基于改進式SL0算法的超聲混疊信號分離

陸傳雨，陸銘慧,*，劉浩宇，徐喜浩

1. 南昌航空大學 無損檢測教育部重點實驗室，南昌 330063 2. 中車青島四方機車車輛股份有限公司，青島 266111

鋁合金具有密度小、強度高、加工性能優良等特點，廣泛應用于航空航天領域。真空擴散焊作為一種固相增材制造技術常用于飛行器內部部分復雜鋁合金構件的加工與制作。但在焊接過程中，接頭處可能存在未焊合、弱結合等情況，導致構件內部存在缺陷，影響構件質量，嚴重時甚至會引發飛行事故。因此，對這類焊接構件的無損檢測具有重要意義。

壓電超聲檢測具有檢測靈敏度高，成本低，效率高等特點，在該類金屬構件的檢測中發揮了很好的效果。傳統超聲特征掃描技術將超聲波垂直入射至構件內，通過分析反射回波實現內部缺陷的檢測。但對于等厚的同種材料擴散焊接構件(例如3層等厚鋁合金薄板)，當上、下層界面在某一垂直位置同時存在缺陷時，上層缺陷的二次回波會和下層缺陷的一次回波產生了重疊，導致下層缺陷識別和定位困難，如圖 1所示。本文希望通過算法實現下層界面重疊信號的分離，并對上下層界面的缺陷精確定位。

圖1 重疊缺陷的超聲回波示意圖Fig.1 Schematic diagram of ultrasonic echo waveform of overlapping defects

近些年，稀疏分解方法常被應用于解決此類信號重疊問題。該方法首先選擇一個與原始信號類似的原型原子，然后對原型原子進行參數擴展或字典學習來創造一個過完備字典，最后通過稀疏分解算法選擇精確表示信號的最小原子子集(稀疏表示)來重構原始信號。鄭國軍等采用基于Gabor字典的正交匹配追蹤算法(Orthogonal Matching Pursuit,OMP)對管道軸向缺陷的超聲導波信號進行分解，利用分解后得到的前后兩端信號實現了缺陷定量。燕學智等提出了一種基于近似L0范數約束的新算法，實現了寬帶信號波達方向估計聯合估計。其在低信噪比、小快拍及信源空間間隔較小的情況下，可明顯提高參數估計精度及角度分辨率。Mor等為了解決薄層介質超聲測厚時，上下表面回波混疊的問題，在傳統OMP算法的基礎上提出了一種支持匹配追蹤(Support Matching Pursuit,SMP)算法。該算法通過超聲回波的時間定位特性，成功實現了重疊信號分離。以上方法雖然可以解決部分信號重疊的問題，但當多個信號嚴重重疊時卻不能起到很好的分離效果。因為OMP算法中采用的貪婪迭代思想僅在每次迭代中尋找當前的最優解。對于重疊嚴重的信號，這會使其陷入局部最優解，導致信號分離的結果和真實情況并不匹配。事實上，重疊信號的精確分解與重構問題的難點在于如何令所求得的字典原子子集最稀疏。而這一過程可以抽象為L0范數最小化問題，這也是本文重點想要解決的問題。

L0范數最小化問題的解雖然存在，但這是一個非確定性多項式(NP-hard)問題，無法直接求解。因此，如何找到該問題的近似最優解就成了國內外學者的研究重點。Mohimani等提出了一種平滑化L0范數的方法(SL0算法)。該方法將L0范數替換為一種高斯族函數，通過不斷收縮高斯族函數中的方差來近似逼近L0范數，最終得出最優解。L0算法有著較好的求解結果和較快的求解速度，但由于可行集的等式約束條件限制，使其對于噪聲特別敏感，并不適合實際信號。為了提高SL0算法的魯棒性，消除噪聲的影響， Bu等在SL0算法的基礎上融合了L2范數正則化的思想，提出了一種正則化SL0算法(ReSL0算法)。通過在投影時加入正則化項來平衡最小化L0范數和約束條件之間的限制，成功的抑制了噪聲。但是正則化參數的選取對于一維信號重構有著較大的影響，其取值只能通過試錯法來大概得出。因此，對于真實實驗，該方法仍然需要改進。此外，為了克服SL0在利用梯度下降法近似逼近L0范數過程中所產生的“鋸齒”現象和搜索步長選取困難等問題，進一步提高SL0的性能。趙瑞珍等將SL0算法中近似逼近過程中需要用到的高斯族函數和梯度下降法換成了雙曲反正切函數和修正牛頓迭代法，提出了一種基于光滑L0范數和修正牛頓法的重建算法(NSL0算法),在縮短求解時間并提高計算精度的同時避免了梯度下降法中搜索步長的超參數調節。

為了實現三層等厚鋁合金擴散焊試塊在超聲檢測中波形重疊的問題，本文在傳統SL0算法的基礎上提出一種改進式SL0算法。使用雙曲反正切函數和修正牛頓迭代法代替原本SL0中使用的高斯族函數和梯度下降法，簡化算法流程，以避免部分超參數調節對結果產生的影響。同時，將傳統SL0算法中的等式約束投影條件修改為不等式約束的凸優化問題，以實現對于含噪信號的稀疏分解，增強算法魯棒性，更好地滿足實際需要。

1 算法原理

1.1 稀疏表示

=

(1)

式中：=[,,…,]為在過完備字典上的投影系數，也稱為稀疏向量。由于字典的過完備性，在字典上的表示方式不唯一。而信號的稀疏就表示在選定的過完備字典中用盡可能少的字典原子來(精準地)表示原始信號，其本質即為求解：

(2)

1.2 Gabor字典

由于超聲波信號的基本結構特征與Gabor函數較為相似。因此，利用該函數的時頻參數離散化得到的Gabor字典常常被應用于超聲信號的處理中。Gabor函數達式為

(3)

式中：為時間；()=e-π為高斯函數；為尺度因子，表示函數能量分布情況；為平移因子，表示函數波形出現的具體位置；為頻率調制因子，表示函數主頻；為相位因子，表示函數相位。

1.3 SL0算法

(4)

式中：為投影系數向量=[,,…,]中的一個元素；為投影系數向量的長度，是一個常數；為可變的方差參數。接著采用最速下降算法來逼近()的最大值，其過程可表示為

(5)

(6)

此時得到的解即為滿足式(2)的最優解。以上即為SL0算法的基本流程。但由于式(5)中必須滿足可行集=的要求，當信號含噪時會出現過擬合的現象，無法很好地得到稀疏解。為了滿足本文中的真實含噪信號的稀疏表示，需要對SL0算法進行一些改進。

2 改進式SL0算法

為了解決傳統的SL0算法中存在超參數較多、對含噪信號分解效果差等問題，對SL0算法進行了3處優化：

1) 采用OMP算法來計算初始解。在傳統SL0算法中，常采用=的最小二乘解作為初始化解。但在含噪信號中，這樣得到的初始解往往混亂且巨大，使得前期大部分迭代并沒有發揮作用。而用OMP算法得到的初始解能夠很好地給出稀疏系數的取值范圍，減少無用的迭代過程，加快運算速度。

2) 采用修正牛頓迭代算法和雙曲正切函數來優化迭代過程：傳統SL0算法中使得的梯度下降算法在迭代過程中存在鋸齒現象、收斂性較差、步長參數難以確定等問題。而采用修正牛頓迭代算法和雙曲正切函數(式(7))來進行迭代不僅克服了梯度下降算法的缺陷，還擁有更簡潔的函數表示形式(式(8))，也加快了迭代的速度。

(7)

(8)

3) 采用凸二次規劃代替傳統SL0中等式約束條件：傳統SL0算法在投影時采用=的約束條件對于噪聲非常敏感。為了增強算法的魯棒性，改進了投影方式如下：

(9)

式中：為可允許的最大誤差。通過將原本的等式約束條件放寬為不等式約束，從而減少噪聲對算法的影響，得到更接近原始信號的解。

本文改進式SL0算法的流程大致可以分為3個部分：初始化參數、內外雙循環迭代、輸出結果。其具體步驟如圖 2所示。

圖 2 改進式SL0算法流程圖Fig.2 Flow chart of the improved SL0 algorithm

初始化參數。首先，利用OMP算法和過完備字典獲取初始解。接著，從遞減序列[,,…,]中選取光滑函數的參數=(其中：=-1，∈[05～1],本文取=0.7;初始參數=1，序列最小值不小于0.001)。最后，設定可允許的噪聲導致的誤差項。

1) 外部循環：確定光滑函數參數=，執行內部循環。當內部循環滿足終止條件時，令=+1并更新光滑函數參數，重復運行循環直到<1×10后停止。

輸出結果：最終得到的即為信號的最稀疏表示。

3 實驗結果及分析

3.1 試塊與實驗平臺

為了模擬實際工件中存在的缺陷重疊現象，將3塊等厚鋁板(100 mm×100 mm×10 mm)擴散焊接，制作成一件標準試塊。其中每兩層鋁板間制作了高度為0.5 mm、直徑為2 mm的圓柱形人工缺陷。根據所處位置的不同將這些缺陷分為3種情況：① 僅上層界面存在缺陷；② 僅下層界面存在缺陷；③ 上下2層界面存在重疊缺陷。試塊及內部缺陷的示意圖及實物圖如圖 3所示。

圖3 標準試塊示意及實物Fig.3 Schematic diagram and physical image of standard test block

為了獲得標準試塊中各位置的超聲波形，采用中心頻率為10 MHz的超聲探頭和水浸式超聲特征掃描裝置對試塊進行了全波列掃查。該裝置由控制與處理系統、機械傳動裝置、超聲信號發射接收裝置3個部分組成，其示意圖和實物圖如圖4 所示。在進行掃查時，控制系統先向機械傳動系統發出指令，使其帶動超聲信號發射接收裝置對整個工作平面內所有位置的超聲信號進行采集，接著將采集好的信號返回處理系統進行后期處理。為了提高掃查精度，該裝置在橫軸和縱軸方向的掃查步進都為0.2 mm，掃查區域面積為100 mm×100 mm，采集卡的采樣頻率為200 MHz，單個位置的接收信號長度為2 573個點。

圖4 實驗平臺示意及實物圖Fig.4 Schematic diagram and physical map of experimental platform

3.2 信號分析和預處理

利用超聲特征掃描裝置采集了標準試塊中的全部波列，并繪制出3種不同位置下的缺陷波形如圖 5所示。通過對下層界面的超聲回波進行了局部放大處理可以明顯看出3種不同下缺陷波形的區別。事實上，由于擴散焊接所處的高溫高壓環境對鋁板的厚度有一定影響，所以本該完全重合的回波波形僅由大部分發生了重疊這也為后續的信號分離提供了可能。

圖5 超聲A-Scan在3種不同位置的接收波形Fig.5 Acoustic echos received by ultrasonic A-scan at three different positions

接下來，通過小波變換對圖 5中3種不同情況下的超聲回波進行了時頻聯合分析，其時頻圖如圖 6所示。

圖6 下層界面超聲回波時頻圖Fig.6 Time-frequency diagram of ultrasonic echo from lower interface

從圖 6中可以得出,超聲回波信號時域占寬約為4.5×10,頻帶寬度約為8～10 MHz。通過對單位時間內的噪聲能量進行計算,得到在含噪情況下可允許的最大誤差為=015。下文將利用這些條件來對重疊信號進行稀疏分解。

3.3 信號分解與重構

為了更好地實現含噪超聲重疊信號的稀疏表示，采用與超聲信號具有相似結構特征的Gabor字典作為過完備字典。同時，根據3.2節中對真實信號的分析，本文限定了部分參數的取值范圍，減少了過完備字典原子數量。這樣不僅降低了計算量，還能提高算法的性能。其中，字典原子的尺度參數設定為6×10；時移參數范圍為0～1.5 μs(以2.5×10μs為步進)；頻率參數范圍為8～9.8 MHz(以0.2 MHz為步進)；相位參數范圍為0～17 π/18 rad(以π/18 rad為步進)。這樣不僅降低了計算量，還能提高算法的性能。

在上述條件下生成的尺寸為300×10 980的過完備字典中依舊存在大量與原始信號沒有太大關系的字典原子。為了進一步減少無關原子的影響，提高運行速度，本文僅取和原始信號內積大于0.2 的原子，利用它們組成尺寸為300×785的新字典來進行下面的運算。

在確定了過完備字典和可允許的最大誤差=015后，利用改進式SL0算法對標準試塊中采集到的超聲重疊信號(見圖7(a))進行稀疏化處理，得到如圖7(b)所示的稀疏向量。從圖 7中可以看出，稀疏向量中僅存在3個不為0的值，它們分別代表原子序號為280、289、600的3個不同的字典原子，這3個字典原子如圖7(c)所示。

圖7 混疊超聲回波的稀疏分解結果Fig.7 Sparse decomposition results of aliased ultrasonic echoes

通過圖7(c)可以看出，由于過完備字典的冗余性，算法選出了序號為280、289的2個特征參數幾乎相同的原子。由于這2個原子的參數幾乎相同,顯然表示的是同一個信號。為了去除沉余,更好地描述該信號，將這2個原子組合成一個新原子(新原子的幅值序號為280,289的2個原子幅值之和,原子參數280原子相同)，并將其命名為1號原子。同時，將序號為600的原子命名為2號原子。它們的參數信息如表1所示。

表1 稀疏分解后的原子及其參數

因此，該算法實際上將原始信號分解成了1號、2號2個原子。它們和原始信號的對比如圖8所示。

圖8 稀疏表示原子及其重構信號Fig.8 Atoms obtained by sparse decomposition and their reconstructed signals

由圖 8可知，在完美還原原始信號的同時，改進式SL0算法不僅避免了原始信號中噪聲的影響，還極大程度地對原始信號進行了稀疏化。為了驗證該算法得到的原子是否能夠還原真實情況，將標準試塊切開，利用游標卡尺分別測得上界面缺陷、下界面缺陷到上表面的距離，并將真實數據與通過分解信號的時移信息計算出的深度數據進行對比，結果如表2所示。

表2 缺陷深度數據對比Table 2 Comparison of defect depth data

表2中的原子聲程指的是稀疏分解后得到每個原子所處位置的聲程，而計算深度則是指利用聲程和事先測得的試塊中聲速(本文中的鋁合金擴散焊接試塊的聲速約為6 130 m/s)計算得到的缺陷深度。顯然，改進式SL0算法得到的深度信息和真實數據很接近。并且，2個原子的相位信息也幾乎一致，滿足聲波在鋁中的傳播特性。因此可以近似認為該算法分離出的2個信號就是構成重疊信號的2個原始信號。

此外，為了進一步說明改進式SL0算法在含噪信號的稀疏與重構方面的優越性，對OMP、SL0、NSL0、ReSL0、改進式SL0這5種算法對超聲重疊信號的稀疏和重構效果進行詳細對比。其中，對超聲重疊信號的稀疏化結果如圖9所示。

圖9中，各算法對原始超聲混疊信號的稀疏效果有著明顯差異。其中，SL0和NSL0算法的效果最差。這2種算法都對噪聲很敏感，它們使用了大量無關原子來擬合原始信號中的噪聲。ReSL0算法在一定程度上降低了信號中噪聲對稀疏分解結果的干擾，但是，該算法中引入的正則化參數需要人為設定，再通過多次嘗試來接近最稀疏的情況，這種算法得到的結果往往不是最好的稀疏結果。而OMP算法雖然具有很好的稀疏化效果，且幾乎不受噪聲影響，但它采用貪婪迭代的思想,僅考慮當前步驟最優結果，使其稀疏結果和真實情況并不一致。

圖10給出了利用不同算法得到的稀疏向量重構原始信號的結果。其中，SL0和NSL0算法的擬合結果具有更多的噪聲細節，這也和稀疏表示結果相對應。而OMP、ReSL0和改進式SL0算法的重構結果類似，都和原始信號有著很高的相似性。結合稀疏表示結果和重構圖像可以看出，不同的稀疏方法雖然都能實現原始信號的分解，但是只有改進式SL0算法能夠有效實現含噪的超聲重疊信號的最稀疏化。

圖9 超聲重疊信號的稀疏表示結果Fig.9 Sparse representation results of ultrasonic aliasing signals

圖10 利用稀疏向量對原始信號的重構結果Fig.10 Reconstruction result of original signal using sparse vector

4 結 論

研究了稀疏表示方法對于超聲重疊信號的分離。針對傳統SL0算法對噪聲敏感、稀疏能力表現一般、超參數較多等問題，提出了一種改進式SL0算法。該算法將原本的等式約束的投影條件換成了不等式約束的凸優化問題，在實現含噪信號稀疏化的同時提高了稀疏能力。通過使用雙曲反正切函數和修正牛頓迭代，不僅克服了梯度下降法的弊端，還減少了超參數。對真實超聲信號的實驗結果表明，相比于其他常見的稀疏算法，該算法能更好地實現含噪信號的稀疏表示，且分離出的信號與真實情況一致。