典型激勵下調諧質量慣容系統TMIS 的輕量化結構控制

張瑞甫，曹嫣如，潘 超，胡岫巖

(1. 同濟大學土木工程防災國家重點實驗室，上海 200092；2. 同濟大學結構防災減災工程系，上海 200092；3. 煙臺大學土木工程學院，煙臺 264005)

結構振動控制技術[1-3]是降低結構在地震、風等動力荷載作用下結構動力響應的有效手段。從控制原理的角度，結構振動控制技術可以分為隔振技術、消能減振技術和動力吸振技術三大類。其中，動力吸振技術是通過在主結構上附加調諧質量減振系統來吸收和耗散主體結構的振動能量[4-5]。由于調諧質量減振系統的振動控制效果與附加調諧質量的大小相關，在結構振動控制需求較高時，需要減振子系統具備較大的附加質量。過大的附加質量不僅占據了結構寶貴的使用空間、提高了工程造價，在施工、檢修、更換時也較為不便；而且，較大的附加質量甚至可能在地震作用下給結構帶來不利影響[6-7]。此外，目前結構本身正朝著輕量化、柔性化、大跨度的趨勢發展，與之相應的結構振動控制系統亦將趨于輕量化、小型化、高效化。慣容元件(圖1)是一種在經典力學理論中沒有的元件，元件出力與其兩端點間的相對加速度相關。以慣容為核心元件的結構振動控制裝置稱為慣容系統，可以從慣性、剛度、阻尼三個方面對結構的動力特性進行靈活調整[8-9]，具有表觀質量增效[10-13]、耗能增效[8,14]等控制特性，已被證明是一種高效的結構振動控制裝置[14-17]，近年來開始受到科研人員的重點關注[18-20]。既有試驗表明慣容元件的表觀質量(又稱慣容系數)已可以達到元件重力質量的數千倍[21]。在調諧質量減振裝置中引入慣容元件，利用慣容的表觀質量增效作用減小所需的附加調諧質量，可以為結構振動控制提供一種新的輕量化調諧減震方案，提供更加經濟、高效地實現結構振動控制手段。目前，已有學者將慣容元件與調諧質量減振裝置進行組合，并開展了初步研究。Garrido 等[22]提出了稱為旋轉慣性雙調諧質量阻尼器(Rotational inertia double tuned mass damper, RIDTMD，圖2)的振動控制裝置。該裝置將經典調諧質量阻尼器(TMD)中的耗能元件替換為慣容系統，在相同附加質量的情況下，減震效果比經典TMD 更佳。Marian 等[23-26]利用慣容元件的表觀質量增效特點，提出了調諧質量阻尼慣容系統(Tuned mass damper inerter, TMDI，圖3)，該系統是在經典TMD 的基礎上增加一個接地的慣容元件，以替代部分調諧質量，實現輕量化調諧減振。

圖1 兩端點加速度相關型結構控制元件——慣容Fig. 1 Two-terminal acceleration related structural control element -- inerter

圖2 附加旋轉慣性雙調諧質量阻尼器(RIDTMD)的單自由度體系示意圖Fig. 2 SDOF system with RIDTMD

圖3 附加調諧質量阻尼慣容系統(TMDI)的單自由度體系示意圖Fig. 3 SDOF system with TMDI

上述研究表明：在經典的調諧質量減震(振)系統中加入慣容元件，可以有效地提高減震(振)系統的振動控制效率，具有廣泛的應用前景。然而，Garrido 等[22]針對RIDTMD 的研究雖然證實了其振動控制效果的提升，但并未指出慣容元件為調諧型減震(振)系統帶來的輕量化效應。對于TMDI 系統，雖然已經指出其輕量化的潛力，但TMDI 需要將慣容元件直接與地面相連，在實際應用中對于大量形式多樣的結構而言，這種連接方式具有顯著的局限性，尤其當結構薄弱層不在底層時將造成應用上的不便。從力學原理上說，TMDI 將慣容元件直接與地面相連的做法導致慣容元件退化成了絕對加速度相關的普通質量元件，其力學原理與TMD 并無實質上的區別。即TMDI主動丟棄了慣容最特殊的力學特性——兩端點慣性特性，意味著慣容本身的調諧和耗能增效特性難以發揮。相較之下，RIDTMD 的拓撲形式更能讓慣容元件充分發揮功能。本文在RIDTMD 力學模型的基礎上進行進一步的抽象和凝練，針對適于結構典型災種激勵下提出如圖4 所示的具有調諧質量輕量化特征的廣義調諧質量慣容減振系統(Tuned mass inerter system, TMIS)，及其對應的基于性能需求的設計方法。該系統具有更加靈活的安裝形式，慣容子系統也可以選擇不同類型，以適用于不同的應用場景。與傳統視角不同，本文從輕量化結構控制的角度分析和探討TMIS 的基本理論、結構形式與設計方法，以充分體現慣容元件的表觀質量增效特性帶來的結構振動控制輕量化優勢，分析TMIS 在不同災種工況下的結構振動控制性能，以證明TMIS 的廣泛適用性；通過與安裝TMD 的結構進行比較，證實在不同激勵下TMIS 所具有的輕量化控制優勢。

圖4 廣義調諧質量慣容系統(TMIS)Fig. 4 Generalized tuned mass inerter system (TMIS)

1 調諧質量慣容系統(TMIS)基本原理

1.1 TMIS 力學模型

慣容系統可由最基本的三個力學元件構成：慣容元件、阻尼元件和彈簧元件。在這些力學元件中，慣容元件具有顯著的表觀質量增效作用，在不顯著增加主體結構附加質量的前提下可有效地調整結構的慣性特征并吸收結構振動能量[9,14]。利用這種具有表觀質量增效特性的元件，慣容系統相較于傳統的調諧質量減振裝置可以提供相同甚至更高的減振效果并顯著地降低結構的附加調諧質量需求，從而實現輕量化調諧減震，對調諧質量減震(振)系統的實際應用具有重要意義。

圖5 給出了附加經典TMD 的單自由度體系力學模型，以便與圖4 中TMIS 的結構形式進行對比。TMIS 由調諧質量mt、調諧彈簧kt和慣容子系統組成，圖6(a)給出一種較為典型的慣容子系統包括并聯連接的慣容元件min與阻尼元件cin，以及與它們串聯連接的彈簧元件kin，該種慣容子系統又稱為SPIS-II (Series-parallel layout II inerter system)型慣容系統[27-28]。除此以外，TMIS 中慣容子系統還可以有如圖6(b)所示等其它力學拓撲形式。本文主要以圖6(a)的形式作為示例，對具有輕量化特征的TMIS 進行系統研究和說明。

圖5 附加TMD 單自由度體系的力學模型Fig. 5 SDOF systems with TMD

圖6 本文所示例的兩類TMIS 的力學模型Fig. 6 Mechanical models of two types of TMIS applicated in this research

1.2 附加TMIS 的單自由度體系運動方程

根據圖6 所示的TMIS 力學模型，附加TMIS的單自由度體系力學示意圖如圖7 所示。其中，圖7(a)中使用了圖6 的混聯型慣容子系統，其運動方程如式(1)所示；圖7(b)中使用了圖6(b)的并聯型慣容子系統，其運動方程如式(2)所示。

圖7 附加TMIS 單自由度體系力學模型Fig. 7 Mechanical model of TMIS based SDOF system

基于上述無量綱參數，附加TMIS 的單自由度體系(以混聯型為例)運動方程可以表達成式(4)，進而表達成如式(5)～式(9)所示的矩陣形式：

1.3 附加TMIS 單自由度體系響應計算

2 典型激勵

為了解TMIS 在不同動力激勵作用下的輕量化結構減振控制效果，本文選取工程結構設計時經常考慮的地震作用、風荷載、人致激勵三種激勵作為典型。

2.1 地震作用

2.2 風荷載

由圖8 可以看出，風荷載頻率主要在0 Hz～1 Hz，因此，在計算風荷載作用下結構動力響應時，僅在該頻率范圍內進行積分。在風荷載激勵下，主要關注結構的加速度響應。采用白噪聲激勵SF(iΩ)=S0，風荷載作用下附加TMIS 的單自由度體系主結構加速度響應均方根如式(17)：

圖8 風荷載功率譜Fig. 8 PSD of wind load

2.3 人致激勵

在地震作用和風荷載以外，人致激勵也將導致結構動力響應，如人致激勵[31]會對空間和大跨結構帶來振動響應，可能會對結構安全和人員舒適度帶來影響。以樓板結構為例，當人員活動產生的振動頻率與樓板自振頻率接近時可能造成共振現象，研究中常將這種豎向人致激勵以式(18)形式表示。人致激勵時程曲線如圖9 所示。

圖9 人致激勵時程曲線Fig. 9 Time history curve of human-induced excitation

3 基于結構性能需求的TMIS 參數設計策略

3.1 設計方法

對于結構附加TMIS 的力學元件參數設計，本研究提出一種基于性能需求的優化設計方法。在參數設計過程中，本文將重點關注調諧質量比μt，其反映了附加調諧質量的大小。如1.2 節中式(3)所示，調諧質量比μt為附加調諧質量mt與單自由度主結構質量m的比值。在附加TMIS 的結構運動方程中，慣容元件具有表觀質量min，表觀質量遠大于慣容元件的重力質量，慣容元件的重力質量同結構整體質量和表觀質量相比，可忽略不計，所以振動控制系統的質量可以只考慮調諧質量mt。此外，定義減震(振)比 γ作為設計指標，用于反映結構在不同外部激勵作用下的性能需求。在地震荷載作用下，減震比 γU定義為附加TMIS 的單自由度結構均方位移響應與無控結構均方位移響應的比值，如式(20)和式(21)所示。在關注結構舒適度的工況下，如風荷載與人致激勵，減振比γA定義為附加TMIS 的單自由度結構均方加速度響應與無控結構均方加速度響應的比值，如式(22)～式(24)所示。

式中，下標min、max 分別為TMIS 各元件參數取值上下限。

3.2 參數設計流程

在附加TMIS 的單自由度體系中，TMIS 各參數的優化設計可以按照圖10 所示的方法進行。主要步驟為：

圖10 TMIS 參數設計流程圖Fig. 10 Flow chart for parameter design of TMIS

1)進行結構預分析，明確結構性能需求，計算原始結構動力響應，確定目標減震(振)比及各參數約束范圍；

2)選擇設計目標，建立相應優化方程；

3)求解優化方程，獲得設計參數；

4)使用獲得的參數對結構性能進行驗證，若未能達到目標設計要求，則需要進行參數迭代設計。

4 地震作用下TMIS 輕量化控制

4.1 TMIS 結構振動控制效果

圖11 地震作用下附加質量比一定時附加TMD 和TMIS 單自由度結構的最優減震比Fig. 11 Vibration mitigation ratio of SDOF systems with TMD and TMIS under seismic excitation

圖12 地震作用下附加質量比一定時TMIS 的性能優化參數Fig. 12 Optimal parameters of TMIS with different additional mass ratio under seismic excitation

4.2 TMIS 的輕量化振動控制效果

本節對比了不同的減震比需求下，TMIS 對于調諧質量系統的輕量化作用。取20 組調諧質量比作為附加TMD 的調諧質量μt,TMD，使用TMD 優化設計公式計算其余設計參數，得到地震作用下附加TMD 單自由度體系的減震比如表1 所示。隨后，按照3.1 節式(25)敘述的輕量化設計方法，將附加TMD 結構的減震比作為設計TMIS 的目標減震比，即令 γt,TMIS=γTMD。按照輕量化設計方法，得到使附加TMIS 的單自由度體系達到目標振動控制效果所需的附加質量μt,TMIS，如表2 所示。為衡量TMIS 與TMD 相比對調諧質量的輕量化效果，定義參數 δ如式(28)所示，該參數越大，表示TMIS 對調諧質量的輕量化效果越好。

表1 地震作用下附加TMD 單自由度體系減震比Table 1 Vibration mitigation ratio of SDOF system with TMD under seismic excitation

表2 地震作用下TMIS 的輕量化效果Table 2 Lightweight effect of TMIS under seismic excitation

通過表2 可以得到：在地震作用下，所選取的幾組附加TMIS 的單自由度結構在減震比與附加TMD 的結構相同的條件下，所需調諧質量最多降低了40.8%。因此，對單自由度結構附加TMIS，可以在達到與TMD 相同的振動控制目標的條件下，顯著降低所需附加調諧質量的大小，即可以實現輕量化振動控制。

4.3 TMIS 的控制頻帶

本節分別對附加TMD 的單自由度結構、附加TMIS 的單自由度結構的傳遞函數進行了分析。選擇附加質量比μt,TMD為0.01 和0.05 的兩種工況，對于TMD 采用優化公式進行設計，對于TMIS 使用基于目標減震比的輕量化設計的結果。在外部激勵為地震作用時，如圖13 所示，附加TMIS 的結構位移響應傳遞函數峰值與TMD 相比均有降低。μt,TMD=0.01時，附加TMIS 結構的控制頻帶比TMD 增加了57.6%；μt,TMD=0.05時控制范圍增加了12.6%。

圖13 地震作用下附加TMD 與TMIS 的單自由度結構的位移傳遞函數Fig. 13 Displacement transfer function of SDOF systems with TMD and TMIS under seismic excitation

4.4 時域驗證

4.1 節～4.3 節的分析內容均基于頻域計算獲得，為進一步驗證TMIS 的振動控制效果，本節對一個附加TMIS 的單自由度結構模型在時域下進行分析。本節選取的單自由度主結構自振周期為0.9 s，固有阻尼比為0.01。時域分析分別采用白噪聲激勵和地面運動時程激勵，地震作用選取兩條天然地震動時程(NW1、NW2)和一條人工地震動時程(AW1)，隨后計算無控結構在上述外部激勵作用下的動力響應。為與TMIS 進行比較，在單自由度結構中附加TMD，選取附加質量比μt,TMD，采用優化公式設計其它參數。計算附加TMD 的單自由度結構的位移響應，以峰值位移減震比 γU,peak和均方位移減振比 γU,RMS作為衡量減震系統效果的指標，其中峰值位移減震比 γU,peak定義為附加減震系統結構的位移響應峰值與無控結構位移響應峰值之比。對于TMIS，采用第3 節所述的輕量化設計方法，在保障減震效果的同時盡可能降低所需調諧質量的大小。

白噪聲激勵下，選取兩組TMD 附加質量比μt,TMD= 0.02 和0.05，以均方位移響應減震比γU,RMS作為性能目標設計TMIS。附加TMIS 的結構性能如表3 和圖14 所示。附加TMIS 的結構所需的附加調諧質量分別降低了43.0%和51.8%，即使用較小的調諧質量對結構均方位移響應進行了有效的控制，實現了調諧質量的輕量化目的。

圖14 白噪聲激勵下附加TMIS 單自由度結構的位移響應Fig. 14 Displacement response of SDOF system with TMIS under white noise

表3 白噪聲激勵下TMIS 的輕量化控制效果Table 3 Lightweight effect of TMIS under white noise

地震作用下，選取TMD 附加質量比μt,TMD=0.05。經過優化設計后，所需附加質量比μt,TMIS=0.0289，相比TMD 減輕了42.2%，如表4 所示。地震作用下，基于輕量化原則設計的TMIS 可以達到與TMD 相近的減震效果。結果表明：TMIS 在有效控制結構響應的同時顯著降低了所需附加的調諧質量。附加TMIS 結構在地震作用下的位移響應如圖15 所示，由此可見經過優化設計的TMIS在結構振動控制方面達到了較好的效果。

表4 地震作用下TMIS 的輕量化控制效果Table 4 Lightweight effect of TMIS under seismic excitation

圖15 地震作用下附加TMIS 單自由度結構的位移響應Fig. 15 Displacement response of SDOF system with TMIS under seismic excitation

時域驗證的結果表明：在具有非平穩特性的地震動時程激勵下，TMIS 具有良好的結構振動控制效果，對降低結構的峰值位移響應和均方位移響應都具有作用。與TMD 相比，TMIS 可以實現與TMD 基本相同的控制效果，但TMIS 可以顯著降低所需的附加調諧質量大小，實現輕量化的振動控制，在本節使用的單自由度算例中調諧質量輕量化程度達到了42.2%。TMIS 的輕量化效果具有實際應用意義，可以使用較小的附加質量達到良好的控制效果，實現更為經濟高效的結構振動控制。

5 風荷載作用下TMIS 輕量化控制

5.1 基于單自由度體系的TMIS 輕量化風振控制理論研究

5.1.1 TMIS 結構振動控制效果

本節比較了附加TMD 的單自由度體系和附加非接地式TMIS 的單自由度體系在風荷載作用下的性能，同樣以減振比 γ衡量減振系統的振動控制效果。對于風荷載，采用與地震作用理論研究相同的研究方法，考慮到風致振動往往對結構舒適度造成影響，因此采用衡量結構舒適度常采用的加速度響應作為結構性能指標。在本節的單自由度體系理論研究中，以主結構均方加速度響應減振比 γA作為評價指標；在多自由度體系中，一般以結構頂部加速度響應指標作為結構性能評價的依據。

對于附加TMD 與TMIS 的參數設計，依舊采用第4 節的方法，設計目標為達到最小的減振比。按照上述方法設計減振系統所得的振動控制效果如圖16 所示，對應的TMIS 設計參數如圖17所示。從圖16 中可以發現，風荷載作用下TMIS可以進一步降低結構動力響應，為減振系統輕量化帶來可能，在滿足結構性能需求的前提下可以進一步優化所需的調諧質量的大小。

圖16 風荷載作用下附加TMD 和TMIS單自由度結構的減振比Fig. 16 Vibration mitigation ratio of SDOF systems with TMD and TMIS under wind load

圖17 風荷載作用下各附加質量比時的TMIS 優化參數Fig. 17 Optimal parameters of TMIS with different additional mass ratio under wind load

5.1.2 TMIS 的輕量化振動控制效果

本節對比了不同的減震比需求下，TMIS 對于調諧質量系統的輕量化作用。取10 組調諧質量比作為附加TMD 的調諧質量μt,TMD，使用TMD 優化設計公式計算其余設計參數，得到風荷載作用下附加TMD 單自由度體系均方加速度減振比如表5所示。隨后，按照輕量化設計方法，得到使附加TMIS 的單自由度體系達到目標振動控制效果所需的附加質量μt,TMIS，如表6 所示。

表5 風荷載作用下附加TMD 單自由度體系減振比Table 5 Vibration mitigation ratio of SDOF system with TMD under wind load

表6 風荷載作用下TMIS 的輕量化控制效果Table 6 Lightweight effect of TMIS under wind load

風荷載作用時，所選取的幾組附加TMIS 的單自由度結構在減震比與附加TMD 的結構相同的條件下，所需調諧質量最多降低了42.7%，即TMIS可以在達到與TMD 相同的振動控制目標的條件下，顯著降低所需調諧質量的大小。通過單自由度的理論分析可以發現，在地震作用和風荷載兩種外部激勵下，TMIS 均可以實現減振系統的輕量化。調諧質量的減輕意味著所使用的結構振動控制系統更加經濟、高效，在實際應用中具有優勢。

5.1.3 TMIS 的控制頻帶

風荷載作用下對附加TMD 和TMIS 的單自由度體系傳遞函數的分析結果如圖18 所示，附加TMIS的結構位移響應傳遞函數峰值與TMD 相比均有降低。μt,TMD=0.01時，附加TMIS 結構的控制頻帶比TMD 增加了20%；μt,TMD=0.05時控制范圍增加了23.5%。上述結果表明：在風荷載和地震作用下TMIS 在振動控制頻帶上有所拓寬。

圖18 風荷載作用下附加TMD 與TMIS 單自由度結構的加速度傳遞函數Fig. 18 Acceleration transfer function of SDOF systems with TMD and TMIS under wind load

5.2 風荷載作用下基于多自由度結構的TMIS 振動控制輕量化

在超高層結構中使用非接地式TMIS 進行風振控制，多自由度建筑結構體系示意圖如圖19 所示。采用一經典的600 m 級超高層模型作為研究對象，建立精細化有限元模型，進行結構特定樓層加速度響應研究。所使用的風荷載分別為1 年、10 年、50 年、100 年和500 年回歸期，沿80°和270°方向作用于結構。該超高層結構采用調諧質量為1000 t 的TMD 進行振動控制，本研究采用3.1 節所述的基于性能需求的輕量化優化設計方法設計TMIS，在相同減振比的控制條件下，可將所需調諧質量降低為600 t，輕量化程度達到40%。采用時程分析驗證了TMIS 的控制效果，如表7 所示，結果表明：輕量化設計的TMIS 可以達到與TMD 相同甚至更優的控制效果。

表7 不同重現期的風荷載工況下TMIS(600 t)和TMD(1000 t)加速度響應對比Table 7 Acceleration response of structures with TMD(1000 t) and TMIS (600 t) under wind load

圖19 多自由度建筑結構附加減振裝置示意圖Fig. 19 MDOF structures with different vibration control devices

6 人致激勵作用下TMIS 輕量化控制

本節以一個樓板結構為例研究人致激勵下TMIS的結構振動控制。當人員活動產生的振動頻率與樓板自振頻率接近時可能造成共振現象，TMIS可以抑制人致激勵下樓板結構的振動響應。以并聯型慣容子系統為例，附加TMIS 的樓板結構如圖20 所示。將該結構與附加TMD 的樓板結構進行對比研究，其中TMD 的調諧質量μt,TMD分別取為0.1、0.3 和0.5，TMD 其余力學元件參數由經典定點理論[4]進行設計。對于TMIS 的設計，同樣采用3.1 節所述的輕量化設計方法，將附加TMD結構的減振比作為設計TMIS 的目標減振比，最小化TMIS 所需的調諧質量大小。

圖20 附加TMIS 的樓板結構示意圖Fig. 20 Floor structure with TMIS

人致激勵下附加TMD 與TMIS 對比研究結果如表8 所示。在達到相同的舒適度控制目標的情況下，TMIS 所需調諧質量最多降低了71.8%；人致激勵下附加TMIS 的樓板結構的加速度響應時程如圖21 所示，表明TMIS 可以使用較小的附加質量有效控制人致激勵下樓板的振動響應。

圖21 人致激勵下附加TMIS 的樓板結構的加速度響應Fig. 21 Acceleration response of floor structure with TMIS under human-induced excitation

表8 人致激勵下TMIS 的輕量化控制效果Table 8 Lightweight effect of TMIS under human-induced excitation

7 結論

目前，得到廣泛應用的調諧質量減震(振)系統TMD 由于需要較大的附加質量，在實際使用中具有一些不足。本文聚焦廣義調諧質量慣容系統TMIS，該系統以具有輕量化特性的慣容系統為特征，內部拓撲連接形式可以多樣化。提出基于性能需求的優化設計方法設計TMIS 的參數，在地震作用、風荷載與人致激勵三種典型激勵下，通過與TMD 的對比研究說明了TMIS 的輕量化減振控制優勢，并通過多自由度結構案例與動力時程分析驗證TMIS 的振動控制效果和特性。本文的研究得到以下結論：

(1)在地震作用、風荷載及人致激勵這三種典型激勵下，附加TMIS 結構的動力響應得到了明顯降低，表明TMIS 能有效實現結構振動控制的性能目標；

(2)基于結構性能需求的TMIS 參數設計方法以減震(振)比作為衡量結構性能的指標，以調諧質量的輕量化為優化目標，可以在達到目標性能需求的同時充分發揮TMIS 在結構振動控制上的優勢；

(3)對比研究表明：TMIS 在達到與經典TMD相同性能目標的情況下，可以顯著降低所需的附加調諧質量，實現輕量化調諧減振。這一特點可以提供輕量化、小型化的綠色高效振動控制裝置，減少調諧減振系統占用的空間，降低成本，使結構調諧減振控制更加經濟；

(4)本文基于單自由度和多自由度結構算例的研究說明TMIS 在結構振動控制領域具有輕量化減振控制特性，且適用于不同典型激勵工況。TMIS輕量化減振的優勢使得TMIS 在實際建筑結構，特別是大跨空間結構、高層、超高層結構中具有應用前景；

(5)本文以兩種力學拓撲形式的TMIS 為例進行研究。相較于以往得到廣泛研究的接地式慣容系統，TMIS 不受接地要求限制，保留了慣容的兩端點慣性特性，可以發揮慣容本身的調諧和耗能增效特性，因而更加靈活，在實際工程應用中具有潛力。

(6)廣義TMIS 并非只有本文所涉及的形式，針對不同應用場景，在具有不同需求的結構體系中應用不同拓撲連接形式的TMIS 進行特定或綜合工況下的振動控制還需要進一步研究。