用兩點間的距離公式解題的研究

江蘇太倉市良輔中學（215400）王 艷

在考題中，經常遇到平行y軸的直線上的兩點之間的距離計算問題，利用兩點間的距離公式可計算線段的最值、圖形面積的最值、點的坐標等。下面就結合一道考題談談兩點間的距離公式的具體運用。

一、題目呈現

2022 年北京冬奧會即將召開，激起了人們對冰雪運動的極大熱情。如圖1 是某跳臺滑雪訓練場的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為x軸，過跳臺終點A作水平線的垂線為y軸，建立平面直角坐標系，圖中的拋物線C1：y=+1近似表示滑雪場地上的一座小山坡，某運動員從點O正上方4米處的A點滑出，滑出后沿一段拋物線C2：+bx+c運動。

圖1

（1）當運動員運動到離A處的水平距離為4 米時，離水平線的高度為8 米，求拋物線C2的函數解析式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；

（2）在（1）的條件下，當運動員運動的水平距離為多少米時，運動員與小山坡的豎直距離為1米？

（3）當運動員運動到坡頂正上方，且與坡頂距離超過3米時，求b的取值范圍。

二、題目分析

考題以2022 年北京冬奧會為問題背景，以二次函數為知識基礎，以解析式的確定、豎直距離、不等式為問題解決的主渠道，以待定系數法、兩點間的距離公式、不等式思想、數形結合思想為主要解題思路，體現“數學源于生活，同時服務生活”，實現學數學、用數學的雙向融合。

三、解法探究

四、思考

透過考題，我們得到如下啟示：

第一，數學學習夯實基礎是關鍵，如這里的待定系數法，是一種基本方法，解方程組是方法的核心。若是基礎不牢，連方程組都不能正確解答，后面的問題就難以解決。

第二，抓住問題的關鍵。解答時，充分利用函數的解析式，用好“橫坐標相同”這一特殊條件，表示點的縱坐標，利用豎直距離等于兩點縱坐標差的絕對值建立不等式，也體現了轉化思想。

第三，用活各種數學思想是解題的靈魂和指南。

五、變式應用

（一）反比例函數中，求三角形面積的最小值

圖2

［例1］如圖2，直線y=-x+m與雙曲線y=-相交于A，B兩點，BC∥x軸，AC∥y軸，則△ABC面積的最小值為 。

（二）當線段最長時，求線段和的最小值

［例2］如圖3，拋物線y=-x2+bx+c與x軸 交于A、B兩點，與y軸交于點C，直線y=-x+2 過B、C兩點，連接AC。

圖3

（1）求拋物線的解析式；

（2）求證：△AOC∽△ACB；

（3）點M(3,2)是拋物線上的一點，點D為拋物線上位于直線BC上方的一點，過點D作DE⊥x軸交直線BC于點E，點P為拋物線對稱軸上一動點，當線段DE的長度最大時，求PD+PM的最小值。

（三）當三角形的面積最大時，求倍數線段和的最小值

圖4

［例3］已知拋物線C1：y=ax2的圖像如圖4。直線l：y=點B為拋物線上的任意一點且滿足點B到點A的距離與點B到直線l的距離始終相等。

（1）直接寫出：a的值______；

（2）如圖5，若直線l2：y=mx+交拋物線于D、E兩點（點D在點E的右邊），交x軸于點F，過點E作EM⊥l于點M，過點D作DN⊥l于N，點H為MN的中點，若點H到直線l2的距離為，求m的值；

圖5

（3）如圖6，將拋物線C1向右平移2 個單位，向下平移1個單位得到拋物線C2，C2交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，點P為直線BC下方拋物線上一點，點Q為y軸上一點，當△PBC的面積最大時，求2PQ+CQ的最小值。

圖6

圖7

（2）如圖7，連接EH并延長交DN延長線于點G，連接AH，DH，∵∠EMH=∠GNH=90°，∠EHM=∠GHN，MH=NH，∴△EMH≌△GNH，∴EH=GH，EM=GN，∵EA=EM，DA=DN，∴ED=EA+DA=EM+DN=DG，∴∠EDH=∠GDH，DH⊥EG，∴△ADH≌△NDH(SAS)，∴∠HAD=∠HND=90°，∴AH=

（3）∵拋物線C1向右平移2個單位，向下平移1個單位得到拋物線C2，∴C2的解析式為y=(x-2)2-1，即y=x2-4x+3，令y=0，得(x-2)2-1=0，解得x1=1，x2=3，∴A(1,0)，B(3,0)，令x=0，得y=3，∴C(0,3)，

設直線BC的解析式為y=kx+3，∴3k+3=0，即k=-1，∴直線BC的解析式為y=-x+3，

如圖8，連接PB，PC，作直線BC，過點P作PW⊥x軸，交直線BC于點W，設點P的橫坐標為x，則P(x,x2-4x+3)，W(x,-x+3)，∴WP=-x+3 -(x2-4x+3)=-x2+3x，∴S△PBC=

圖8

點評：本題考查了拋物線的解析式、拋物線的最值、拋物線與一元二次方程的關系、三角函數、勾股定理、等腰三角形的性質和判定、全等三角形和垂線段最短。熟練掌握拋物線解析式的確定，三角函數性質，線段和的最值求法是解題的關鍵。