基于FAST反射面的形狀調節模擬分析

王慧敏 付書凡 畢婧

（沈陽師范大學軟件學院 遼寧沈陽 110034）

FAST是世界已經建成的最大射電望遠鏡，它借助天然圓形溶巖坑建造，呈現出球形網狀結構，可用來匯聚無線電波、供饋源接收機接收。本文通過分析FAST的工作原理，模擬出了反射面的工作原理，由此得出用旋轉拋物面作鏡面易于實現同相聚焦，并由相關參數建立推出拋物面的曲線方程，構造出理想拋物面。利用最小二乘法進行檢驗優化，得出理想拋物面，減小誤差，進而求出反射面300m 口徑內的主索節點編號、位置坐標及各促動器的伸縮量。通過反射面的調節方案，根據計算饋源艙的接收比，得到饋源艙［1］接收反射信號和總射入電磁波的接收率，并與基準反射球面的接收作比較得出結論，調節后的反射面可以讓饋源艙對電磁波的接收效率遠遠高于基準反射球面的接收率。

1 理論及方法

1.1 針對初始理想拋物面的分析

FAST主反射面整體是固定不動的，而天體的位置是隨意變化的，相對應的焦點也在隨之變化，FAST 初始狀態為球面可以方便副面移動對焦進而實現跟蹤觀測，因此，FAST的基準態反射面均為球面反射面。

射電望遠鏡的工作原理和光學反射望遠鏡十分相似，天體傳來的電磁波被鏡面反射后，可以到達公共焦點，理想拋物面的形狀要有超強的聚集電磁波的能力。常見的射電望遠鏡［2］理想的拋物面大多是旋轉的橢圓拋物面。

根據待測天體的具體位置位于基準球面的正上方，通過公式演算及題目中已經給出的數據，以此來推斷出理想拋物面的方程。

1.2 針對理想拋物面的分析

根據得到反射面調節后的工作拋物面的中心節點和反射面板的最外層的點的節點，從而模擬建立出整個理想拋物面。

結合運動學的隨動機構來計算節點變化位移。隨動機構是一種反饋控制機構，這種機構輸出量是機械位移、速度或者加速度。快速跟蹤和準確定位是隨動機構的兩個重要技術指標。

最小二乘法是一種數學優化技術，通過尋找誤差的平方和的最小值來得出數據的最佳函數匹配。本文利用最小二乘法，可以找到與數據最為貼合的工作拋物面，即理想拋物面。根據數據，利用最小二乘法進行檢驗優化，得出最優的理想拋物面，減小實際工作拋物面與理想拋物面間的誤差，進而求出反射面300m口徑內的主索節點編號、位置坐標及各促動器的伸縮量。

2 模型實驗

2.1 針對初始理想拋物面的模型建立與求解

2.1.1 模擬FAST主動反射面工作原理

FAST主動反射面接收來自天體的電磁波，初始球面反射面是圍繞反射面中心的法線為主軸的，并且是圍繞這個軸旋轉對稱的。當α=0°、β=90°時，假設主軸與反射面接觸的點V 為頂點，在主軸上的點C 與反射面上所有點等距，稱為曲率中心。從C 到V 的距離記作曲率半徑R，當電磁波照射到主軸平行的反射鏡時，會被反射面反射出去，并聚焦在一點F，稱為反射面焦點，焦點F到頂點V的距離稱為鏡面的焦距f。

假設電磁波信號及反射信號均視為直線傳播，照射到反射面的電磁波信號均平行于主軸，并最終都聚集在焦點F上［3］。

2.1.2 理想拋物面求解

在求解理想拋物面時，根據題目描述，需要確定與基準球面中心重合的一個橢圓拋物面，該拋物面是理想拋物面。

根據題意，以工作態拋物面的對稱軸為y軸，建立直角坐標系，y（x）圍繞y軸旋轉得到三維曲面，當平行的電磁波沿著與y軸平行的方向直射到反射面的入射角為θ，標記為P（x，y）；根據光的反射定律和折射定律的兩個追問反射定律可知，最后反射在y軸的F 點處，其余電磁波也相繼在焦點F處相交于坐標（0，f）。

通過簡單的幾何推理，可以求出y（x）在P 點處的導數：

當兩束電磁波平行射入時，∠FCP 的大小也為θ，根據P點的坐標可以求出焦距f為：

考慮到拋物面為橢圓拋物面，將拋物面的方程設為：

由橢圓的性質可以推出焦距f為：

因此，可以得出結論：所有平行射入的電磁波，最后都會反射到主軸y軸的焦點上，在這種情況下不需要小角度近似。由此確定曲線y（x）是所有平行射入的電磁波必須通過f，這意味著P點的坐標和x無關，因此得出公式：

將題中給出的基準球面半徑R=300m，照明區域等數值帶入到公式就可得理想旋轉拋物面的方程為：

2.2 針對理想拋物面的模型建立與求解

2.2.1 中心節點的求解

假設圖1 是一平面上的截面，圖上各點在同一平面上。

圖1 中心節點模擬圖

已知觀測天體的方位角α=36.795°和仰角β=78.169°，又已知目標天體發射出的是平行直線電磁波，可知，SO 是一條直線，由題可知，反射面半徑R=300m，則CO=R=300m，根據三角函數，得出點O的坐標為（-49.2544，36.8403，-293.6270）。

由R=300m，口徑HG=300m，且HG是OP的垂直平分線，由此推出∠HPG=120°。由于該截面屬于平面，得出∠POE=β=78.169°，則P 的坐標為（-20.5954，0，-156.7964），G 的坐標為（0，0，-300），H 的坐標為（-259.8，0，150），得出拋物面方程：

Z= 0.0067x2+ 0.0067y2- 300

2.2.2 索網構造分析

由索網的構造結構可知，主索節點起著連接主索、下拉索及背架結構的作用，這種連接方式在安裝過程中很難精確控制索端各自的預應力。FAST 反射面都是由許多等邊三角形板組成，形成類似3-PSP 隨動機構模型［4］的模型。

其中，每根下拉索控制一處主索節點的徑向改變，可以調節索點的切向位移，引起反射面移動形成工作拋物面。

2.2.3 隨動機構的位置逆解

通過3-PSP 并聯機構的封閉方程，能求得旋轉矩陣R。

以一塊三角面板單元為例，該面板與基面的夾角設為θ；面板的質心的位置設為O；O 點坐標為[XO，YO，ZO]，設連接在一塊面板上的三條索為L1、L2、L3；設上索節點與三角板尖端節點位移差為l1、l2、l3。

通過基準態和下端點的差能夠求出基準態下索的長度，也就是L1、L2、L3。

代入公式，由此求得位移差，得到節點移動后的坐標。

2.2.4 基于最小二乘法的優化

本文選擇最小二乘法優化模型［5］，該模型能夠對反射面進行多次計算調整，從而達到最優拋物面，索網的特點如下。

每個節點由一根拉索沿著網面的法向與促動器相連，索網的索力發生相應的變化甚至相差較大［6］。

假設拋物面的初始位置為：

經過促動器調節后產生位移差：

新的位移節點可表示為：

假設某一時刻饋源照明部分的節點集合為C1，數量為m，照明部分的節點初始位置設為xc，位移的該變量設為Δuc，設全局坐標系到隨動坐標系的坐標變換矩陣為T，節點變換后有：

表示其殘量函數為：

當所有的反射到的節點都位于拋物面內，殘量均為0，探究各節點殘量的平方和最小：

由于促動器頂端徑向伸縮量為0，其徑向伸縮范圍為-0.6～0.6m，且為了精確優化，節點的位移量不能太大，設最大調整量為ΔLmax，由此得到位移約束條件：

綜上，可得到一線性的最小二乘優化模型優化模型。

在給定的范圍內，可計算出調整量盡可能小的位移量，從而達到更為理想的拋物面。

3 模型實驗的結果分析

3.1 針對初始理想拋物面的結果分析

本文發現反射面的工作態只有是橢圓拋物面時才能更好地聚集天體發來的電磁波，通過模擬電磁波的傳播路徑［7］，大致推斷出反射面的運動軌跡。

通過運動軌跡，求出反射面的拋物線方程，進而求出理想的拋物面方程，通過對數據進行分析計算和公式推演，得出的理想拋物面方程更準確。

3.2 針對理想拋物面的結果分析

以主動反射面頂點為原點，建立坐標軸，計算天體和饋源艙及主動反射面三者之間的位置關系，通過對特定點進行求解，最后再代入假設的拋物線方程，由此得出理想的拋物面方程，能較好地擬合工作拋物面。通過運動學中隨動模型，進行形成拋物面節點的發生位移計算，再通過最小二乘法，尋求位移的最小程度，進而得出促動器伸縮改變量和各節點的位置。

4 結語

FAST射電望遠鏡是我國的一項里程碑工程，它的建設將推動眾多高科技領域的發展。主動反射面是FAST 的重大創新，它通過主索網、促動器等主要部件構成可調節球面，通過下拉索便于實現對主索網形態的控制。根據參數，結合考慮反射面板調節因素，確定理想拋物面，并由此獲得天體電磁波反射后的最佳接收效果。

通過已知的饋源艙接收信號的相關信息，結合求得的工作拋物面的面積，計算得出調節后的饋源艙的接收比。進而將結果與基準反射球面的接收作對比，得出結論認為反射時工作拋物面相對于基準態時，饋源艙的接收率會更高。