372.上海市質量監督檢驗技術研究院，上海，200000

0 引言

KH2PO4(KDP)是一種具有優越性能的電光非線性光學晶體，作為重要的光學元件廣泛運用于高功率激光系統、慣性約束核聚變等領域[1-6]。當超過KDP晶體的激光損傷閾值后，可能會出現一系列光學損傷現象，如燒蝕、熔融和熱損傷等，甚至直接造成晶體的破壞[7-9]。通常認為，KDP晶體的光學損傷閾值受晶體亞表層結構和成分的影響，例如點缺陷、位錯以及晶體內的雜質如金屬離子、有機物、培育晶體的環境和籽晶等[10-15]。近年來，研究人員發現表面形貌特征也會對KDP晶體的光學損傷閾值產生一定的影響，如超精密單點金剛石飛刀切削加工的KDP晶體表面上所存在的沿切割方向的中頻波紋度誤差會引起晶體折射率畸變和相位失配，導致其激光損傷閾值降低[16-21]。

準確提取已加工表面的形貌特征有利于進一步分析其對材料性能的影響。目前，常用的表面形貌分析方法有功率譜密度、分形方法和小波方法等。PRABHAKAR等[22]通過傅里葉變換和離散小波變換測量了銑削部件的表面粗糙度。石愛娟等[23]采用小波分析了經磨削加工后的復雜表面。王貴林[24]采用功率譜密度方法分析了經超精密車削加工后的KDP晶體的加工特征和誤差形態。CHENG等[25]利用傅里葉膜法研究了經過單點金剛石飛切后KDP晶體表面不同形狀的劃痕對激光損傷閾值的影響。國內外研究者發現已加工表面的形貌特征對其光學性能的影響的主要因素有表面頻率、表面劃痕和表面裂紋等。陳明君等[26]研究了經過單點金剛石銑削后KDP晶體表面的小尺度波紋對晶體能量透過率和抗激光損傷性的影響，發現小尺度波紋波長對衍射效率的影響穩定，但幅值對光強分布有較大的調制作用，導致吸收和反射效應增強。任寰等[27]研究了高功率激光系統的表面劃痕型缺陷對其光場質量的影響，發現隨著劃痕長度、寬度和深度的增加，元件亞表層以及傳輸光場的峰值強度和對比度均會增強，光束近場的光強對比度也會略微增大。YANG等[28]進行激光損傷試驗，并觀察了KDP晶體表面的激光損傷形貌，發現KDP晶體表面的橫向裂紋是導致KDP晶體激光損傷的主要原因。CHENG等[29]研究了KDP晶體光學材料的微銑削修復過程中表面殘留刀痕對其光學性能的影響，發現光強度取決于刀痕的周期和殘留高度。LIU等[30]分析了微球頭銑削過程中刀痕的周期和剩余高度對KDP光學元件內部光增強的影響，發現光的增強周期與刀痕的周期密切相關，刀痕的周期越大，光增強的密度越小，激光損壞的可能性就越小。CHENG等[31]使用傅里葉膜法探究了通過金剛石加工的高質量KDP晶體表面的劃痕特征對其損傷閾值的影響，發現在存在2.5 μm寬度和0.1 μm深度表面劃痕的情況下，閾值強度將從132 TW/cm2降至102 TW/cm2。

綜上可知，目前研究表面頻率特征對光學材料光學性能的影響時，計算所使用的頻率特征大多是理想頻率特征，與表面形貌中客觀存在的實際頻率特征關聯度較小，會使分析結果產生一定程度上的誤差。并且分析表面頻率特征時所采用的方式大多是離散小波變換，無法提取任意頻率段的頻率特征。為更加真實準確地分析KDP晶體表面頻率特征對其溫度場的影響，本文采用連續小波變換提取和重構KDP晶體已加工表面上實際存在的任意頻率特征，并基于波動光學理論分析其對KDP晶體亞表層光場和溫度場分布的影響規律，為優化實際加工參數以獲得具有更高激光損傷閾值的KDP晶體元件提供借鑒。

1 實驗與方法

1.1 切削實驗

利用單點金剛石飛刀切削方法對KDP晶體進行加工以獲得晶體表面形貌信息，具體切削參數及刀具參數見表1。

表1 切削參數和刀具參數

本文采用白光干涉儀對加工后的KDP晶體表面進行測量，取樣面積為360 μm×360 μm，取樣點數256×256，取樣周期Δ=1.412 μm/pixel。獲得的KDP晶體已加工表面的三維表面形貌和提取的二維輪廓分別如圖1a和圖1b所示。

(a)KDP晶體已加工表面三維形貌

(b)KDP晶體已加工表面二維輪廓圖1 輪廓信息Fig.1 Profile information

1.2 表面實際頻率特征提取重構方法

利用功率譜密度(power spectral density，PSD)方法對表面微觀形貌進行定量頻譜描述。PSD一維形式為

(1)

式中，f為空間頻率；L為取樣長度；z(f,L) 為二維輪廓數據z(x)的傅里葉變換。

根據PSD獲取的結果，可以分析表面上可能存在的頻率特征，再采用連續小波變換(continuous wavelet transform, CWT)方法，利用提取出的表面實際頻率特征進行重構。連續小波的定義式為

(2)

(3)

式中，Wψ為由ψ(x)確定的連續小波系數，ψ(x) 為本文中的Mexh小波基；f(x) 為原始信號；p為比例因子；b為平移因子(本文中b=0)。

連續小波變換的尺度因子a可表示為小波基與特定頻率之間的關系，在表面微觀形貌上，對頻率特征進行小波分析時，需確定a的取值，其計算公式為

(4)

其中，fc為Mexh小波基中心頻率(fc=0.25)；Δ為測量儀器的采樣周期；fs為實際頻率特征的中心頻率，與實際頻率特征關系為

fs=2fL/N

(5)

式中，f為表面的實際頻率特征；N為采樣邊界長度上的采樣點數目。

小波系數是連續小波變換的結果，它表示原信號與小波基函數的相似性，但與實際頻率的表面輪廓并無關系。實際頻率的二維輪廓需重構小波系數，其定義式為

(6)

式中，Cψ為允許性條件；f(t)為實際頻率特征的重構輪廓信號。

2 光場及溫度場的仿真模型

根據功率譜密度和連續小波的計算結果所獲得的表面頻率特征對光場和溫度場的仿真示意圖見圖2。

圖2 表面頻率對溫度場影響的分析模型Fig.2 Analysis model for simulating the influence of frequency features on temperature field

激光束在晶體亞表層傳播的平面波方程可表示為

(7)

(8)

其中，n為折射率；J為電流密度。激光束在晶體亞表層的熱傳導方程可表示為

(9)

式中，ρ為密度；c為質量熱容；T為溫度；t為時間；z為z軸方向坐標；k為熱導率。

上下輪廓的邊界條件分別為

(10)

(11)

式中，h為晶體在計算模型z方向上的深度。

設定兩側邊界均處于絕熱狀態，邊界條件為

(12)

求解波動電磁場問題時，需模擬一個帶有開放邊界的域，使計算域的邊界支持電磁波以無反射的方式通過，因此，需要使用散射邊界條件和完美匹配層。只考慮二維模型問題時，其中電磁波在xz平面內傳播，電場沿y方向極化。將假定除模型自身外其余空間完全真空(不吸收能流密度)，外部對所有輻射透明，上下邊界的散射邊界條件為

(13)

式中，Ey為電場y軸方向的分量。

電磁波的入射方向為z軸負方向，當模型上邊界距離下邊界無窮遠時，電磁波由上邊界通過晶體亞表層不發生反射，可認為此時能量被完全吸收。根據幾何模型只在電磁場作用下的二維均勻吸波狀態，設定入射電磁波和熱傳導的參數和實驗條件如下：采用單位線偏振光垂直入射，光束平行于晶體主軸；入射光束的功率為20 MW/μm2；入射光束的波長為1.064 μm；晶體表面及亞表層的初始溫度T0=293.15 K；光束作用時長t=1 ns。光束實際作用范圍決定晶體的輪廓尺寸。

本文主要研究精加工晶體表面的頻率特征對晶體亞表層電磁場傳播和溫度分布的影響，因此在建立模型時，不考慮晶體亞表層的結構特征，只考慮晶體的表面形貌，以簡化計算。KDP晶體相關的參數如表2所示，本文熱膨脹系數取值為13×10-6K-1。

表2 KDP晶體的參數

在理想特征情況下，分析晶體的亞表層溫度隨晶體表面頻率特征的分布規律具體可分為兩步：先根據熱傳導方程和設定的邊界條件對晶體內的電磁損耗進行求解；再根據電磁損耗的能量形式轉化為亞表層溫度變化，求解出晶體內的經入射光照射1 ns時的溫度分布。

3 結果與分析

3.1 實際頻率特征的獲取

圖3 已加工表面上實際存在的頻率特征Fig.3 Actual frequency features existing on the machined surface

根據PSD方法得到已加工表面上的3種較明顯的頻率f分別為0.0084 μm-1、0.0112 μm-1、0.0277 μm-1，如圖3所示。這3種較為明顯的頻率具有不同的功率密度值，其余頻率的功率量趨近于0，說明表面微觀形貌主要由這3種頻率重構的輪廓特征組成，其他頻率重構輪廓對表面基本沒有影響。

功率譜密度方法只能用于識別最小采樣間隔的整數倍的頻率，而空間頻率在加工表面上是連續分布的。 連續小波方法可用于補償功率譜密度的這種不足，并從加工表面提取更真實的頻率特征。根據功率譜密度計算結果，通過連續小波變換對3個實際頻率特征進行提取及重構，其結果如圖4所示。圖4a中頻率特征的波長約140 μm，振幅約30 nm；圖4b中頻率特征波長約50 μm、振幅約10 nm；圖4c中頻率特征波長約14 μm，振幅約5 nm。

(a)f=0.0084 μm-1的重構曲線

(b)f=0.0112 μm-1的重構曲線

(c)f=0.0277 μm-1的重構曲線圖4 重構出的表面頻率特征Fig.4 Reconstructed surface frequency features

根據已加工實際表面上存在的頻率特征，結合圖3和圖4，擬合出3種相對應的表面頻率特征曲線進行計算分析。擬合后的曲線呈周期性變化，為簡化計算量，分別選取合適的周期進行計算，所建立的模型參數及波形圖分別見表3和圖5，其曲線分布規律類似正、余弦三角函數，具有周期變化和幅值變化。為了更加全面地分析晶體表

表3 仿真模型輪廓參數

(a)λ=14 μm,A=5 nm

(b)λ=50 μm,A=10 nm

(c)λ=140 μm,A=30 nm圖5 用于計算的表面頻率特征曲線Fig.5 Frequency features for calculation

面頻率對其光學性能的影響，添加了理想表面(波長幅值都為0)以及表面頻率波長與入射光波長相同的輪廓進行光學仿真。與入射光波長相同的曲線波長為1.064 μm、振幅為14 μm。

3.2 光場和溫度場分析

為綜合分析表面頻率特征對晶體光學性能的影響，首先分析理想平面對KDP晶體亞表層光場和溫度場分布的影響，其結果如圖6a和圖6b所示。當光束照射晶體后，在晶體亞表層仍然處于垂直入射的狀態，并產生縱向波動，方向沿原入射方向，最高溫度出現在被光束照射的表面，隨著深度的增加，溫度降低，溫度變化僅有0.02 K，這主要是因為理想表面輪廓是一條理想直線，光束在晶體亞表層傳播時不會出現能夠引起光場和溫度場畸變的自聚焦等現象。

(a)光場 (b)溫度場圖6 理想輪廓對光場和溫度場的影響Fig.6 Ideal profile light field and temperature field

3.3 已加工表面上存在的頻率特征的光場和溫度場分析

KDP晶體已加工表面上實際存在的頻率特征對其亞表層光場的分析結果如圖7所示。表面頻率特征的波長為1.064 μm、幅值為30 nm時的光場分布如圖7a所示，相比理想平面的光場，此時晶體亞表層處于相同水平位置的光場出現差異，產生了聚集和衰減兩種不同狀態，這說明光束通過晶體亞表層時發生了沿x軸方向的波動，存在明顯的光學畸變。此時，可以把波長為1.064 μm的表面當作一種光柵設備，光束通過表面進入晶體后會發生碰撞或者偏離，即干涉或衍射現象。由此而產生的干涉條紋會妨礙光束保持沿直線傳播的狀態，具有一定的光波擾動性。表面頻率特征實際存在的波長14 μm、幅值5 nm的光場分布如圖7b所示，光束在晶體亞表層傳播時仍然發生波動，并且在輪廓波峰下有能量聚集，原因是此時的輪廓表面改變了光束的聚集點，使其位置離輪廓邊界稍遠。相比波長為1.064 μm的輪廓表面對光束傳播的影響，波長14 μm的輪廓表面的影響程度略小。表面頻率特征為50 μm、幅值為10 nm和波長140 μm、幅值30nm的光場分布圖分別如圖7c和圖7d所示，光束傳播規律與波長為14 μm的情況相似，光束依然在輪廓的波峰下匯聚，但是隨著波長的增大，晶體表面輪廓更加接近一條水平線，光束穿過晶體時發生的畸變現象變弱。

(c)λ=50 μm (d)λ=140 μm圖7 已加工表面上存在的頻率特征對光場的影響Fig.7 Influence of frequency features on light field

(a)λ=1.064 μm (b)λ=14 μm

(c)λ=50 μm (d)λ=140 μm圖8 已加工表面上存在的頻率特征對溫度場的影響Fig.8 Influence of frequency features on temperature field

表面頻率對KDP晶體亞表層溫度場的分析結果如圖8所示。計算結果表明，當表面頻率特征波長與入射光波長1.064 μm一致、幅值為5 nm時，如圖8a所示，KDP晶體亞表層溫升約72 K，最高溫度399 K，出現在晶體深度為15 μm處，主要原因為光束疊加處會產生局部能量密集使溫度升高，同時產生的介電損耗也增加，形成了一定的溫度差。表面頻率波長為14 μm、幅值為5 nm的晶體亞表層溫度分布如圖8b所示，晶體亞表層溫升約56 K，最高溫度為384 K，出現在晶體深度為160 μm處。表面頻率波長為50 μm、幅值為10 nm的晶體亞表層溫度分布如圖8c所示，晶體亞表層溫升約20 K，最高溫度266 K，出現在晶體深度為160 μm處。表面頻率波長為140 μm、幅值為30 nm的晶體亞表層溫度分布如圖8d所示，晶體亞表層溫升約12 K，最高溫度362 K，出現在晶體深度為160 μm處。當表面頻率波長分別為14 μm、50 μm和140 μm時，與表面頻率波長為1.064 μm的溫度分布規律相同，具體表現為在輪廓波峰下面出現長條狀的持續溫升變化。溫度場受到光場強度的影響，最大溫升出現在光束能量最密集的地方，即光束波動的最大波峰波谷處，只考慮輪廓特征與溫度分布的位置關系的條件下，可得出結論：在輪廓特征的波峰處與其對應的亞表層位置處溫度較高，但波谷處溫升近似為零，這表明光束在通過變化較大的輪廓特征表面后，進入晶體亞表層的聚集點與離散點和晶體的熱透效應相同。同時圖8b～圖8d也表明，雖然晶體的深度相同，但是表面頻率特征的波長越大，溫升越小，最高溫度越低，并且隨著表面頻率特征中波長的增長，最大溫度點距離入射邊界的距離越遠，會出現在晶體內部的更深處，這說明表面頻率特征影響著光束能量的聚集位置，與晶體的熱透鏡效應相符。

為全面分析波長和幅值對KDP晶體亞表層光場和溫度場的影響，選取表面頻率特征的波長范圍為0～50 μm，振幅為1～200 nm，計算結果如圖9所示。計算結果表明，當波長越接近入射光波長1.064 μm時，表面頻率特征對KDP晶體亞表層的最高溫度的影響程度越大；當波長處于1～10 μm區間時，溫度會驟降；當波長處于10～20 μm區間時，最高溫度隨波長的增大緩慢下降；當波長λ>20 μm，隨著波長增大且振幅沒有變化時，最高溫度基本無變化，這是由于此條件下主導溫度變化的因素從波長變成幅值。當處于同一波長時，溫度升高伴隨著振幅的增大，兩者是一種線性關系，振幅對溫度的影響程度取決于表面頻率波長與入射光波長的差距，越接近入射光波長，影響程度越大。可以解釋為晶體表面頻率的波長等于入射光束基頻波長1.064 μm時，衍射能級最大，能量最密集，此時溫度隨著振幅的增加而升高且上升速度最快。

圖9 頻率特征對溫度場的影響Fig.9 Influence of frequencies on the temperature field

以上計算分析表明，KDP晶體已加工表面上的波長和幅值都會對其亞表層的光場和溫度場產生影響，因此，在KDP晶體加工過程中為保證其光學性能，在確保表面粗糙度滿足要求的同時應盡量避免產生波長在0～10 μm、振幅大于50 nm范圍內的表面頻率特征。

4 結論

(1)表面頻率特征的波長越接近入射光波長時，光束通過晶體亞表層時會發生明顯的橫向波動，能量局部聚集，使材料發生較多介電損耗，對光場和溫度場的影響最劇烈。幅值不變時，表面頻率特征的波長處于1.064～10 μm時，溫度呈緩慢下降趨勢，波長超過20 μm后最高溫度基本無變化。

(2)當表面頻率的波長不變時，表面頻率特征的幅值對KDP晶體亞表層的溫度場產生影響。KDP晶體亞表層溫度隨著振幅的增加而升高，兩者成線性正相關。

(3)不同波長的頻率特征除對KDP晶體亞表層的溫度值具有影響外，對最高溫度值在KDP晶體內部的位置也有影響。當表面頻率特征的波長增加時，KDP晶體內部最高溫度點出現的位置向晶體內部延伸。