基于FAST反射面的形狀調(diào)節(jié)模擬分析

王慧敏 付書凡 畢婧

（沈陽師范大學(xué)軟件學(xué)院 遼寧沈陽 110034）

FAST是世界已經(jīng)建成的最大射電望遠(yuǎn)鏡，它借助天然圓形溶巖坑建造，呈現(xiàn)出球形網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，可用來匯聚無線電波、供饋源接收機(jī)接收。本文通過分析FAST的工作原理，模擬出了反射面的工作原理，由此得出用旋轉(zhuǎn)拋物面作鏡面易于實(shí)現(xiàn)同相聚焦，并由相關(guān)參數(shù)建立推出拋物面的曲線方程，構(gòu)造出理想拋物面。利用最小二乘法進(jìn)行檢驗(yàn)優(yōu)化，得出理想拋物面，減小誤差，進(jìn)而求出反射面300m 口徑內(nèi)的主索節(jié)點(diǎn)編號(hào)、位置坐標(biāo)及各促動(dòng)器的伸縮量。通過反射面的調(diào)節(jié)方案，根據(jù)計(jì)算饋源艙的接收比，得到饋源艙［1］接收反射信號(hào)和總射入電磁波的接收率，并與基準(zhǔn)反射球面的接收作比較得出結(jié)論，調(diào)節(jié)后的反射面可以讓饋源艙對(duì)電磁波的接收效率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于基準(zhǔn)反射球面的接收率。

1 理論及方法

1.1 針對(duì)初始理想拋物面的分析

FAST主反射面整體是固定不動(dòng)的，而天體的位置是隨意變化的，相對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)也在隨之變化，F(xiàn)AST 初始狀態(tài)為球面可以方便副面移動(dòng)對(duì)焦進(jìn)而實(shí)現(xiàn)跟蹤觀測(cè)，因此，F(xiàn)AST的基準(zhǔn)態(tài)反射面均為球面反射面。

射電望遠(yuǎn)鏡的工作原理和光學(xué)反射望遠(yuǎn)鏡十分相似，天體傳來的電磁波被鏡面反射后，可以到達(dá)公共焦點(diǎn)，理想拋物面的形狀要有超強(qiáng)的聚集電磁波的能力。常見的射電望遠(yuǎn)鏡［2］理想的拋物面大多是旋轉(zhuǎn)的橢圓拋物面。

根據(jù)待測(cè)天體的具體位置位于基準(zhǔn)球面的正上方，通過公式演算及題目中已經(jīng)給出的數(shù)據(jù)，以此來推斷出理想拋物面的方程。

1.2 針對(duì)理想拋物面的分析

根據(jù)得到反射面調(diào)節(jié)后的工作拋物面的中心節(jié)點(diǎn)和反射面板的最外層的點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)，從而模擬建立出整個(gè)理想拋物面。

結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)的隨動(dòng)機(jī)構(gòu)來計(jì)算節(jié)點(diǎn)變化位移。隨動(dòng)機(jī)構(gòu)是一種反饋控制機(jī)構(gòu)，這種機(jī)構(gòu)輸出量是機(jī)械位移、速度或者加速度。快速跟蹤和準(zhǔn)確定位是隨動(dòng)機(jī)構(gòu)的兩個(gè)重要技術(shù)指標(biāo)。

最小二乘法是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)，通過尋找誤差的平方和的最小值來得出數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。本文利用最小二乘法，可以找到與數(shù)據(jù)最為貼合的工作拋物面，即理想拋物面。根據(jù)數(shù)據(jù)，利用最小二乘法進(jìn)行檢驗(yàn)優(yōu)化，得出最優(yōu)的理想拋物面，減小實(shí)際工作拋物面與理想拋物面間的誤差，進(jìn)而求出反射面300m口徑內(nèi)的主索節(jié)點(diǎn)編號(hào)、位置坐標(biāo)及各促動(dòng)器的伸縮量。

2 模型實(shí)驗(yàn)

2.1 針對(duì)初始理想拋物面的模型建立與求解

2.1.1 模擬FAST主動(dòng)反射面工作原理

FAST主動(dòng)反射面接收來自天體的電磁波，初始球面反射面是圍繞反射面中心的法線為主軸的，并且是圍繞這個(gè)軸旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的。當(dāng)α=0°、β=90°時(shí)，假設(shè)主軸與反射面接觸的點(diǎn)V 為頂點(diǎn)，在主軸上的點(diǎn)C 與反射面上所有點(diǎn)等距，稱為曲率中心。從C 到V 的距離記作曲率半徑R，當(dāng)電磁波照射到主軸平行的反射鏡時(shí)，會(huì)被反射面反射出去，并聚焦在一點(diǎn)F，稱為反射面焦點(diǎn)，焦點(diǎn)F到頂點(diǎn)V的距離稱為鏡面的焦距f。

假設(shè)電磁波信號(hào)及反射信號(hào)均視為直線傳播，照射到反射面的電磁波信號(hào)均平行于主軸，并最終都聚集在焦點(diǎn)F上［3］。

2.1.2 理想拋物面求解

在求解理想拋物面時(shí)，根據(jù)題目描述，需要確定與基準(zhǔn)球面中心重合的一個(gè)橢圓拋物面，該拋物面是理想拋物面。

根據(jù)題意，以工作態(tài)拋物面的對(duì)稱軸為y軸，建立直角坐標(biāo)系，y（x）圍繞y軸旋轉(zhuǎn)得到三維曲面，當(dāng)平行的電磁波沿著與y軸平行的方向直射到反射面的入射角為θ，標(biāo)記為P（x，y）；根據(jù)光的反射定律和折射定律的兩個(gè)追問反射定律可知，最后反射在y軸的F 點(diǎn)處，其余電磁波也相繼在焦點(diǎn)F處相交于坐標(biāo)（0，f）。

通過簡單的幾何推理，可以求出y（x）在P 點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)：

當(dāng)兩束電磁波平行射入時(shí)，∠FCP 的大小也為θ，根據(jù)P點(diǎn)的坐標(biāo)可以求出焦距f為：

考慮到拋物面為橢圓拋物面，將拋物面的方程設(shè)為：

由橢圓的性質(zhì)可以推出焦距f為：

因此，可以得出結(jié)論：所有平行射入的電磁波，最后都會(huì)反射到主軸y軸的焦點(diǎn)上，在這種情況下不需要小角度近似。由此確定曲線y（x）是所有平行射入的電磁波必須通過f，這意味著P點(diǎn)的坐標(biāo)和x無關(guān)，因此得出公式：

將題中給出的基準(zhǔn)球面半徑R=300m，照明區(qū)域等數(shù)值帶入到公式就可得理想旋轉(zhuǎn)拋物面的方程為：

2.2 針對(duì)理想拋物面的模型建立與求解

2.2.1 中心節(jié)點(diǎn)的求解

假設(shè)圖1 是一平面上的截面，圖上各點(diǎn)在同一平面上。

圖1 中心節(jié)點(diǎn)模擬圖

已知觀測(cè)天體的方位角α=36.795°和仰角β=78.169°，又已知目標(biāo)天體發(fā)射出的是平行直線電磁波，可知，SO 是一條直線，由題可知，反射面半徑R=300m，則CO=R=300m，根據(jù)三角函數(shù)，得出點(diǎn)O的坐標(biāo)為（-49.2544，36.8403，-293.6270）。

由R=300m，口徑HG=300m，且HG是OP的垂直平分線，由此推出∠HPG=120°。由于該截面屬于平面，得出∠POE=β=78.169°，則P 的坐標(biāo)為（-20.5954，0，-156.7964），G 的坐標(biāo)為（0，0，-300），H 的坐標(biāo)為（-259.8，0，150），得出拋物面方程：

Z= 0.0067x2+ 0.0067y2- 300

2.2.2 索網(wǎng)構(gòu)造分析

由索網(wǎng)的構(gòu)造結(jié)構(gòu)可知，主索節(jié)點(diǎn)起著連接主索、下拉索及背架結(jié)構(gòu)的作用，這種連接方式在安裝過程中很難精確控制索端各自的預(yù)應(yīng)力。FAST 反射面都是由許多等邊三角形板組成，形成類似3-PSP 隨動(dòng)機(jī)構(gòu)模型［4］的模型。

其中，每根下拉索控制一處主索節(jié)點(diǎn)的徑向改變，可以調(diào)節(jié)索點(diǎn)的切向位移，引起反射面移動(dòng)形成工作拋物面。

2.2.3 隨動(dòng)機(jī)構(gòu)的位置逆解

通過3-PSP 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的封閉方程，能求得旋轉(zhuǎn)矩陣R。

以一塊三角面板單元為例，該面板與基面的夾角設(shè)為θ；面板的質(zhì)心的位置設(shè)為O；O 點(diǎn)坐標(biāo)為[XO，YO，ZO]，設(shè)連接在一塊面板上的三條索為L1、L2、L3；設(shè)上索節(jié)點(diǎn)與三角板尖端節(jié)點(diǎn)位移差為l1、l2、l3。

通過基準(zhǔn)態(tài)和下端點(diǎn)的差能夠求出基準(zhǔn)態(tài)下索的長度，也就是L1、L2、L3。

代入公式，由此求得位移差，得到節(jié)點(diǎn)移動(dòng)后的坐標(biāo)。

2.2.4 基于最小二乘法的優(yōu)化

本文選擇最小二乘法優(yōu)化模型［5］，該模型能夠?qū)Ψ瓷涿孢M(jìn)行多次計(jì)算調(diào)整，從而達(dá)到最優(yōu)拋物面，索網(wǎng)的特點(diǎn)如下。

每個(gè)節(jié)點(diǎn)由一根拉索沿著網(wǎng)面的法向與促動(dòng)器相連，索網(wǎng)的索力發(fā)生相應(yīng)的變化甚至相差較大［6］。

假設(shè)拋物面的初始位置為：

經(jīng)過促動(dòng)器調(diào)節(jié)后產(chǎn)生位移差：

新的位移節(jié)點(diǎn)可表示為：

假設(shè)某一時(shí)刻饋源照明部分的節(jié)點(diǎn)集合為C1，數(shù)量為m，照明部分的節(jié)點(diǎn)初始位置設(shè)為xc，位移的該變量設(shè)為Δuc，設(shè)全局坐標(biāo)系到隨動(dòng)坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換矩陣為T，節(jié)點(diǎn)變換后有：

表示其殘量函數(shù)為：

當(dāng)所有的反射到的節(jié)點(diǎn)都位于拋物面內(nèi)，殘量均為0，探究各節(jié)點(diǎn)殘量的平方和最小：

由于促動(dòng)器頂端徑向伸縮量為0，其徑向伸縮范圍為-0.6～0.6m，且為了精確優(yōu)化，節(jié)點(diǎn)的位移量不能太大，設(shè)最大調(diào)整量為ΔLmax，由此得到位移約束條件：

綜上，可得到一線性的最小二乘優(yōu)化模型優(yōu)化模型。

在給定的范圍內(nèi)，可計(jì)算出調(diào)整量盡可能小的位移量，從而達(dá)到更為理想的拋物面。

3 模型實(shí)驗(yàn)的結(jié)果分析

3.1 針對(duì)初始理想拋物面的結(jié)果分析

本文發(fā)現(xiàn)反射面的工作態(tài)只有是橢圓拋物面時(shí)才能更好地聚集天體發(fā)來的電磁波，通過模擬電磁波的傳播路徑［7］，大致推斷出反射面的運(yùn)動(dòng)軌跡。

通過運(yùn)動(dòng)軌跡，求出反射面的拋物線方程，進(jìn)而求出理想的拋物面方程，通過對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析計(jì)算和公式推演，得出的理想拋物面方程更準(zhǔn)確。

3.2 針對(duì)理想拋物面的結(jié)果分析

以主動(dòng)反射面頂點(diǎn)為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)軸，計(jì)算天體和饋源艙及主動(dòng)反射面三者之間的位置關(guān)系，通過對(duì)特定點(diǎn)進(jìn)行求解，最后再代入假設(shè)的拋物線方程，由此得出理想的拋物面方程，能較好地?cái)M合工作拋物面。通過運(yùn)動(dòng)學(xué)中隨動(dòng)模型，進(jìn)行形成拋物面節(jié)點(diǎn)的發(fā)生位移計(jì)算，再通過最小二乘法，尋求位移的最小程度，進(jìn)而得出促動(dòng)器伸縮改變量和各節(jié)點(diǎn)的位置。

4 結(jié)語

FAST射電望遠(yuǎn)鏡是我國的一項(xiàng)里程碑工程，它的建設(shè)將推動(dòng)眾多高科技領(lǐng)域的發(fā)展。主動(dòng)反射面是FAST 的重大創(chuàng)新，它通過主索網(wǎng)、促動(dòng)器等主要部件構(gòu)成可調(diào)節(jié)球面，通過下拉索便于實(shí)現(xiàn)對(duì)主索網(wǎng)形態(tài)的控制。根據(jù)參數(shù)，結(jié)合考慮反射面板調(diào)節(jié)因素，確定理想拋物面，并由此獲得天體電磁波反射后的最佳接收效果。

通過已知的饋源艙接收信號(hào)的相關(guān)信息，結(jié)合求得的工作拋物面的面積，計(jì)算得出調(diào)節(jié)后的饋源艙的接收比。進(jìn)而將結(jié)果與基準(zhǔn)反射球面的接收作對(duì)比，得出結(jié)論認(rèn)為反射時(shí)工作拋物面相對(duì)于基準(zhǔn)態(tài)時(shí)，饋源艙的接收率會(huì)更高。