分形樹圖在多元函數的高階偏導數美的體現

2022-09-06 07:45:12楊亞榮

科技創新導報 2022年12期

楊亞榮

（保山中醫藥高等專科學校云南保山 678000）

分析理論是在20 世紀70年代中葉美籍法國數學家曼德布魯特在《自然界的分形幾何》一書中率先提出挑戰，是他第一次完整地給出“分形”及“分數維”的概念，同時，提出分數維的定義和算法，這便誕生了一門新的數學分支——分形幾何［1］。分形從創立到現在不長的時間里展現出美妙的未來、廣闊的前景，它在動力系統、物理學、流體運動、酶的構造過程、經濟學、地質構造、天文學、藝術等方面有廣泛的應用。目前，分形理論在藝術領域中有廣泛的應用，很多影片中出現有一系列奇峰異谷和獨特的場景都是分形圖案，用分形手段創造而產生了這些新穎、美麗的外星世界。而多元函數的高階偏導數是高等數學的重要內容，它是各類考試的題型之一，學好多元函數的高階偏導數尤為重要［2］。因此，本文結合筆者教學實際，將抽象、枯燥、乏味、難以理解多元函數的高階偏導數的學習過程與分形理論結合起來，讓學生在高等數學的數學學習過程中感受數學之美，體會數學來源于生活實際，并應用于生活。通過多高階偏導數的定義和求導過程，得出求多元函數的高階偏導數是一個經典的分形樹圖，高階偏導數求導順序是依次先求一階、二階，等等，直到n階偏導數，具有分析的傳遞性，在高階偏導數的求法和個數具有分形的自相似性。

1 分形樹圖的生成

分形樹圖是美國生物學家Lindenmayer提出，運用于描述植物的形態和生長過程的方法，簡稱為花草樹木（L系統）模型。分形樹圖的生成是應用分形理論中一種遞歸算法，遞歸算法所得到的分形樹同樣擁有自相似性，該方法按照一定的分形單元所生成的圖形能夠很好地模仿自然界中樹的形態［3-5］。經典的二叉分形樹的遞歸算法概述如下。設A點坐標為(x0，y0)，B坐標為(x1，y1)，C點坐標為(x2，y2)，D點坐標為(x3，y3)，l為樹干的長度，α 為生長于一個節點上的兩個枝干間的夾角，具體遞歸過程如下。

A點坐標(x0，y0)，B點坐標為(x1，y1)，枝干的長度l。

從B點出發，改變枝干長度、生長角度α，可得到C、D點坐標。

由B點坐標為(x1，y1)，C點坐標為(x2，y2)，可得到樹枝BC。

由B點坐標為(x1，y1)，D點坐標為(x3，y3)，可得到樹枝BD。

完成以上步驟即可生成一個分形單元，見圖1。利用以上步驟，在給定分形單元及初始生長點的情況下，將生長點坐標、枝干長度及生長角度作為參數，不斷迭代，可以得到形狀豐富的樹狀結構，見圖2。

圖1 分形圖形生成方法示意圖

圖2 經典的二叉分形樹圖

2 分形樹圖在多元函數的高階偏導中的應用

偏導數的求導法則：

定義1［4］：設函數z=(x，y)，在區域D內具有偏導數，那么，在D內，ux(x，y)及uy(x，y)是x，y的二元函數。若ux(x，y)和uy(x，y)的偏導數還存在，則稱ux(x，y)和uy(x，y)的偏導數是z=(x，y)的二階偏導數，函數z=(x，y)二階偏導數有4個，分別為：

其中，uxy與uyx稱為z=(x，y)的二階混合偏導數，利用同樣的方法來定義三階、四階，等等，n階偏導數。二階及二階以上的偏導數統稱為高階偏導數，求二元函數的三階數偏導數，如圖3所示。

圖3 二元函數的三階偏導數求導過程圖

從圖3 可以得出如下結論：（1）二元函數的二階、三階偏導數求導過程圖與分形樹圖中的經典二叉分形樹圖從形式看是一致的；（2）由高階導數的定義可以得出，二階偏導數是在一階偏導數的基礎上定義，若一階偏導數是二元函數，利用求一階偏導數的方法，對每一個一階偏導數繼續求關于x，y的偏導數，得到二元函數的4 個二階偏導數；若4 個二階偏導數還是關于x，y二元函數，那么，利用求一階偏導數的方法，對每一個二階偏導數繼續求關于x，y偏導數，得到8個三階偏導數。二階、三階偏導數的求法與一階偏導數求法是相似的，每個一階、二階偏導數的個數都是2 個，說明高階偏導數的求法和個數具有分形的自相似性。

若存在n階偏導數，一直求到n偏導數，不難得出高階偏導數問題也是一個分形，高階偏導數求導過程圖是一個分形樹圖，高階偏導數求導順序是依次求一階、二階，等等，直到n階偏導數，具有分析的傳遞性，高階偏導數的求法和個數具有分形的自相似性。

例1：求函數z=xy+x2siny的所有二階偏導數和三階偏導數。

解：二元函數的三階偏導數求導過程見圖3（a）至圖3（c），則：