基于SVD-UKF 的機車最優黏著控制研究*

周延鋒，李寧洲，衛曉娟

（1 蘭州交通大學 機電工程學院，蘭州 730070；2 上海應用技術大學 軌道交通學院，上海 201418）

近年來，機車黏著控制問題一直受到國內外學者的廣泛關注［1-3］。受各種因素的影響，軌面條件復雜多變，導致機車在運行過程中的牽引力/制動力的充分發揮受到了很大的限制。此外，重載機車的發展，加大了輪軌間的動力沖擊載荷，不僅會影響正常的行車安全，還會導致輪軌關系進一步惡化和相關設備使用壽命降低。為改善輪軌關系、提高機車黏著利用率，需對牽引電機轉矩不斷進行動態調節，實現機車最優黏著控制。

為獲得相對最優的機車黏著利用，大量學者對此進行了積極地探索與研究。文獻［2］建立了全維狀態觀測器對黏著系數進行估計，結合遞推最小二乘法與最速梯度法實現對最優蠕滑速度的遞推搜索，進而依據蠕滑速度控制環實現了對牽引電機轉矩的動態調整。文獻［3］基于擴展卡爾曼濾波（EKF），提出了一種滑?？刂扑惴ǎ⒁罁O計搜索算法實現了對最優蠕滑速度的遞推搜索，實現了較好的黏著利用。文獻［4］將模糊邏輯和多級卡爾曼濾波相結合，對軌面黏著實時狀況加以識別，進而達到對機車黏著控制的目的。文獻［5］基于全維狀態觀測器和滑模極值搜索算法，實現了最優蠕滑速度的動態追蹤，然后依據所設計的滑模變結構控制器動態調整地鐵列車牽引電機轉矩，取得了良好的控制效果。文獻［6］表明，當負載轉矩變化量較小時，利用擾動觀測器對軌面黏著系數進行估計，能夠取得較好的觀測效果。文獻［7］構造的級聯形式的負載轉矩和轉矩導數觀測器，可同時獲得黏著系數及其變化規律，為黏著預測控制提供了依據。文獻［8］采用容積卡爾曼濾波對車速、輪速及黏著系數進行估計，同時為提高濾波估計精度，其將濾波異常的閾值進行提高，降低了漸消因子的產生概率。既有文獻對黏著系數進行估計時，大多采用全維狀態觀測器、EKF、CKF 以及多級卡爾曼濾波器，但全維狀態觀測器對數學模型精度要求較高，且需進行極點配置，EKF 需要先求解Jacobi 矩陣，來實現對非線性函數的線性化處理，其過程會忽略高階項，導致求解精度降低，CKF 采用球面—徑向容積準則，具有三階泰勒級數精度，但對狀態突變自適應跟蹤能力較差，級聯形式的濾波器引入參數較多，存在整定困難的缺點。

文中首先采用奇異值分解的無跡卡爾曼濾波器（SVD-UKF）對機車黏著系數進行實時估計，然后結合帶遺忘因子遞推最小二乘法，遞推得到軌面最優參考蠕滑速度，進而利用所設計的基于趨近律的滑模魯棒控制器實現對機車的最優黏著控制。

1 機車動力學模型及黏著特性

1.1 機車單輪對動力學模型

牽引工況下，機車牽引力來源于牽引電機輸出轉矩。牽引電機通過齒輪箱等傳動機構將電機轉矩傳遞給輪對，由于輪軌間的黏著作用，致使輪對力矩轉化為黏著力使車輪沿鋼軌滾動前行，機車單輪對牽引力傳遞模型如圖1 所示。

圖1 機車單輪對牽引力傳遞模型

對電機輸出轉矩、齒輪箱傳動特性以及輪對驅動力矩進行動力學分析，可得到輪對側的等效動力學方程為式（1）、式（2）：

式中：Tm為牽引電機力矩；TL為牽引電機負載轉矩；Jequ為輪對側等效轉動慣量；Rg為齒輪箱傳動比；ωw為輪對角速度；R為輪對半徑；μ(vs)為軌面黏著系數；W為軸重；ηgear為齒輪箱傳遞效率，各參數單位見后續仿真參數表1。

對機車運行動力學行為進行分析，可得機車動力學方程為式（3）、式（4）：

式中：Fu為輪軌黏著力；M為整車質量；Nm為動軸數目；vt為 車體速度；Fd為 基 本運行阻力；a0、b0、c0為基本阻力系數。

1.2 輪軌黏著特性

動輪在鋼軌上滾動時，車輪與鋼軌的接觸面上會產生彈性變形，進而出現“蠕滑”現象。由于蠕滑作用，動輪的圓周滾動速度小于車體前進速度，將其兩者差值定義為蠕滑速度，經過大量的試驗數據分析，輪軌黏著經驗公式為式（5）：

式中：vs為蠕滑速度；a、b、c、d為軌面黏著參數。

幾種典型工況下的黏著特性曲線如圖2 所示。

圖2 黏著特性曲線對比

由圖2 可以看出，幾種曲線均存在穩定區、最優黏著區和非穩定區。在穩定區，斜率ku＞0，隨著牽引力矩的增加，蠕滑速度逐漸增加，黏著系數隨之增大，直至到達峰值；在非穩定區，斜率ku＜0，黏著系數隨著蠕滑速度的增加而減小，輪對發生空轉，致使輪軌表面擦傷，影響設備使用壽命，嚴重情況下將危及行車安全；在最優黏著區，斜率ku≈0，黏著系數接近黏著峰值，機車黏著力得到充分利用。因此，機車最優黏著控制的目的在于維持蠕滑速度在最優黏著區，進而實現相對較高的黏著利用。

2 SVD-UKF 觀測器設計

2.1 SVD-UKF

無跡Kalman 濾波（UKF）以無跡變換為基礎，采用合適的采樣策略逼近狀態變量分布，由于其無需明確的函數表達式，可處理非線性系統函數不可導的情況，且非線性變換后的均值和協方差精度至少具有2 階精度，諸多優點使其在許多非線性濾波應用中得到了廣泛的應用［9-10］。

針對非線性系統有式（6）：

式中：k為離散時間；X（k）∈Rn為k時刻系統狀態；Z∈Rm為觀測信號；W（k）∈Rr為輸入白噪聲；V（k）∈Rm為觀測白噪聲。

式（6）中的狀態變量X在任意時刻k的無跡卡爾曼濾波算法基本步驟如下：

第1 步：用式（7）、式（8）計算狀態向量的初始值及方差：

第2 步：用式（9）計算Sigma 點集：

即得式（10）：

第3 步：用式（11）計算2n+1 個Sigma 點集的一步預測：

第4 步：計算2n+1 個采樣點相應的權值為式（12）：

式中：上標i為各個采樣點，下標m、c分別為均值、協方差，而采樣點分布狀態取決于a，參數β≥0，參數λ為縮放比例參數，用來降低總的預測誤差，參數λ表示為式（13）：

式中：κ為待選參數，其取值應使得（n+λ）P為半正定矩陣，狀態向量多維時，可取κ=3-n。

第5 步：求解狀態向量一步預測和協方差陣為式（14）、式（15）：

第6 步：根據系統狀態量一步預測值，再次利用UT 變換計算新的Sigma 點集為式（16）：

第7 步：計算預測的觀測量為式（17）：

第8 步：計算系統預測均值及協方差為式（18）、式（19）、式（20）：

第9 步：計算Kalman 增益矩陣為式（21）：

第10 步：計算系統的狀態更新和協方差更新為式（22）、式（23）：

UKF 采用Cholesky 分解法，對所采集樣本的協方差矩陣進行處理，但該方法僅能夠分解正定矩陣，對非正定矩陣，其計算過程將出現病態問題。為了避免其矩陣分解病態問題，增強更新迭代過程中協方差矩陣的穩定性，文中采用對系統擾動不敏感、穩定性強的矩陣奇異值分解（SVD），對系統進行濾波估計［11］。

對于m×n階的矩陣A，其奇異值分解表示為式（24）：

式中：矩陣U為m×m階正交矩陣，其列向量u1，u2，…，um為AAT的標準正交特征向量，稱為左奇異向量；矩陣V為n×n階正交矩陣，其列向量v1，v2，…，vn為ATA的標準正交特征向量，稱為右奇異向量…σr≥0，σi為奇異值，σ2i為矩陣AAT的特征值。

矩陣A是否奇異并不影響分解的正常進行，且解具有唯一性。因此對UKF 算法的第2 步與第6 步進行改寫，將其寫為式（25）：

式中：ρ∈［1，］為尺度參數；σi和Ui分別為矩陣A的第i個奇異值和其相對應的左奇異向量。

2.2 基于SVD-UKF 的黏著系數估計

機車運行過程中，軌面黏著狀態實時變化，導致黏著系數不斷變化，但由于技術條件有限，目前無法對其直接測量。因此，文中將使用SVD-UKF對其估計。

由牽引電機負載轉矩式（2）可知，軌面黏著系數μ（vs）與負載轉矩TL間呈線性關系，因此可以通過對負載轉矩的估計，來間接計算黏著系數，即得式（26）：

由式（1）可建立系統狀態方程、觀測方程分別為式（27）、式（28）：

選擇車輪角速度ωw、電機負載轉矩TL作為系統的狀態變量，則在k時刻有式（29）：

取車輪角速度為觀測量y（k），則觀測量方程為式（30）：

將式（29）、式（30）離散化，并引入過程噪聲W（k）和測量噪聲V（k），可寫成式（31）：

因此，負載轉矩TL估計流程如圖3 所示。

圖3 負載轉矩TL 估計流程圖

3 基于指數趨近律的滑模魯棒控制器設計

基于式（26）估計得到的黏著系數，結合遞推最小二乘法［12］，可估計得到黏著特性曲線斜率，進而可根據式（32）計算得到最優參考蠕滑速度：

談思想送政策、談表現送動力、談困難送溫暖。中國石化青工委乘勢而上，鞏固“走訪尋”工作成果，建立“與基層青年面對面”常態化交流溝通機制，做好青年思想狀況調查研究，定期向黨政報告青年思想狀況和動態，用心傾聽青年心聲，及時反映青年呼聲，有效解決青年實際問題和困難。活動共解決青年實際困難上萬件，各單位共推送優秀案例326個，推送“走訪尋”工作和“尋找最美”典型2300多期。

式中：ku為黏著特性曲線斜率。

機車黏著控制的目的在于實現機車黏著的最大利用，因此依據搜索得到的最優參考蠕滑速度，不斷動態調整牽引電機轉矩，使機車黏著特性始終穩定保持在黏著峰值點附近?；？刂谱鳛樽兘Y構控制系統的一種控制策略，具有較好的抗干擾能力和魯棒性，其在控制領域得到了廣泛的應用［13］。故文中采用基于趨近律的滑模魯棒控制來實現機車的黏著控制。

定義滑模函數為式（33）：

其導數為式（34）：

為改善滑模控制中趨近運動的動態品質，采用指數趨近律來進行控制器設計，有式（35）：

定義Lyapunov 函數為式（36）：

對式（36）進行求導得式（37）：

由式（34）、式（35）得式（39）：

則滑?？刂坡蕿槭剑?0）：

為降低控制器滑動模態快速切換時的抖振，采用雙曲正切函數tanh()代替切換函數sgn（s），該控制率可使被控系統穩定地運行在滑模面上，控制率u可表達為式（41）：

4 仿真與分析

為驗證所設計SVD-UKF 觀測器及黏著控制器的正確性及有效性，在Matlab 中建立相關的仿真模型，機車動力學參數見表1。

表1 機車動力學參數

文中采用的SVD-UKF 算法參數為：x（0）=［0，0］，P（0）=αE（α=105），采樣時間Ts=0.01 s，系統噪聲協方差Q=diag［0.000 001，10 000 000］，尺度參數ρ=1；控制器參數設置：ε1=0.1，ε2=0.025，k=0.5，參數調整過程中，為保證快速趨近滑模面的同時削弱抖振，應在增大k的同時減小ε1。

單一工況下的黏著系數曲線與電機牽引力矩曲線分別如圖4、圖5 所示。從圖4 可以看出，所設計的SVD-UKF 觀測器具有良好的觀測性能，黏著系數觀測值始終在實際值附近波動，觀測噪聲較小。與圖4 相對應，圖5 中的牽引電機力矩迅速在2 s 左右達到5 120 N?m，在機車運行工況不變的條件下，所設計控制器能夠使黏著系數穩定在最大值0.265 左右，并維持牽引電機力矩不變，有效地提高了機車的黏著利用率。

圖4 單一工況下的黏著系數

圖5 單一工況下的牽引力矩

不同工況下機車運行的車速與輪速曲線如圖6 所示，從圖中可以看出在20 s 和40 s 時，機車運行工況發生了改變，速度曲線出現拐點，斜率發生變化，但輪速與車速的差值始終保持在合理的范圍內，避免了輪對空轉的發生。

圖6 機車車速和輪速曲線

機車在不同工況下的黏著系數與電機牽引力矩曲線分別如圖7、圖8 所示。由圖7、圖8 可知，機車啟動后，狀態觀測器迅速搜索軌面黏著系數峰值點，0～20 s，與機車在單一工況下的運行特點類似，能夠獲得較優的黏著利用。20 s 時，軌面工況發生變化，黏著控制器迅速調整牽引電機力矩，搜索得到當前軌面黏著系數峰值點為0.14，當軌面條件不變時，牽引電機轉矩始終保持在2 850 N?m左右。40 s 后，軌面條件轉換為機車啟動時的軌面條件，機車始終能夠實現較高的黏著利用，同時對峰值點的搜索速度較機車啟動時快，其符合機車啟動時，輪軌黏著利用率較低的實際情況。

圖7 不同工況下的黏著系數

圖8 不同工況下的牽引力矩

5 結 論

在分析了機車動力學原理及輪軌黏著特點的基礎上，建立了機車單輪對動力學模型，設計了采用奇異值分解的UKF 觀測器對軌面黏著系數進行估計，結合遞推最小二乘法和蠕滑速度遞推公式，實現了當前軌面最優參考蠕滑速度的實時搜索，設計了基于指數趨近律的滑模魯棒控制器，不斷對機車牽引電機力矩進行動態調整，并在不同工況下對其進行了仿真分析。結果表明，文中提出的黏著控制策略具有一定的可行性，驗證了所設計觀測器及控制器的正確性及有效性，有效提高了機車的黏著利用率。