多目標(biāo)粒子群算法在地鐵速度曲線優(yōu)化中的應(yīng)用

黃江平,鐘曉靜

(華東交通大學(xué)電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院,南昌 330013)

隨著城軌列車運(yùn)營里程的增加，城市軌道交通系統(tǒng)面臨的壓力也越來越大，要求最大程度地減少能源消耗，降低其運(yùn)營成本和對(duì)環(huán)境影響[1]。截止2019年底，全國城市軌道交通運(yùn)營里程從2064 km增長到6333.3 km。據(jù)統(tǒng)計(jì)，我國城市軌道交通每年用電量約15.26億kW·h[2]，同時(shí)，根據(jù)現(xiàn)有城市軌道交通能耗數(shù)據(jù)顯示，列車牽引是列車耗能的主要因素，約為總能耗的50%[3]。因此，研究降低列車牽引能耗方法，對(duì)城市軌道交通建設(shè)具有重要的價(jià)值和意義。

HOWLETT等[4-5]用最大值原理證明了在直線道路上最佳駕駛策略是4種模式的組合，包括牽引、巡航、惰行和制動(dòng)；MIYATAKE等[6]討論了再生制動(dòng)的列車節(jié)能策略，比較了梯度法、二次規(guī)劃法的優(yōu)劣。智能算法的迅速發(fā)展也為列車運(yùn)行優(yōu)化提供了更好的選擇方案，段玉瓊等[7]提出基于人工蜂群算法與操縱工況序列相結(jié)合的方法來優(yōu)化計(jì)算，確定高速列車操縱工況關(guān)鍵轉(zhuǎn)換點(diǎn)最優(yōu)位置和速度。與此同時(shí)，李旭陽等[8]應(yīng)用“四階段”最優(yōu)運(yùn)行策略，以牽引能耗值和運(yùn)行時(shí)間誤差的權(quán)重作為目標(biāo)函數(shù)，采用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化；SHANG GUAN等[9]將時(shí)間和能耗作為2個(gè)優(yōu)化目標(biāo)，混合差分和模擬退火2種進(jìn)化算法求解最優(yōu)運(yùn)行曲線。國內(nèi)外學(xué)者雖然都對(duì)列車駕駛策略和運(yùn)行曲線優(yōu)化進(jìn)行了深入研究，但在其選擇上還有一些不足。比如，駕駛策略通常采用長時(shí)間巡航運(yùn)行，以至在復(fù)雜路況下為保持勻速，列車需在“牽引-制動(dòng)”下反復(fù)切換，導(dǎo)致能耗過大；而常規(guī)處理多目標(biāo)問題的算法，通常是對(duì)多個(gè)目標(biāo)進(jìn)行加權(quán)求和，將其轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)問題進(jìn)行處理，這可能導(dǎo)致最終結(jié)果波動(dòng)較大；同時(shí)，為便于分析計(jì)算往往采用單質(zhì)點(diǎn)模型，不符合實(shí)際線路阻力變化情況。

綜上所述，針對(duì)單質(zhì)點(diǎn)和多質(zhì)點(diǎn)建模的區(qū)別，同時(shí)考慮惰行工況對(duì)列車牽引能耗的影響，設(shè)置不同的控制策略加以比較，以列車運(yùn)行時(shí)間和能耗作為優(yōu)化目標(biāo)，采用基于自適應(yīng)網(wǎng)格的多目標(biāo)粒子群算法，并對(duì)慣性權(quán)重采用線性微分遞減法處理，獲得Pareto[10]最優(yōu)解集后，再結(jié)合模糊隸屬度函數(shù)篩選最優(yōu)方案，并與常規(guī)粒子群算法進(jìn)行對(duì)比。最后，采用北京某地鐵線路數(shù)據(jù)對(duì)算法進(jìn)行驗(yàn)證。

1 列車模型構(gòu)建

1.1 模型分析

為簡化分析，通常將列車看成有質(zhì)量無長度的單質(zhì)點(diǎn)[11]，而單質(zhì)點(diǎn)模型在經(jīng)過變坡點(diǎn)或變曲率點(diǎn)時(shí)列車所受附加阻力會(huì)發(fā)生突變，這與實(shí)際的附加阻力變化情況不符。因此，在單質(zhì)點(diǎn)模型基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，將列車視為多個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)鏈，將每節(jié)車廂視為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，同時(shí)每節(jié)車廂之間為剛性連接[12]，每節(jié)車廂的運(yùn)行狀態(tài)與整個(gè)列車的運(yùn)行狀態(tài)相同。

由于多質(zhì)點(diǎn)模型未忽略列車長度，故在實(shí)際線路中列車阻力變化情況與單質(zhì)點(diǎn)模型不同。列車所受附加阻力中，隧道附加阻力只與隧道長度有關(guān)，模型影響不大，因此，主要分析不同模型下坡道及曲線附加阻力的變化情況。圖1分別給出列車在不同模型下附加阻力的變化，仿真時(shí)以列車前端作為參照點(diǎn)。

圖1 附加阻力變化

通過仿真結(jié)果可知，列車在經(jīng)過變坡點(diǎn)及變曲率點(diǎn)的過程，坡道和曲線附加阻力是一個(gè)逐漸變化的過程，與單質(zhì)點(diǎn)模型的突變相比多質(zhì)點(diǎn)模型更貼合實(shí)際，減少誤差。

1.2 列車運(yùn)動(dòng)方程

對(duì)列車的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行受力分析，通過牛頓第二定律推導(dǎo)，得出列車運(yùn)動(dòng)方程。

(1)

(2)

W(v)=(w1+w2+w3+w0)×G×M/1 000

(3)

w0=a+bv+cv2

(4)

式中，x為列車的位置；F牽為牽引力；B0為制動(dòng)力；W(v)為列車運(yùn)行阻力，w0為單位基本阻力，其中，a、b和c是與列車外觀和機(jī)械結(jié)構(gòu)相關(guān)的常數(shù)，w1為單位坡道附加阻力，w2為單位曲線附加阻力，w3為單位隧道附加阻力；ηq為牽引力使用系數(shù)；ηz為制動(dòng)力使用系數(shù)；M為列車質(zhì)量；γ為回轉(zhuǎn)質(zhì)量系數(shù)；G為重力加速度，通常取9.8 m/s2。

2 優(yōu)化模型構(gòu)建

列車優(yōu)化問題是研究列車在運(yùn)行過程中滿足運(yùn)行位移、限制速度、工況轉(zhuǎn)換等約束條件下，搜尋最佳工況切換點(diǎn)。通過優(yōu)化算法對(duì)建立的優(yōu)化模型進(jìn)行處理，獲得最優(yōu)的速度-距離曲線。

2.1 目標(biāo)方程

列車運(yùn)行狀態(tài)通常有4種：牽引，巡航，惰行，制動(dòng)。在此基礎(chǔ)上對(duì)牽引總能耗E和運(yùn)行時(shí)間T兩個(gè)優(yōu)化目標(biāo)建立關(guān)系式。

(5)

(6)

式中，s為兩站間的區(qū)間長度；x為列車運(yùn)行時(shí)的位置；δ為再生制動(dòng)反饋能量的效率。

2.2 評(píng)價(jià)指標(biāo)

在保證列車準(zhǔn)時(shí)性的同時(shí)，力求降低列車運(yùn)行過程牽引能耗，將fE和fT作為評(píng)價(jià)指標(biāo)。

fE=E

(7)

fT=T

(8)

式中，E為列車在整個(gè)區(qū)間的牽引能耗；T為列車實(shí)際運(yùn)行時(shí)間。

2.3 目標(biāo)及約束條件

根據(jù)上述目標(biāo)方程和評(píng)價(jià)指標(biāo)公式，建立多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型如下。

目標(biāo)函數(shù)

F=min(fE，fT)

(9)

約束條件

(10)

式中，V0和Vd分別為列車起始速度及終止速度；Vlim為區(qū)間線路的限制速度；X為列車最終運(yùn)行位移，x為線路實(shí)際長度；T0為列車計(jì)劃運(yùn)行時(shí)間。

2.4 駕駛策略選擇

傳統(tǒng)的ATO駕駛策略在牽引過程后，列車通常將進(jìn)入巡航工況，而在復(fù)雜的短距離路段中，長時(shí)間保持勻速會(huì)使得列車在牽引和制動(dòng)之間反復(fù)切換，損耗很大[13]。因此，用牽引和惰行工況來代替巡航工況可有效降低列車牽引能耗。如圖2所示，將駕駛策略分為未加入惰行、加入一次惰行及加入多次惰行3種控制策略。

圖2 列車控制策略

3 速度曲線優(yōu)化算法

采用一種基于自適應(yīng)網(wǎng)格的多目標(biāo)粒子群算法(MOPSO based on adaptive grid algorithm，簡稱AGA-MOPSO)[14]，將Pareto解集的概念引入到算法中，對(duì)每次迭代產(chǎn)生的Pareto最優(yōu)粒子進(jìn)行存檔[15]。與將多目標(biāo)加權(quán)求和轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)的傳統(tǒng)粒子群算法相比，該算法無論是在可行解的多樣性及穩(wěn)定性上，還是最后的優(yōu)化效果上都更加出色。

3.1 基于自適應(yīng)網(wǎng)格的MOPSO算法

算法求解的具體步驟如下。

(1)設(shè)置算法參數(shù)。種群數(shù)量M，外部存儲(chǔ)數(shù)量N，加速度常量C1和C2，慣性權(quán)重Wmax，Wmin及粒子的維度(即工況轉(zhuǎn)換點(diǎn)的個(gè)數(shù))。

(2)初始化粒子種群，包括粒子群的位置pop[i](列車運(yùn)行可能的工況轉(zhuǎn)換點(diǎn))，速度V[i](工況轉(zhuǎn)換點(diǎn)位置改變的量)。

(3)計(jì)算粒子目標(biāo)函數(shù)值，確定粒子個(gè)體最優(yōu)位置pbest[i]。構(gòu)建自適應(yīng)網(wǎng)格，通過Archive集中粒子的密度信息來選擇出全局最優(yōu)粒子gbest[i]。

(4)更新粒子群中粒子位置和速度公式。

V[i]=W×V[i]+rand( )×C1×(pbest[i]-

pop[i])+rand( )×C2×(gbest[i]-pop[i])

(11)

pop[i]=pop[i]+V[i]

(12)

式中，rand( )為范圍[0，1]內(nèi)的隨機(jī)數(shù)。

(5)計(jì)算各個(gè)粒子的評(píng)價(jià)指標(biāo)，利用支配關(guān)系更新個(gè)體最優(yōu)粒子pbest[i]。

(6)對(duì)Archive集進(jìn)行更新，同時(shí)對(duì)Archive集進(jìn)行截?cái)啵Ａ鬘個(gè)最優(yōu)解。

(7)判斷是否滿足設(shè)定的迭代次數(shù)，若否,則跳出程序，否則跳至第三步。若是，則結(jié)束迭代，輸出Archive解集。

3.1.1 自適應(yīng)網(wǎng)格的構(gòu)建

把目標(biāo)空間E-T(能耗-時(shí)間)以M×M的方式劃分為M2個(gè)網(wǎng)格，每個(gè)網(wǎng)格的長寬計(jì)算如下

(13)

(14)

式中，M為Archive解集在當(dāng)前迭代中解的個(gè)數(shù)；maxEt，minEt分別為迭代t次時(shí)Archive解集中列車運(yùn)行能耗的最大和最小值；maxTt和minTt分別為迭代t次時(shí)列車運(yùn)行時(shí)間的最大和最小值。

統(tǒng)計(jì)每個(gè)網(wǎng)格中粒子數(shù)量，將一個(gè)網(wǎng)格內(nèi)解的個(gè)數(shù)作為粒子分布密度。圖3給出了網(wǎng)格構(gòu)建示意。

圖3 自適應(yīng)網(wǎng)格構(gòu)建

3.1.2 Archive集的截?cái)?/p>

為維持Archive集中解的數(shù)量，保證解分布的多樣性及算法的全局搜索能力，要對(duì)外部存檔進(jìn)行刪除。通過式(15)來計(jì)算粒子數(shù)量大于1的網(wǎng)格中要隨機(jī)刪除的粒子個(gè)數(shù)P。

(15)

式中，Int( )為取整函數(shù)；A為Archive集中的粒子數(shù)；N為要保留最優(yōu)解的個(gè)數(shù)；Di為網(wǎng)格i的粒子個(gè)數(shù)。

3.2 慣性權(quán)重W

慣性權(quán)重W的變化對(duì)算法搜索能力有很大影響。與傳統(tǒng)的線性遞減法相比，采用線性微分遞減法可以快速地收斂逼近于全局最優(yōu)值，提高運(yùn)算效率。W計(jì)算公式如下

(16)

式中，Wmax為慣性權(quán)重最大值；Wmin為慣性權(quán)重最小值；ta為總迭代次數(shù)；t為當(dāng)前迭代次數(shù)。

3.3 Pareto解集中最優(yōu)方案選擇

采用模糊隸屬度函數(shù)[16]對(duì)得到的Pareto解集中的每個(gè)解進(jìn)行評(píng)價(jià)，以此來選出所有解中的最優(yōu)方案。模糊隸屬度函數(shù)如下

(17)

(18)

式中，UE，UT分別為能耗和準(zhǔn)點(diǎn)誤差的隸屬度值；Emax和Emin分別為Pareto解集中能耗的最大、最小值；Ei為第i個(gè)解的能耗；T0為計(jì)劃運(yùn)行時(shí)間；Ti為第i個(gè)解的運(yùn)行時(shí)間；Te為距離計(jì)劃時(shí)間的誤差。最優(yōu)駕駛方案為UE與UT的和為最小值所對(duì)應(yīng)的Pareto解。

4 仿真與分析

4.1 仿真參數(shù)設(shè)置

為驗(yàn)證算法的有效性，以北京地鐵常用的B型列車為研究對(duì)象[17]，選取北京某段地鐵線路進(jìn)行仿真研究。算法參數(shù)和線路基本參數(shù)分別如表1、表2所示，區(qū)間長2 810 m，最大坡度7‰，最大限速80 km/h，列車計(jì)劃運(yùn)行時(shí)間為190 s，列車實(shí)際運(yùn)行時(shí)間為180～200 s，誤差為±10 s。

表1 算法參數(shù)

4.2 兩種算法分析對(duì)比

將傳統(tǒng)PSO算法和AGA-MOPSO算法在相同駕駛策略下進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。兩種算法獲得的解如圖4所示。其中，PSO算法通過加權(quán)求和，將其轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)優(yōu)化問題，獲得唯一最優(yōu)解；而AGA-MOPSO引入Pareto解原理，獲得一組由時(shí)間-能耗平衡的Pareto解集。

表2 線路參數(shù)

通過模糊隸屬度函數(shù)對(duì)Pareto解集中的所有解進(jìn)行評(píng)價(jià)，選出最優(yōu)方案，如表3所示。與PSO相比，AGA-MOPSO獲得的最優(yōu)解在更加準(zhǔn)時(shí)的同時(shí)可節(jié)能達(dá)7.4%。

圖4 兩種算法的解

表3 最優(yōu)方案對(duì)比

分別將兩種算法獨(dú)立運(yùn)行20次，得到了每次優(yōu)化獲得的最優(yōu)解的時(shí)間-能耗，如圖5所示。

為比較兩組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度，采用平均值、標(biāo)準(zhǔn)差及方差作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，分別對(duì)兩種算法下的時(shí)間誤差-能耗兩個(gè)變量進(jìn)行比較。

如表4所示，兩種算法時(shí)間誤差波動(dòng)范圍為2.12 s和2.76 s，相對(duì)于計(jì)劃運(yùn)行時(shí)間190 s來說影響不大，因此，時(shí)間誤差波動(dòng)可忽略，主要對(duì)能耗變量的波動(dòng)進(jìn)行描述。其中，PSO算法得到的能耗波動(dòng)范圍為2.02 kW·h，平均值為13.89 kW·h，方差為0.497；與之相比AGA-MOPSO算法的能耗波動(dòng)范圍更小為1.40 kW·h，平均能耗為12.48 kW·h，方差為0.137。因此，AGA-MOPSO算法獲得的最終解波動(dòng)范圍更小，且更加穩(wěn)定。

圖5 算法穩(wěn)定性比較

表4 兩個(gè)變量評(píng)價(jià)指標(biāo)描述統(tǒng)計(jì)

綜上所述，對(duì)比兩種算法，AGA-MOPSO算法優(yōu)化得到最優(yōu)解的效果比PSO算法更好，更加準(zhǔn)時(shí)且能耗更小。同時(shí)，無論是解的多樣性還是穩(wěn)定性等方面都優(yōu)于PSO算法。

4.3 不同控制策略對(duì)比

針對(duì)未加入惰行、加入一次惰行以及加入多次惰行3種不同控制策略，在利用AGA-MOPSO算法獲得各自的Pareto解集后，采用上述模糊隸屬度函數(shù)篩選出最優(yōu)方案。表5為各種駕駛策略對(duì)應(yīng)的最優(yōu)駕駛方案。

表5 不同控制策略下對(duì)應(yīng)的最優(yōu)方案

3種控制策略的最優(yōu)方案所對(duì)應(yīng)的速度-距離曲線如圖6所示。

圖6 不同策略下優(yōu)化曲線

在滿足列車準(zhǔn)點(diǎn)要求的前提下，多次加入惰行的控制策略運(yùn)行時(shí)間為190.3 s，能耗12.47 kW·h為3種駕駛策略中耗能最低，與策略未加入惰行相比節(jié)能18.3%，與策略加入一次惰行相比節(jié)能13.2%。綜合以上仿真結(jié)果可以得出，策略加入多次惰行的節(jié)能準(zhǔn)點(diǎn)的優(yōu)化效果最好。

5 結(jié)論

針對(duì)城市軌道交通中列車速度曲線優(yōu)化問題，建立了多質(zhì)點(diǎn)列車模型，設(shè)計(jì)以降低牽引能耗和提高列車準(zhǔn)點(diǎn)的多目標(biāo)優(yōu)化模型，采用AGA-MOPSO多目標(biāo)優(yōu)化算法對(duì)不同駕駛策略進(jìn)行優(yōu)化，生成一組能耗-時(shí)間Pareto解，且通過模糊隸屬度函數(shù)進(jìn)行篩選，獲得最優(yōu)運(yùn)行方案，得出以下結(jié)論。

(1)多質(zhì)點(diǎn)模型下附加阻力的變化更加符合實(shí)際情況，與單質(zhì)點(diǎn)模型相比減小了列車在變坡點(diǎn)和變曲率點(diǎn)的附加阻力誤差。

(2)對(duì)比傳統(tǒng)PSO算法處理多目標(biāo)問題，AGA-MOPSO多目標(biāo)優(yōu)化算法在解方案的多樣性上優(yōu)于PSO算法，優(yōu)化得到的最優(yōu)方案效果更好，在準(zhǔn)點(diǎn)誤差0.3s的同時(shí)，節(jié)能可達(dá)7.4%。同時(shí)，在最優(yōu)解穩(wěn)定性上也優(yōu)于PSO算法。

(3)對(duì)于3種不同的駕駛策略，采用模糊隸屬函數(shù)從Pareto解集中選出3種駕駛策略所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)方案。對(duì)比可知，在滿足列車準(zhǔn)點(diǎn)的前提下，加入多次惰行控制的駕駛策略優(yōu)化效果更好。

本次優(yōu)化結(jié)果為地鐵列車運(yùn)行方案提供了一定思路，但只考慮了列車準(zhǔn)點(diǎn)以及能耗兩個(gè)目標(biāo)變量，下一步研究可考慮加入舒適度、電分相等其他因素。