分形樹圖在多元函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)美的體現(xiàn)

楊亞榮

（保山中醫(yī)藥高等專科學(xué)校 云南保山 678000）

分析理論是在20 世紀(jì)70年代中葉美籍法國數(shù)學(xué)家曼德布魯特在《自然界的分形幾何》一書中率先提出挑戰(zhàn)，是他第一次完整地給出“分形”及“分?jǐn)?shù)維”的概念，同時，提出分?jǐn)?shù)維的定義和算法，這便誕生了一門新的數(shù)學(xué)分支——分形幾何［1］。分形從創(chuàng)立到現(xiàn)在不長的時間里展現(xiàn)出美妙的未來、廣闊的前景，它在動力系統(tǒng)、物理學(xué)、流體運動、酶的構(gòu)造過程、經(jīng)濟(jì)學(xué)、地質(zhì)構(gòu)造、天文學(xué)、藝術(shù)等方面有廣泛的應(yīng)用。目前，分形理論在藝術(shù)領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用，很多影片中出現(xiàn)有一系列奇峰異谷和獨特的場景都是分形圖案，用分形手段創(chuàng)造而產(chǎn)生了這些新穎、美麗的外星世界。而多元函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它是各類考試的題型之一，學(xué)好多元函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)尤為重要［2］。因此，本文結(jié)合筆者教學(xué)實際，將抽象、枯燥、乏味、難以理解多元函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)過程與分形理論結(jié)合起來，讓學(xué)生在高等數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中感受數(shù)學(xué)之美，體會數(shù)學(xué)來源于生活實際，并應(yīng)用于生活。通過多高階偏導(dǎo)數(shù)的定義和求導(dǎo)過程，得出求多元函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)是一個經(jīng)典的分形樹圖，高階偏導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)順序是依次先求一階、二階，等等，直到n階偏導(dǎo)數(shù)，具有分析的傳遞性，在高階偏導(dǎo)數(shù)的求法和個數(shù)具有分形的自相似性。

1 分形樹圖的生成

分形樹圖是美國生物學(xué)家Lindenmayer提出，運用于描述植物的形態(tài)和生長過程的方法，簡稱為花草樹木（L系統(tǒng)）模型。分形樹圖的生成是應(yīng)用分形理論中一種遞歸算法，遞歸算法所得到的分形樹同樣擁有自相似性，該方法按照一定的分形單元所生成的圖形能夠很好地模仿自然界中樹的形態(tài)［3-5］。經(jīng)典的二叉分形樹的遞歸算法概述如下。設(shè)A點坐標(biāo)為(x0，y0)，B坐標(biāo)為(x1，y1)，C點坐標(biāo)為(x2，y2)，D點坐標(biāo)為(x3，y3)，l為樹干的長度，α 為生長于一個節(jié)點上的兩個枝干間的夾角，具體遞歸過程如下。

A點 坐 標(biāo)(x0，y0)，B點 坐 標(biāo) 為(x1，y1)，枝 干 的長度l。

從B點出發(fā)，改變枝干長度、生長角度α，可得到C、D點坐標(biāo)。

由B點坐標(biāo)為(x1，y1)，C點坐標(biāo)為(x2，y2)，可得到樹枝BC。

由B點坐標(biāo)為(x1，y1)，D點坐標(biāo)為(x3，y3)，可得到樹枝BD。

完成以上步驟即可生成一個分形單元，見圖1。利用以上步驟，在給定分形單元及初始生長點的情況下，將生長點坐標(biāo)、枝干長度及生長角度作為參數(shù)，不斷迭代，可以得到形狀豐富的樹狀結(jié)構(gòu)，見圖2。

圖1 分形圖形生成方法示意圖

圖2 經(jīng)典的二叉分形樹圖

2 分形樹圖在多元函數(shù)的高階偏導(dǎo)中的應(yīng)用

偏導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則：

定義1［4］：設(shè)函數(shù)z=(x，y)，在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)，那么，在D內(nèi)，ux(x，y)及uy(x，y)是x，y的二元函數(shù)。若ux(x，y)和uy(x，y)的偏導(dǎo)數(shù)還存在，則稱ux(x，y)和uy(x，y)的偏導(dǎo)數(shù)是z=(x，y)的二階偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)z=(x，y)二階偏導(dǎo)數(shù)有4個，分別為：

其中，uxy與uyx稱為z=(x，y)的二階混合偏導(dǎo)數(shù)，利用同樣的方法來定義三階、四階，等等，n階偏導(dǎo)數(shù)。二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)，求二元函數(shù)的三階數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，如圖3所示。

圖3 二元函數(shù)的三階偏導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)過程圖

從圖3 可以得出如下結(jié)論：（1）二元函數(shù)的二階、三階偏導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)過程圖與分形樹圖中的經(jīng)典二叉分形樹圖從形式看是一致的；（2）由高階導(dǎo)數(shù)的定義可以得出，二階偏導(dǎo)數(shù)是在一階偏導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)上定義，若一階偏導(dǎo)數(shù)是二元函數(shù)，利用求一階偏導(dǎo)數(shù)的方法，對每一個一階偏導(dǎo)數(shù)繼續(xù)求關(guān)于x，y的偏導(dǎo)數(shù)，得到二元函數(shù)的4 個二階偏導(dǎo)數(shù)；若4 個二階偏導(dǎo)數(shù)還是關(guān)于x，y二元函數(shù)，那么，利用求一階偏導(dǎo)數(shù)的方法，對每一個二階偏導(dǎo)數(shù)繼續(xù)求關(guān)于x，y偏導(dǎo)數(shù)，得到8個三階偏導(dǎo)數(shù)。二階、三階偏導(dǎo)數(shù)的求法與一階偏導(dǎo)數(shù)求法是相似的，每個一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的個數(shù)都是2 個，說明高階偏導(dǎo)數(shù)的求法和個數(shù)具有分形的自相似性。

若存在n階偏導(dǎo)數(shù)，一直求到n偏導(dǎo)數(shù)，不難得出高階偏導(dǎo)數(shù)問題也是一個分形，高階偏導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)過程圖是一個分形樹圖，高階偏導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)順序是依次求一階、二階，等等，直到n階偏導(dǎo)數(shù)，具有分析的傳遞性，高階偏導(dǎo)數(shù)的求法和個數(shù)具有分形的自相似性。

例1：求函數(shù)z=xy+x2siny的所有二階偏導(dǎo)數(shù)和三階偏導(dǎo)數(shù)。

解：二元函數(shù)的三階偏導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)過程見圖3（a）至圖3（c），則：

例2：設(shè)z= 4x3+ 3x2y- 3xy2-x+y，求。

解：二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)過程見圖3（b）至圖3（c），則：

例3：設(shè)u=eaxcosby，其中，a、b為常數(shù)，求二階偏導(dǎo)數(shù)。

解：二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)過程見圖3（b），則：

例4：求u=xln(x+y)的二階偏導(dǎo)數(shù)。

解：二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)過程見圖3（b），則：

例5：設(shè)f(u，v) 具 有 二 階 連 續(xù) 的 偏 導(dǎo) 數(shù)，z=f(exsiny，x2+y2)，求。

解：設(shè)u=exsiny，v=x2+y2，二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)過程見圖3（b），則：

3 結(jié)語

高階偏導(dǎo)數(shù)問題是一個分形，偏導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)過程圖類似一個分形樹圖，求法與個數(shù)上都具有分析的相似性。