耦合四連桿機(jī)構(gòu)等效剛度計(jì)算

黃 雙， 武 欣， 李培興

(上海工程技術(shù)大學(xué) 機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院， 上海 201620)

紡織機(jī)械裝備中，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是重要的執(zhí)行機(jī)構(gòu)，如簇絨地毯織機(jī)和經(jīng)編機(jī)等[1-3]。以簇絨地毯織機(jī)為例，簇絨地毯的織造質(zhì)量主要取決于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性和動(dòng)力學(xué)特性，織造效率主要取決于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速[4]。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)會(huì)引起紗線(xiàn)的張力波動(dòng)，使得紗線(xiàn)的喂紗量無(wú)法達(dá)到指定數(shù)值，從而影響地毯毯面質(zhì)量[5-6]。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)還會(huì)加速各配合零部件間的磨損，減少設(shè)備的使用壽命。另外，根據(jù)對(duì)簇絨地毯織機(jī)整機(jī)噪聲源識(shí)別和定位可知，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)振動(dòng)是整機(jī)噪聲的主要來(lái)源。因此，清晰了解轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)特性有著重要意義。為了準(zhǔn)確求解轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)特性，各轉(zhuǎn)子間耦合四連桿機(jī)構(gòu)的等效剛度(包括線(xiàn)剛度和轉(zhuǎn)動(dòng)剛度)的取值尤為重要。

目前，關(guān)于多轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中耦合單元四連桿機(jī)構(gòu)的等效剛度計(jì)算研究相對(duì)較少，大部分學(xué)者主要集中于研究四連桿機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)特性。張建軍等[7]利用歐拉公式建立了四連桿機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，采用MATLAB/Simulink建立運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真模型，對(duì)四連桿機(jī)構(gòu)中各構(gòu)件的角位移、角速度和角加速度進(jìn)行求解；郭文靜等[8]利用MATLAB對(duì)鋁錠連鑄及接錠裝置的運(yùn)動(dòng)軌跡、速度和加速度等運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行分析；基于多體動(dòng)力學(xué)原理，李園園等[9]運(yùn)用四階Runge-Kutta法分析鉸鏈間隙關(guān)節(jié)位置、數(shù)量和潤(rùn)滑對(duì)空載四連桿機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性。Tari等[10]提出了基于多項(xiàng)式法對(duì)柔性四桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程和靜態(tài)方程解耦。

針對(duì)簇絨地毯織機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，課題組采用能量法對(duì)針曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的等效線(xiàn)剛度和等效轉(zhuǎn)動(dòng)剛度進(jìn)行研究，為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中等效剛度的求解提供了一種新的思路。

1 簇絨地毯織機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)介

簇絨地毯織機(jī)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)如圖1所示，由主軸、針軸和鉤軸3轉(zhuǎn)子組成，3轉(zhuǎn)子之間由針曲柄搖桿機(jī)構(gòu)和鉤曲柄搖桿機(jī)構(gòu)耦合而成。在針軸上，均勻布置著10套針搖桿滑塊機(jī)構(gòu)，通過(guò)滑塊的往復(fù)上下運(yùn)動(dòng)，帶動(dòng)針排運(yùn)動(dòng)，完成針的穿刺運(yùn)動(dòng)。在鉤軸上，均勻布置著10套鉤擺桿機(jī)構(gòu)，通過(guò)與針機(jī)構(gòu)的精確配合，鉤的左右擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)帶動(dòng)紗線(xiàn)形成絨圈。

圖1 簇絨地毯織機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Figure 1 Structure of tufted carpet loom rotor system

在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，主軸和針軸之間通過(guò)針曲柄搖桿機(jī)構(gòu)傳遞動(dòng)力，主軸和鉤軸之間通過(guò)鉤曲柄搖桿機(jī)構(gòu)傳遞動(dòng)力。在求解轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)特性(包括固有頻率、臨界轉(zhuǎn)速和振型)等時(shí)，針曲柄搖桿機(jī)構(gòu)需等效為具有線(xiàn)剛度Kh和轉(zhuǎn)動(dòng)剛度Kc的彈簧，如圖2所示。為了得到正確的振動(dòng)特性結(jié)果，等效線(xiàn)剛度和等效轉(zhuǎn)動(dòng)剛度的參數(shù)值顯得尤為重要。

圖2 針曲柄搖桿機(jī)構(gòu)Figure 2 Schematic of needle crank rocker mechanism

2 基于能量法的等效剛度計(jì)算

2.1 能量法原理簡(jiǎn)介

根據(jù)能量守恒原理，積蓄在彈性體內(nèi)的應(yīng)變能Vε在數(shù)值上等于載荷所作的功W，即Vε=W。能量法是基于功能原理求解彈性體變形及位移等的一種方法。彈性體在拉伸、扭轉(zhuǎn)和彎曲組合變形時(shí)，微段截面上內(nèi)力有軸力F、扭矩Mx和彎矩M，分別產(chǎn)生的位移為d(Δl),d(θ)和d(φ)。已知彈性體的彈性模量為E，截面面積為A，剪切彈性模量為G，橫截面的極慣性矩為Ip，橫截面對(duì)中心軸的慣性矩為I。在彈性體微段上的應(yīng)變能為各種內(nèi)力在該微段上各自產(chǎn)生應(yīng)變能的積，即：

(1)

若桿長(zhǎng)為l，則

(2)

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在正常運(yùn)轉(zhuǎn)下，針曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)一直處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。基于能量法求解等效剛度時(shí)，需將整個(gè)針曲柄搖桿機(jī)構(gòu)看成36個(gè)剛架，每轉(zhuǎn)動(dòng)10°為1個(gè)剛架，通過(guò)求解每一個(gè)剛架的線(xiàn)剛度和轉(zhuǎn)動(dòng)剛度，從而得到曲柄搖桿機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的剛度值。

2.2 等效線(xiàn)剛度計(jì)算

以針曲柄搖桿機(jī)構(gòu)為例，采用能量法進(jìn)行求解。依據(jù)圖2(a)，針曲柄搖桿機(jī)構(gòu)可以簡(jiǎn)化為如圖3所示的剛架，將曲柄、連桿及搖桿視為OA,AB和BO′。圖3中，li(i=1,2,3)為各桿長(zhǎng)度，l4為OO′之間的距離。α,β和γ分別為桿l1,l2和l3與水平線(xiàn)之間的夾角。為了求得針曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的線(xiàn)剛度，對(duì)O′點(diǎn)施加單位載荷，即F=1 N，此時(shí)O′的位移值xO′的倒數(shù)為所求的線(xiàn)剛度Kh。在O′點(diǎn)施加單位載荷F后，分別對(duì)OA桿、AB桿和BO′桿進(jìn)行受力分析，如圖4所示。通過(guò)受力分析，各桿的軸力和彎矩值如表1所示。

圖3 求解等效線(xiàn)剛度時(shí)施加的外力Figure 3 External force applied when solving equivalent linear stiffness

表1 各桿軸力和彎矩值

對(duì)于A(yíng)B桿，為了滿(mǎn)足受力平衡，需滿(mǎn)足：

-Fl2sinγ+Fl3sinβ=Fl1sinα。

(3)

基于能量法可知，應(yīng)變能Vε在數(shù)值上等于載荷所作的功WF，因此：

WF=Vε。

(4)

此時(shí)，

(5)

其中：

(6)

(7)

式中：E1,E2和E3分別為3桿件的彈性模量；A1,A2和A3分別為3桿件的平均截面面積；I1,I2和I3分別為3桿件橫截面對(duì)中心軸的慣性矩。

通過(guò)式(5)、式(6)和式(7)，可由式(8)求得xO′。

(8)

2.3 等效轉(zhuǎn)動(dòng)剛度計(jì)算

為了求解針曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的等效轉(zhuǎn)動(dòng)剛度，對(duì)O′施加單位彎矩M，即M=1 N·m，如圖5所示。在施加單位力矩后，再次對(duì)OA桿、AB桿和BO′桿進(jìn)行受力分析，如圖6所示。通過(guò)受力分析，各桿的軸力和彎矩值如表2所示。

圖5 求解等效轉(zhuǎn)動(dòng)剛度時(shí)施加的外力矩Figure 5 External torque applied when solving equivalent rotational stiffness

圖6 各桿的受力分析圖Figure 6 Stress analysis diagram of each rod

表2 各桿軸力和彎矩值

對(duì)于A(yíng)B桿，為了滿(mǎn)足受力平衡，需滿(mǎn)足：

(9)

基于能量法，應(yīng)變能Vε在數(shù)值上等于載荷所作的功WM，可知：

WM=Vε。

(10)

此時(shí)：

(11)

其中：

(12)

(13)

由式(11)～(13)，可得：

(14)

3 參數(shù)計(jì)算及求解

3.1 參數(shù)計(jì)算

在簇絨地毯織機(jī)的針曲柄搖桿機(jī)構(gòu)中，桿長(zhǎng)l1=15 mm，l2=138 mm，l3=115 mm，l4=170 mm；彈性模量E1,E2和E3均為210 MPa；截面面積A1=0.033 0 m2，A2=0.008 1 m2，A3=0.013 2 m2；橫截面對(duì)中心軸的慣性矩I1=1.49×10-5m4，I2=5.46×10-6m4，I3=2.35×10-5m4。針曲柄搖桿機(jī)構(gòu)在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，各桿之間的角度關(guān)系如表3所示。

表3 角度參數(shù)值

3.2 求解及結(jié)果對(duì)比

將3.1中的各個(gè)參數(shù)代入式(8)和式(14)，可求得針曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的等效線(xiàn)剛度和轉(zhuǎn)動(dòng)剛度。基于能量法所求得的Kh和Kc剛度值，如圖7所示。圖7(a)中，以曲柄的夾角0°為起始點(diǎn)，在曲柄為100°時(shí)，最大線(xiàn)剛度為3.46×106N/m；曲柄為280°時(shí)，最小線(xiàn)剛度為1.35×106N/m，平均線(xiàn)剛度為2.27×106N/m。圖7(b)中，整體的針曲柄搖桿等效轉(zhuǎn)動(dòng)剛度在2.46×104～3.89×104N·m/rad之間變化，平均值為3.14×104N·m/rad。由于針曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的等效線(xiàn)剛度和轉(zhuǎn)動(dòng)剛度均變化較大，故在進(jìn)行振動(dòng)特性分析時(shí)，不能將該剛度值視為常數(shù)，應(yīng)考慮時(shí)變參數(shù)對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)性能的影響。

圖7 Kh和Kc剛度值與曲柄轉(zhuǎn)角關(guān)系曲線(xiàn)Figure 7 Curve of stiffness value and crank angle of Kh and Kc

4 結(jié)論

課題組通過(guò)對(duì)各桿進(jìn)行受力分析，采用能量法對(duì)多轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中的耦聯(lián)四連桿機(jī)構(gòu)等效線(xiàn)剛度和轉(zhuǎn)動(dòng)剛度進(jìn)行了計(jì)算，并分析等效剛度的曲線(xiàn)特點(diǎn)。研究結(jié)果表明在求取振動(dòng)特性時(shí)，等效線(xiàn)剛度和轉(zhuǎn)動(dòng)剛度為時(shí)變剛度。該結(jié)果為振動(dòng)特性的求解提供了重要參數(shù)。對(duì)于不同的四連桿機(jī)構(gòu)，其具體結(jié)構(gòu)對(duì)剛度的計(jì)算結(jié)果有很大的影響，但本研究的方法和結(jié)果可作為一般借鑒。后續(xù)將采用實(shí)驗(yàn)方法對(duì)本結(jié)果進(jìn)行進(jìn)一步驗(yàn)證，并將討論時(shí)變剛度對(duì)耦聯(lián)軸系系統(tǒng)振動(dòng)和噪聲特性的影響。