軸對(duì)稱狀態(tài)的應(yīng)力表示和測試儀器開發(fā)

于化月， 李順群,2， 劉繼承

(1. 天津城建大學(xué)土木工程學(xué)院，天津 300384; 2. 天津市軟土特性與工程環(huán)境重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300384)

0 引 言

應(yīng)力和應(yīng)變是物體在承受力、熱、干濕循環(huán)等各種作用時(shí)自身的客觀力學(xué)反應(yīng)[1-2]。力學(xué)反映的大小和速率一方面依賴于外界作用的種類、大小、作用時(shí)間、溫度等因素，另一方面依賴于土體自身的彈性、塑性、粘性等力學(xué)性質(zhì)以及熱膨脹系數(shù)等熱學(xué)參數(shù)和滲透系數(shù)、蒸發(fā)排泄量等水文參數(shù)[3-5]。

與物體的冷熱程度一樣，土體的應(yīng)力和應(yīng)變也是客觀存在的。根據(jù)研究對(duì)象或研究目的的不同，人們研究出了開氏溫標(biāo)、華氏溫標(biāo)（°F）、攝氏溫標(biāo)（℃）以及國際實(shí)用溫標(biāo)等多種冷熱程度表示方法。與冷熱程度的表述可以采用不同方法一樣，應(yīng)力和應(yīng)變的表述理論上也可以根據(jù)研究目的的不同而采用不同的形式。劉曉坤等[6]研發(fā)了便攜式壓入設(shè)備獲取材料的單軸應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。張海東等[7]采用SHPB獲得了人工凍土在不同溫度下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。尹濤等[8]提出一種能量分離函數(shù)并由此給出毫小薄片漏斗試樣循環(huán)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的預(yù)測模型。

在三維空間中，土體中的應(yīng)力常用3正應(yīng)力+3剪應(yīng)力的形式表示[9]。對(duì)于各向同性土體，則可以簡化為3主應(yīng)力的形式。與三軸測試技術(shù)相適應(yīng)，3主應(yīng)力可以進(jìn)一步被表示為p、q、θσ或p、q、b等形式[10-12]。

對(duì)于各向異性土體，3正應(yīng)力+3剪應(yīng)力的表示方法不能簡化為3主應(yīng)力形式而只能表示為3主應(yīng)力+3主方向形式，因此仍然需要6個(gè)參數(shù)才能表述。為了更準(zhǔn)確得到土體中三維應(yīng)力，李順群[13]給出了一類將三維應(yīng)力表示為6個(gè)正應(yīng)力的方法，并在此基礎(chǔ)上研制出了三維土壓力盒。閆旭麗等[14]通過土體中6個(gè)應(yīng)力分量采用Mindlin經(jīng)典理論，研究基坑開挖過程中在隧道周圍土體的應(yīng)力路徑演變規(guī)律。袁聚云[15]等推導(dǎo)出豎向線荷載和條形均布荷載作用下土中6個(gè)應(yīng)力分量表達(dá)式。陳郁等[16]考慮土體中6個(gè)應(yīng)力分量得出隧道隆起的應(yīng)力計(jì)算表達(dá)式。

樁基礎(chǔ)、沉井等軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)和軸對(duì)稱受力狀態(tài)在工程中十分常見，研究適用于軸對(duì)稱三維受力狀態(tài)的正應(yīng)力表示方法，開發(fā)適用于軸對(duì)稱狀態(tài)的三維應(yīng)力測試裝置，一方面對(duì)完善軸對(duì)稱力學(xué)理論具有理論意義，另一方面能為設(shè)計(jì)、施工和養(yǎng)護(hù)提供簡捷、高效、可靠的第一手測試數(shù)據(jù)和技術(shù)支撐。

1 軸對(duì)稱狀態(tài)的應(yīng)力特點(diǎn)

軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)是一般三維應(yīng)力狀態(tài)的特殊情況，表現(xiàn)為應(yīng)力各分量沿某軸線的對(duì)稱。

1.1 三維應(yīng)力狀態(tài)的一般形式

三維應(yīng)力狀態(tài)包括3個(gè)正應(yīng)力分量和3個(gè)剪應(yīng)力分量共6個(gè)應(yīng)力分量，即

在直角坐標(biāo)系下，三維應(yīng)力通常借助立方單元體表示，如圖1所示。

圖1 三維應(yīng)力狀態(tài)的表示

可見，若要確定土體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，需要得到式（1）中的6個(gè)參數(shù)。對(duì)于各向同性土體，則確定3個(gè)主應(yīng)力即可。

1.2 軸對(duì)稱條件下三維應(yīng)力狀態(tài)的特點(diǎn)

由于土的復(fù)雜性，各向同性假設(shè)在多數(shù)情況下無法滿足。因此，若要全方位了解土體應(yīng)力狀態(tài)，則需要盡可能地的測試所有必要的應(yīng)力分量。但增多測試元器件、增大傳感器尺寸，必然會(huì)增大誤差傳遞效應(yīng)和使用上的困難。因此，充分利用應(yīng)力分布規(guī)律和特點(diǎn)，可減小測試元件數(shù)量和傳感器尺寸，并有效提高測試效果。

軸對(duì)稱狀態(tài)是一種常見的特殊工程狀態(tài)，其應(yīng)力狀態(tài)滿足

因此，軸對(duì)稱條件下的應(yīng)力狀態(tài)除了圖1（b）的表達(dá)方式之外，還可以表示為

所以，軸對(duì)稱狀態(tài)下的三維應(yīng)力有4個(gè)獨(dú)立的應(yīng)力分量。即確定了這4個(gè)應(yīng)力分量，就等于確定了該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。

2 應(yīng)力表示方法的力學(xué)理論基礎(chǔ)

若已知一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)σj，則該點(diǎn)任意方向上{l m n}的正應(yīng)力σ為

由于軸對(duì)稱狀態(tài)滿足式（2）、式（3），因此式（5）簡化為

可見，式（9）與式（4）在形式上雖然差異很大，但它們的表示效果是相同的，即都可以完整表示軸對(duì)稱狀態(tài)下的應(yīng)力狀態(tài)。類似于開氏溫標(biāo)、華氏溫標(biāo)與攝氏溫標(biāo)，{σ1σ2σ3}、{ p q θσ}與{p q b}形式不同但功能相通是一致的。

另外，與開氏溫標(biāo)和攝氏溫標(biāo)之間有一個(gè)轉(zhuǎn)換關(guān)系相似，σ與σj之間也有特定的關(guān)系，這個(gè)關(guān)系就是轉(zhuǎn)換矩陣T及其逆矩陣T-1。而T和T-1取決于4個(gè)方向向量{limini}（i=1,2,3,4）。

根據(jù)正應(yīng)力和剪應(yīng)力的特點(diǎn)可知，正應(yīng)力是可以通過土壓力盒等傳感器直接測試出來的，而剪應(yīng)力則難以直接測試出來。通過測試4個(gè)特定方向上的正應(yīng)力，就可以通過式（11）得出軸對(duì)稱條件下的三維應(yīng)力。經(jīng)過持續(xù)攻關(guān)，課題組在上述應(yīng)力表示方法研究成果的基礎(chǔ)上，研制出了一系列適用于軸對(duì)稱受力條件的三維土壓力盒。通過在模型桶中的加載試驗(yàn)，證明了其科學(xué)性、可靠性、合理性和實(shí)用性。

3 模型桶三維加載試驗(yàn)系統(tǒng)

本試驗(yàn)系統(tǒng)包括模型桶、加載系統(tǒng)和數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)，如圖2所示。

圖2 試驗(yàn)系統(tǒng)組成

模型桶由玻璃纖維圓桶加工而成，直徑700 mm、高2 000 mm。加載系統(tǒng)由10 mm承壓鋼板、?16 mm抗拉鋼筋、100 mm厚混凝土承壓蓋板、工字鋼梁和數(shù)顯液壓千斤頂?shù)冉M成。數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)由應(yīng)力應(yīng)變數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)和電腦組成。

通過數(shù)顯液壓千斤頂施加荷載，即可在圓桶土體中實(shí)現(xiàn)軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)。將后文開發(fā)的適用于軸對(duì)稱條件的測試儀器埋設(shè)在模型桶內(nèi)，可測試其三維應(yīng)力狀態(tài)。

4 正應(yīng)力表示方法和相應(yīng)的測試儀器

根據(jù)式（10）可知，只要滿足T的可逆條件，就可以用相應(yīng)4個(gè)方向上的正應(yīng)力表示軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)。因此，軸對(duì)稱條件下三維應(yīng)力的表示方法不是唯一的。基于科學(xué)性、實(shí)用性原則，本文給出了4種誤差較小的正應(yīng)力表示方法并開發(fā)出了相應(yīng)的測試儀器，儀器在使用前，需將熱熔膠涂抹在樹脂基座土壓力盒的凹槽側(cè)壁，并迅速將土壓力盒置于凹槽中，使膠體與土壓力盒側(cè)面充分粘結(jié)，以達(dá)到將土壓力盒與樹脂基座固定的效果。

4.1 正四面體式

四個(gè)面都是全等的正三角形的四面體稱為正四面體。設(shè)一個(gè)正四面體單元OABC，它在三維空間（x，y，z）中的位置如圖 3所示。平面ACB、BCO、OCA、OAB分別定義為 α、β、γ 和 ω。若定義lα、mα、nα，lβ、mβ、nβ，lγ、mγ、nγ，lω、mω、nω分別為平面 α、β、γ和ω的法線在x、y、z三個(gè)坐標(biāo)軸上的單位方向向量，則其計(jì)算過程如表1所示。

圖3 正四面體應(yīng)力

表1 正四面體各平面的單位方向向量

在α、β、γ和ω面上開槽并布置土壓力盒，如圖4所示。將其埋設(shè)于圖2相應(yīng)位置后加載，可得到測試值。將測得的數(shù)值代入式（11），即可得到相應(yīng)的三維應(yīng)力。

圖4 正四面體式三維土壓力盒

該測試儀器測試了圖2的一個(gè)加載過程，其值如表2所示。

表2 正四面體式4個(gè)應(yīng)力測試值

相應(yīng)的三維應(yīng)力如表3所示。

表3 正四面體式相應(yīng)的三維應(yīng)力

4.2 五棱臺(tái)式

制作如圖5所示的五棱臺(tái)基座和對(duì)應(yīng)的三維土壓力盒。

圖5 五棱臺(tái)加工過程及相應(yīng)的三維土壓力盒

其中圖（a）中ABCDE-FGHJK為五棱臺(tái)，ABCDE-A′B′C′D'E′為切割后的五棱臺(tái)，α1、α2、α3、α4分別為布置傳感器的平面，α5為導(dǎo)線出線孔所在平面。α、β、γ和 ω分別為平面ABCDE、AA'B'B、EE'A'A、DD'C'C，相應(yīng)的單位方向向量分別為{0.15，0.95，0.33}、{0.83，0.28，0.57}、{0.85，0.39，0.33}和{0，0，1}。因此有

該測試儀器測試了圖2的一個(gè)加載過程，其值如表4所示。

表4 五棱臺(tái)式4個(gè)應(yīng)力測試值

相應(yīng)的三維應(yīng)力如表5所示。

表5 五棱臺(tái)式相應(yīng)的三維應(yīng)力

4.3 異形六面體式

制作如圖6所示的異形六面體基座和對(duì)應(yīng)的三維土壓力盒。

圖6 異形六面體加工過程及相應(yīng)的三維土壓力盒

其中，圖（a）中ABCD-EFGH為四棱臺(tái)，l1、l2、l3、l4分別為4個(gè)傳感器的方向向量；α、β、γ和ω分別為平面DHGC、CBFG、ABFE、ABCD，相應(yīng)的單位方向向量分別為{0.15，0.95，0.33}、{0.83，0.28，0.57}、{0.85，0.39，0.33}、{0，0，1}。因此有

該測試儀器測試的圖2的一個(gè)加載過程數(shù)值如表6所示。

表6 異形六面體式4個(gè)應(yīng)力測試值

相應(yīng)的三維應(yīng)力如表7所示。

表7 異形六面體式相應(yīng)的三維應(yīng)力

4.4 異形十二面體式

該型三維土壓力盒制作過程較為復(fù)雜，制作如圖7所示的異形十二面體基座和對(duì)應(yīng)的三維土壓力盒。

圖7 異形十二面體加工過程及相應(yīng)的三維土壓力盒

其中圖（a）中O1、O2、O3、O4、O5、O6、O7、O8為正方體的頂點(diǎn)，C1、C2、C3、D1、D2、E1、E2、E3均為該正方體各邊中點(diǎn)，G1、G2、G3、G4分別為邊C1C2、C2C3、E1E2、E2E3的中點(diǎn)，F(xiàn)1、F2、F3、F4為切割點(diǎn)；圖（b）中分別取邊k1k2、k3k4的正中間長度均為17 mm的一段，這兩段組成一個(gè)長方形，以該長方形所在的平面為對(duì)準(zhǔn)面，并垂直于邊k1k2且平行于k1k4作一剖切體P1。同時(shí)，分別取邊k1k4、k2k3的正中間長度均為3 mm的一段，這兩段組成一個(gè)矩形，以該矩形所在的平面為對(duì)準(zhǔn)面，并垂直于邊k1k4且平行于k1k2作一剖切體P2，根據(jù)圖（b）切割后得到圖（c），將圖（c）的四個(gè)多面體在CAD中合并成一個(gè) 整 體 ， 即 形 成 多 個(gè) 平 面 分 別 為F1′F2′F3′F4′、K1′K2′K3′K4′、k1′k2′k3′k4′、β1、β2、β3和 β4。圖（e）中 1為多面體基座，2為土壓力盒，4為數(shù)據(jù)導(dǎo)線，6為水準(zhǔn)泡，9為數(shù)據(jù)導(dǎo)線出線孔洞，10為圓角邊。α、γ、ω 和 δ分別為圖 7 中的平面 β1、β2、β3和 β4，相應(yīng)的單位方向向量分別為{0.707，0，0.707}、{-0.707，0，0.707}、{0.707，0.707，0}、{-0.707，0.707，0}。因此

該測試儀器測試的圖2的一個(gè)加載過程數(shù)值如表8所示。

表8 異形十二面體式4個(gè)應(yīng)力測試值

相應(yīng)的三維應(yīng)力如表9所示。

表9 異形十二面體式相應(yīng)的三維應(yīng)力

5 測試儀器的誤差分析

三維應(yīng)力測試時(shí)，其誤差來源包括系統(tǒng)誤差和偶然誤差。根據(jù)李順群等的三維土壓力盒誤差計(jì)算方法，應(yīng)力狀態(tài)表示方法中各分量的誤差為

從式（21）～(24)可以看出，4種測試裝置均具有較高的測試精度，其中，正四面體式的正應(yīng)力測試精度最高；異性十二面體式的剪應(yīng)力測試精度最高。在測試時(shí)根據(jù)正應(yīng)力和剪應(yīng)力的重要程度，選擇合適的測試裝置。除系統(tǒng)誤差不同以外，4種測試裝置的操作過程并無差別，均適用于軸對(duì)稱狀態(tài)下的三維應(yīng)力測試。

6 結(jié)束語

本文依據(jù)土體中應(yīng)力是三維的，其軸對(duì)稱狀態(tài)下存在4個(gè)未知的應(yīng)力分量，而現(xiàn)有的有效應(yīng)力原理、極限平衡理論、莫爾庫倫強(qiáng)度理論并非依據(jù)土體的三維應(yīng)力狀態(tài)推導(dǎo)的，故本文結(jié)合軸對(duì)稱特點(diǎn)和任一方向上正應(yīng)力與三維應(yīng)力的關(guān)系，導(dǎo)出了軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)的單一正應(yīng)力表示方法。

1）在此基礎(chǔ)上，本文開發(fā)了正四面體式、五棱臺(tái)式、異形六面體式以及異形十二面體式共四種三維應(yīng)力測試裝置；

2）本文的研究豐富了應(yīng)力狀態(tài)理論、應(yīng)力表示方法和三維應(yīng)力測試技術(shù)；

3）在今后的研究中可使用本文開發(fā)的軸對(duì)稱狀態(tài)下的三維應(yīng)力測試裝置，得到土體的三維應(yīng)力。并根據(jù)土體的三維應(yīng)力狀態(tài)，推導(dǎo)出土體三維狀態(tài)下的有效應(yīng)力原理、極限平衡理論、莫爾庫倫強(qiáng)度理論。