拋物線插值法用于液壓機工藝曲線的研究

賀永森，陳 江

（合肥合鍛智能制造股份有限公司 技術(shù)中心，安徽 合肥 230601）

1 背景與現(xiàn)狀

實際生產(chǎn)中，封頭液壓機需要控制壓邊滑塊的壓力隨著拉深滑塊的位移按照一定工藝曲線變化，才能保證工件在拉深過程中變形均勻，既不起褶皺也不會減薄。根據(jù)壓邊力與拉深滑塊位移的對應(yīng)關(guān)系可以生成壓力-位移曲線。這種曲線是非線性函數(shù)關(guān)系，無法直接使用某個函數(shù)表達式表示出來。

為了擬合這種壓力-位移曲線，各壓機生產(chǎn)廠家使用了不同的控制方法。目前絕大多數(shù)廠家使用分段定值法來對該曲線進行擬合。分段定值法就是將需要控制的參數(shù)劃分出若干區(qū)域，每個區(qū)域給不同的固定數(shù)值使其結(jié)果更貼近所需要的曲線。分段定值法原理簡單，理論上講分段定值法分段越少誤差越大，分段越多精度越高，只要能夠分足夠多的段即可完美模擬出所需軌跡曲線。但隨著分段越多，需要設(shè)置的參數(shù)就越多，程序就越復(fù)雜，現(xiàn)場使用越麻煩，因此只應(yīng)用在精度要求不高的場合。分段定值法的表達式如式（1），其示意圖如圖1 所示。

圖1 分段定值法示意圖

少部分液壓機的控制采用分段的線性插值法來擬合。線性插值法是指先在需要擬合的軌跡上選取若干基準(zhǔn)點，然后使用直線段將這些基準(zhǔn)點依次連接起來，通過計算各線段的斜率和各個基準(zhǔn)點的坐標(biāo)值即可在各級點之間插入若干數(shù)值來擬合曲線軌跡。其表達式見式（2），示意圖如圖2 所示。

線性插值方式比分段定值方式有很大進步，基本可以滿足大部分生產(chǎn)工藝的需要，由于各基點之間都是直線段，因此各線段的轉(zhuǎn)折處都比較生硬，對一些要求變化平滑的工藝仍然無法滿足需要。

理論上來說使用三次樣條曲線來擬合軌跡曲線是可行的，但由于求三次樣條曲線需要求導(dǎo)，大多數(shù)PLC 語句都不支持，而且編程復(fù)雜，占用運算資源太大，不適用于PLC 控制系統(tǒng)。

針對這種情況本文提出使用拋物線插值法來實現(xiàn)平滑的工藝曲線的擬合。同時使用拋物線插值法擬合曲線軌跡在使用PLC 控制時不占用太多資源，減少了算法對PLC 掃描周期的影響。

2 基本原理

拋物線插值法（parabolic interpolation method）又稱二次插值法，是一種多項式插值法，是逐次以擬合的二次曲線的極小點，逼近原尋求函數(shù)極小點的一種方法[1]。其拋物線表達式為

該表達式依次經(jīng)過曲線的三個點P1，P2，P3，且在t=0 時曲線在起點P1，在t=1 時曲線在終點P3，在t=0.5 時曲線在點P2，且切矢量等于P3-P1。

張永利在分段二次拋物樣條插值法[2]一文中對該曲線進行了推導(dǎo)，得到了矢量化的拋物線多項式P（t）=（2t2-3t+1）P1+（-4t2+4t）P2+（2t2-t）P3（0≤t≤1）

然后對兩條曲線段的搭接進行了加權(quán)合成，得到了一個方程組

該組方程可平滑地擬合出多點的樣條曲線。可以用該方程組來擬合需要的曲線軌跡，如圖3 所示。

圖3 拋物線插值法

楊連發(fā)[3]在研究變壓邊力的拉深裝置時指出，滑塊的壓邊力在拉深過程中呈現(xiàn)先增大后減小的曲線時拉深工件的質(zhì)量最好。對該曲線可以用拋物線插值法進行擬合。先繪制出理想的壓邊壓力（P）-拉深深度（S）軌跡曲線，如圖4 所示，再將拉深深度S 對應(yīng)圖形的X軸，壓邊壓力對應(yīng)Y軸，沿X 軸方向?qū)⑶€段平均分為十段，定義11 個基準(zhǔn)點S1～S11，對應(yīng)Y 軸上定義11 個點P1，P2…P11作為曲線擬合的基準(zhǔn)點。

圖4 壓力（P）-位移（S）軌跡曲線

由于Pi+1（t）函數(shù)表示的是點Pi+1到Pi+2之間的線段，因此這種方法從n 個點中只能得到n-3 條線段，最兩側(cè)的線段無法得到。我們可以在兩側(cè)增加輔助點的方法得到兩側(cè)的線段。在線段前側(cè)增加P0，使P0=P1，在線段后側(cè)增加P12，使P12=P11。這樣就能完整地將這條曲線段擬合出來。

3 PLC 程序設(shè)計

根據(jù)上述理論可以完成程序的編制。以封頭液壓機的壓邊力控制為例，使用拉深滑塊的深度作為X軸，以壓邊滑塊的壓力目標(biāo)值作為Y軸，使用拋物線插值法進行擬合。本例使用西門子TIA Portal 編制控制程序。需要先使用SCL 語言建立查表、轉(zhuǎn)換和拋物線插補的FB塊，然后在OB1 組織塊中進行調(diào)用。程序通過位移傳感器實時讀取拉深滑塊的位移，通過查表程序判斷滑塊走到哪一段曲線，然后調(diào)用拋物線插補程序得到壓邊滑塊的目標(biāo)壓力值。最后使用PID 運算控制伺服閥實時跟隨壓邊滑塊的目標(biāo)壓力值。FB 塊程序如下：

4 實驗?zāi)M

對該程序使用了TIA Portal 自帶的S7-PLCSIM進行仿真。在中斷中生成數(shù)據(jù)發(fā)生器來模擬滑塊運行的拉深深度，生成軌跡過左側(cè)設(shè)定的十個基準(zhǔn)點。最終生成軌跡曲線如圖5 所示，過十個基準(zhǔn)點的曲線是一個平滑的樣條曲線，這樣的軌跡可以減少壓力突變帶來的震動和工件拉深過程中產(chǎn)生的褶皺，可有效提升工件質(zhì)量。

圖5 位移-壓力軌跡圖

5 結(jié)束語

使用拋物線插值法生成平滑曲線軌跡并用于封頭液壓機壓邊力的控制，從而提高了壓邊力變化的平滑度，可有效提升產(chǎn)品的質(zhì)量。該方法還可以在其他類型的液壓機上進行推廣。例如內(nèi)高壓成形液壓機在壓制過程中需要控制兩側(cè)液壓缸隨著高壓缸壓力的增加而增加，兩側(cè)缸的推進位置與高壓缸壓力形成一條非線性曲線。鋁合金熱壓構(gòu)件在壓制時隨工件溫度降低其壓力要隨著工件溫度按照非線性曲線降低才能得到滿意的強度和表面質(zhì)量。這些工況都可以使用拋物線插值法來擬合。這些算法的加入，必將有效提升液壓機整體的性能。