基于外匯匯率的期權定價及其實證分析

李文漢, 鐘 盈, 呂桂穩

(1,河北地質大學 數理教學部,河北 石家莊 050031; 2.石家莊鐵道大學 數理系,河北 石家莊 050043)

0 引言

隨著經濟全球化的發展，在國與國之間的經濟、金融貿易中，外匯匯率扮演著越來越重要的角色。由于匯率具有隨機波動性，因此風險常常存在。作為金融衍生品的重要組成部分，匯率期權常用來進行套期保值，規避匯率風險，如何給出匯率的外匯期權的價格逐漸成為一個熱點問題。

在外匯期權定價研究中， German和Kolhage[1]基于Black-Scholes模型，首次給出了外匯期權的G-K模型，并得到了歐式外匯匯率期權的定價公式。他們假定外幣的收益率和波動率二者不是隨機的，而是給定的常數。隨后， Niklas等[2]對 G-K模型進行了推廣，提出了一個修正的方法，深入研究了外匯期權的定價問題。薄立軍等[3]、Swishchuket等[4]在馬爾科夫機制轉換(Markov-modulated)條件下，研究了具有跳-擴散過程的外匯期權的定價問題。考慮到實證分析，鄭振龍等[5]基于匯率的歷史數據，采用全樣本和分區樣本的實證分析，研究了有關外匯期權的隱含波動率報價問題，并提取了相關數據，進行了跨國資產配置方面的研究。胡瀟予[6]通過設定案例，利用外匯期權實現風險對沖，穩定外貿交易成本，提出了解決方案。

亞式期權又稱為平均期權，一般而言此類期權價格相對便宜，有利于套期保值，已經成為金融衍生品市場比較活躍的金融產品之一。從理論上講，可以分成算術平均亞式期權和幾何平均亞式期權。但是，算術平均亞式期權沒有明確的表達式，而幾何平均亞式期權具有明確的解析表達式。同時，按照執行價格可以分為固定執行價格和浮動執行價格。在此，本文主要討論按照固定執行價格執行的外匯匯率的幾何平均亞式期權的定價問題。

在實證分析中，選取了美元/人民幣真實的歷史數據進行分析，研究了本文給出的外匯冪期權、外匯幾何平均亞式期權的定價問題，并討論這些期權的一些性質。

1 模型假設與期權定價

1.1 模型假設

假設Ft表示t時刻以國內貨幣計價的一單位外幣，即為t時刻的即期匯率，滿足如下的隨機微分方程:

(1)

(2)

解式(2)得

(3)

1.2 基于外匯匯率的冪期權定價

假定α，K3，K0和K4是常數，并且在期權的到期日T，基于外匯匯率的冪期權的收益函數為:

(4)

其中K0>0,K4≥K3>0,I{·}表示示性函數。

性質若外匯匯率的冪期權的收益函數滿足式(4)，則

(1)若K0>K4，則C3(T)=0；

下面給出外匯匯率的冪期權定價公式。

定理 1如果外匯匯率的微分方程為式(2)，且其冪期權的在執行時刻T收益函數滿足式(4)。在目前時刻t，若外匯匯率的期權價格表示為C1(t,T),則:

(i)若K0>K4，則C1(t,T)=0;

(ii)若K3≤K0≤K4，則

(5)

其中

Φ(·)表示標準正態分布的分布函數。

(iii)若K0≤K3，則

(6)

其中

注:結合定理1中式 (5)，可知：

(I)若K3≤K0,K4=∞和α=1，則式(5)是Black-Scholes(簡記“BS”)模型定價公式。

(II)若K3≤K0，K4=∞和α≠1，則式(5)是基于BS模型的冪期權(表示為 “PBS”)定價公式。

1.3 基于外匯匯率的幾何平均亞式期權定價

(7)

在期權的到期日T，假定按照固定執行價格執行的外匯匯率的幾何平均亞式期權的收益函數為

(8)

其中K1是執行價格。

定理2如果外匯匯率的微分方程為式(2)，按照固定執行價格執行的外匯匯率的幾何平均亞式期權在時刻T收益函數滿足式 (8)。在目前時刻t，若外匯匯率的期權價格表示為C2(t,T)，則:

(9)

2 實證分析

2.1 期權價格過程

本部分重點討論期權定價問題。在本小節中，假定定理1 中的基于外匯匯率的冪期權(取α=1，簡記為：FP)、定理2中的外匯匯率的幾何平均亞式期權(簡記為:AS)以及Black-Scholes 外匯期權定價模型(簡記為： BS)的執行價格均為相同的值，經過編寫程序進行運算，分別得到了三類期權的價格，期權價格見表1。

表1 期權的價格

由表1可知，在同等條件下，盡管定理1中外匯匯率冪期權的收益函數限定了匯率的范圍，可是外匯匯率的幾何平均亞式期權價格還是最低，BS模型下期權價格最高。這個結論說明，在冪期權的收益函數中，設定匯率在某一范圍變化后，所求期權價格介于以上二者期權價格之間，因此，構造給定示性函數的外匯冪期權具有一定的實際意義。

在外匯市場，匯率一般是在一定的范圍內波動，否則，會給本國經濟帶來嚴重的不良后果。基于此，在實際生活中，任何國家不會放任本幣的匯率過大或者過小，那么對以匯率為標的資產的金融衍生品進行相關理論研究時，特別對外匯期權進行定價時，把匯率設定在某一執行區間更加合理。同時，構造匯率的冪函數的形式來研究冪期權，投資風險會隨著冪指數的增大而增強，因此可以通過選取不同的冪指數來調節投資風險。當然，當冪指數為1，并且沒有增加執行區間時，就是BS模型下期權價格，顯然表1中FP模型下的期權價格較低。另外，研究匯率的幾何平均亞式期權定價過程中，通過構造外匯匯率的幾何平均表達式可以看出，其波動率變小了。總之，相比以上兩類期權(α=1)的價格，幾何平均亞式期權的價格較低，事實也是如此。

2.2隱含波動率(Implied Volatility)是把所求期權的價格代入期權定價模型中反算出來的，反映的是對標的資產價格波動率的預期。事實上，在金融衍生品市場上期權的隱含波動率是與期權的執行價格和到期時間密切相關的。對于相同的到期時間，隱含波動率隨著期權的執行價格而變動。隱含波動率越大，說明存在的風險也越大。

本部分主要討論外匯匯率冪期權關于冪指數α的隱含波動率。由以上假定K4=7.3，分別取α=1.1,1.2,1.3，通過編寫程序，得到了有關的隱含波動率圖像(見圖2)。在圖2中，隱含波動率隨著執行價格的增加而減小，并且標的資產(匯率)的冪指數α值越大，波動率變化越大，反應了風險越大，這個結論與實際相一致。

3 結論

本文給出具有連續擴散過程的外匯匯率的微分方程，在此基礎上得到了一類新形式下具有外匯匯率的示性函數的冪期權和幾何平均亞式期權的價格顯示解，并對美元/人民幣匯率的歷史數據進行了統計分析。在此基礎上，討論了基于美元/人民幣匯率的兩類期權價格過程，分析了隱含波動率。本文只是研究了具有連續性擴散過程外匯匯率的期權定價問題，模型還可以進一步擴展到具有跳擴散過程情形的微分方程，以及利率和波動率具有隨機性的外匯匯率微分方程形式。