小樣本條件下智能布點代理模型及優化設計

金亮， 張哲瑄， 楊慶新， 張闖， 劉素貞

(河北工業大學 省部共建電工裝備可靠性與智能化國家重點實驗室，天津 300130)

0 引 言

隨著電工裝備復雜度的增加和科學研究對數值模擬精度需求的提高，面向電工裝備結構分析的難度也越來越高，對設備一些性能參數的分析計算會消耗大量的計算資源和時間，因此急需提高電工裝備結構分析的時效性和設計效率。考慮到產品級數值模擬或大型電工裝備實測樣本的珍貴性，所以如何降低樣本需求就成為電工裝備性能分析與優化的現實問題。

電工裝備性能分析與優化的經典做法為通過有限元法進行數值模擬，以實現設計參數的仿真校驗并對其進行微調[1-6]。但是受計算速度限制，一些精細模擬難以完成，產品級精細模型的計算也面臨計算時間過長的問題。如特高壓變壓器的仿真計算需要多組工況的計算，而一次計算就需要將近幾天甚至幾十天的時間[7]。有限元計算的精度很大程度受限于網格剖分精細程度[8]，以小型非晶合金變壓器為例，為得到高精度計算結果，需要精細剖分近3萬個網格，即便關鍵部分手動剖分也需要近1萬個網格。

為了降低數值模擬對計算資源和時間的需求，通過構建代理模型代替數值模擬參與到優化流程中是可行和高效的方法，稱為代理優化(surrogate-based optimization, SBO)算法。文獻[9]將支持向量機(support vector machine, SVM)與布谷鳥算法相結合對變壓器故障進行診斷。文獻[10]利用化學反應優化算法優化了雙支持向量機(TWSVM)參數來選擇最佳訓練參數，有效解決了經典支持向量機易受到不平衡和樣本不足的問題。文獻[11]通過一次或多次加入樣本點，改進代理模型的樣本選擇，提高代理模型計算的收斂速度。現有的代理模型主要分為以下幾種：多項式響應面、Kriging和支持向量機SVM等。對于復雜的變壓器優化設計問題，目前采用基于徑向基核函數的支持向量機SVM作為代理模型是一種高效的SBO算法。文獻[12]對油中溶解氣體分析方法進行改進，提出了基于支持向量機SVM和基于遺傳算法(genetic algorithm,GA)優選的新特征向量，重新建立了基于支持向量機SVM的變壓器故障診斷模型，采用遺傳算法的同時，對支持向量機SVM參數和特征值進行優化，有效提高了變壓器的故障診斷正確率。文獻[13]提出了改進麻雀搜索算法(improved sparrow search algorithm,ISSA)，引入動態反向學習因子對種群進行優化選擇以提高算法全局尋優能力，建立了基于油中溶解氣體分析的ISSA算法優化支持向量機SVM的故障診斷模型，從而更精準地預測變壓器運行狀態。文獻[14]對粒子群優化算法進行改進，提出基于改進粒子群算法的支持向量機SVM，對電力變壓器故障進行診斷。文獻[15]研究了變壓器繞組熱點溫度的支持向量機SVM建模，選用徑向基核函數(radial basis function,RBF)優化模型結構，通過遺傳算法優化參數，提高了模型預測的準確性。但代理模型在訓練時存在樣本需求多、易出現過擬合、泛化能力差等問題[16-19]。因此如何進一步降低代理模型訓練時所需的樣本數和提高預測精度，就具有很重要的科學研究價值和現實意義[20]。

針對以上問題，本文提出一種智能布點的改進代理模型及其優化設計方法。在少量樣本點的情況下，著重解決電工裝備的代理模型預測精度問題，增強模型泛化能力。首先對代理模型進行優化，在采樣上改進拉丁超立方抽樣方法，實現基于均勻準則的最優拉丁超立方設計，相較于典型正交試驗可降低對有限元樣本的數量需求。基于信賴域思想改進并實現智能布點方法，其采樣空間會隨預測結果自適應變化。當代理模型精度不滿足要求時，將測試點與舊樣本點合并，利用組合樣本重新構造代理模型，極大提高代理模型更新效率和預測精度。考慮到實驗的便利性和可重復性，以小型非晶變壓器的優化設計為案例驗證代理模型和優化算法的準確性。

1 基于代理模型的優化設計方法

1.1 代理模型

代理建模無需對研究對象內在物理具有很深的理解和研究，主要是通過研究對象的輸入輸出樣本數據來建立相對應的映射關系。代理模型方法研究內容主要包含兩方面：一是如何選取構造代理模型的樣本點，屬于實驗設計的范疇；二是以何種形式進行數據擬合與預測，這是代理模型方法的主體。兩個方面都直接影響代理模型的構建效率和精度。

基于實驗設計和樣本信息可建立不同類型的代理模型，常用的代理模型包括響應面(response surface,RS)、Kriging模型、徑向基函數(radial basis function,RBF),支持向量機(support vector machine,SVM)、神經網絡(neural networks,NN)和多元自適應樣條回歸(multivariate adaptive regression splines,MARS)等。

1.2 優化設計

考慮復雜工況下的目標優化具有重要的工程應用價值。優化設計在電工裝備開發中已經得到廣泛應用，在對復雜結構電工裝備進行分析時，代理模型是利用有限的樣本信息建立一種結構輸入輸出之間的關系，并用簡單的函數表達式來顯示化。基于代理模型進行結構優化設計，可以有效提高計算效率。

2 基于信賴域智能布點代理模型

傳統典型正交試驗是設計變壓器參數的最常見的試驗方法。針對試驗所得樣本，采用極差分析、方差分析等數理統計方法進行分析，可得出一些定性的結論，進而指導結構參數設計。但是，這種方法在處理少樣本情況下具有明顯的局限性。

2.1 智能布點技術

在典型正交試驗的布點基礎上，設計一種智能布點方法，用于減少構建代理模型所需樣本點。這種改進來自以下兩個方面：

1)按照優化目標構建只符合帕累托前沿的局部高精度代理模型，極大降低代理模型對樣本點的需求；

2)考慮到個別樣本點會對代理模型精度產生較大的影響，將樣本點的選取與基于當前樣本點的代理模型優化結果相關聯，按照信賴域思想，實時更新樣本空間，實現智能布點。

2.2 樣本點和測試點的選取

一般通過抽樣的方法選取樣本點，常用的多維分層抽樣需要將輸入的樣本空間等概率的分成N個區間，抽樣數目會隨著輸入數量的增加而指數上升，呈現指數災難問題。為避免樣本選擇量過大，可以通過拉丁超立方抽樣法產生初始樣本點。

拉丁超立方設計(latin hypercube design,LHD)，是一種分層隨機抽樣，能夠從變量的分布區間進行高效采樣，假設有n個變量(X1，X2，…，Xn)，從每個變量規定的區間中取出L個樣本，則每個變量的累計分布被分成相同的N個區間，再使每個變量的L個樣本和其他變量的L個樣本進行隨機組合，從而生成L組樣本點。拉丁超立方設計LHD可以最大化的使每一個邊緣分布分層，并能夠保證每一個變量范圍的全覆蓋。以兩個變量為例的拉丁超立方設計LHD，如圖1(a)所示。

為降低拉丁超立方設計LHD的隨機性，提高穩定性，按照均勻設計準則，對布點空間進行改進，實現基于均勻準則的最優拉丁超立方設計(optimal Latin hypercube design,OLHD)，如圖1(b)所示。

圖1 抽樣方法布點圖Fig.1 Layout diagram of Latin hypercube design

通過最優拉丁超立方設計OLHD從初始設計空間中獲得初始樣本點，在代理模型精度評價和更新過程時，采用基于信賴域樣本空間更新策略更新樣本空間，再通過拉丁超立方設計LHD產生測試點，并利用優化算法進行優化求解。其中，基于信賴域思想的樣本空間更新步驟如下：

步驟3：信賴域邊界控制。為解決對代理模型多次更新迭代后有概率出現信賴域半徑連續縮小，致使更新后的樣本空間陷入局部固定、新增樣本點過于集中，導致支持向量機SVM(以徑向基函數為核函數)代理模型精度的陷入局部最優的問題。預先設置最小更新半徑Rmin，當更新后的樣本空間Rd

二維設計變量空間內進行智能布點實驗設計的結果，如圖2所示。距離樣本點越近誤差越小，距離樣本點越遠誤差可能越大，而基于信賴域思想的選取的樣本點，其采樣空間會跟隨上一代樣本點得到的目標值自適應變化。

圖2 在OLHD基礎上獲得新樣本點Fig.2 Obtain new sample points on the basis of OLHD

當代理模型檢驗精度不滿足要求時，將測試點與舊樣本點合并，利用組合樣本重新構造代理模型，極大程度地提高代理模型更新精度和效率。

2.3 更新流程

使用了基于徑向基核函數的支持向量機SVM構建代理模型，基于信賴域智能布點代理模型的優化流程，如圖3所示。

圖3 基于信賴域智能布點代理模型流程圖Fig.3 Flow chart of intelligent point distribution proxy model based on trust region

步驟1：設定代理模型的精度要求ε、形參數的取值范圍、搭建代理模型所需要的樣本點個數N和檢驗代理模型所需要的測試點個數N*。代理模型的精度ε*可表示為

(1)

步驟2：利用最優拉丁超立方設計OLHD獲得N個非晶合金變壓器的設計參數，通過有限元模型計算代理模型獲得的N個非晶合金變壓器的設計參數對應的性能值(振動和體積)，形成N個樣本點。

步驟3：在當前N個樣本點的基礎上，利用拉丁超立方設計LHD獲得N*個測試點，通過有限元模型計算獲得N*個測試點所對應的變壓器設計參數的真實值。

步驟4：利用有限元模型計算獲得的N個樣本點搭建代理模型。

步驟5：使用得到的測試點N*對當前代理模型精度進行誤差評估并通過優化算法對代理模型的形參數進行優化，使當前代理模型的精度ε*達到最大。

步驟6：判斷當前預測精度ε*是否滿足規定的精度ε(或上一代的預測精度)，若ε*<ε(或上一代預測精度)，則表示當前代理模型預測精度不足，可通過信賴域思想重新生成采樣空間。需要將拉丁超立方設計LHD生成的測試點并入樣本點中，并通過拉丁超立方設計LHD在當前樣本點的基礎上重新生成和補充新的測試點。重復步驟3到步驟6，直到當前預測精度ε*滿足預設精度要求ε*≥ε，可終止迭代過程，得到最終的代理模型。

3 非晶合金變壓器優化問題

非晶合金變壓器對于新能源技術意義重大，其振動問題引起人們的廣泛關注，為實驗驗證方便，選取小型非晶合金變壓器作為案例驗證，從理論和實踐來講，結論對于大型非晶合金變壓器具有一致性。

在系統容量和工作頻率一定的情況下，變壓器設計需考慮體積(也就是重量)和振動等問題。一般使用AP法確定的變壓器鐵芯型號，變壓器體積大小主要由鐵心尺寸確定，從而確定變壓器體積。鐵心的尺寸又取決于窗口面積和鐵心有效截面積乘積，與鐵心長度、窗口高度、窗口寬度、線圈匝數和線圈導線截面積等多個參數關系如下：

AP=AwAe；

(2)

(3)

式中：AP表示鐵心尺寸；Aw為窗口面積；Ae為鐵心有效面積；U1為有效值電壓；Np為匝數；Φ為磁通量；BAC為磁通密度；Kf為波形系數；T為周期；f為頻率。

通過在鐵心上繞制初級和次級繞組，制成一個小型單相非晶合金變壓器樣機，鐵心模型結構，如圖4所示。圖中的字母對應變壓器的設計參數，如A為鐵心迭厚，B為窗口寬度，C為窗口高度，R為窗口圓角半徑等。

圖4 鐵心模型結構圖Fig.4 Structure drawing of core model

鐵心的主要設計參數如表1所示。

表1 設計參數Table 1 Design parameters

通過有限元仿真軟件COMSOL建立非晶合金變壓器的有限元仿真模型。按照計算需求和實際情況進行部分簡化，例如非晶合金變壓器鐵心由極薄的非晶帶材壓制而成，在仿真建模中，建模為整塊鐵心，簡化建模復雜度；線圈繞組也由線圈體所代替。實際工程應用中，非晶合金的飽和磁通密度約為1.5 T，當作為鐵心材料時，額定工作磁通密度約在1.2～1.3 T。有限元方法計算的鐵心磁通密度，如圖5所示。與實際工程應用中非晶合金變壓器的工作磁密相吻合。

圖5 鐵心磁通密度計算Fig.5 Core flux density calculation

變壓器振動問題主要為磁致伸縮和電磁力引起的鐵心振動。通過電磁場和彈性力學原理，可求解出變壓器工作時鐵心的磁場分布和振動特性。進一步根據應力-應變和應變-位移的關系，可得振動系統的波動方程為

(4)

式中：M為質量矩陣；C為阻尼矩陣；K為剛度矩陣；u為節點位移；F主要包括麥克斯韋力和磁致伸縮力。對時間t的一階和二階偏導分別是節點速度和節點加速度。

規定X方向為平行于鐵心厚度方向，Y方向垂直于鐵心厚度方向，Z垂直于鐵心頂面方向。根據數值模擬的鐵心振動云圖可確定變壓器在X、Y、Z方向振動最大的3個測試點分別為a、b、c，如圖6所示。

圖6 a、b、c測試點Fig.6 Vibration test a、b、c

根據研究的變壓器結構設計問題，將優化目標設定為：a測試點X方向振動加速度峰值ax，b測試點Y方向振動加速度峰值ay，c測試點Z方向振動加速度峰值az和變壓器的體積V。

4 實驗與結果分析

4.1 預測結果

優化目標為x、y、z方向上的振動加速度和變壓器的體積，考慮到傳統變壓器優化設計和AP法對結構限制，選擇以鐵心高度、鐵心迭厚、繞組匝數、窗口寬度、導線截面積作為輸入變量，初始樣本點個數N=10，測試點個數N*=10，代理模型預測精度要求ε*>95%。

首先利用初始的10個樣本點搭建代理模型，通過求解當前樣本點生成代理模型的最優目標值，與初始測試點得到的數據進行誤差評估，得到的預測結果精度小于初始設定的精度要求。此時，基于信賴域思想，采樣空間會跟上一步的樣本點得到的目標值自適應變化，即將初始樣本點和測試點合并重新生成采樣空間，并生成新一組的測試點。重復上述步驟，不斷迭代求解當前樣本點得到的預測精度ε*。

當迭代6次后，此時通過智能布點得到的訓練樣本數據N為70個，測試樣本點個數為10，編號為70到80，此時的預測精度ε*>95%，達到初始設定的精度要求，然后通過繪制圖像分析經過智能布點模型優化后得到的預測結果。在迭代達到預測精度要求ε*>95%時，通過智能布點得到的訓練樣本數據N的個數為70，編號為1到70，如表2所示。測試樣本點個數為10，編號為71到80。

表2 智能布點的樣本數據Table 2 Sample data of intelligent distribution points

圖7 智能布點模型預測結果Fig.7 Predicted results of intelligent distribution model

為驗證代理模型的先進性，在相同樣本點數量的情況下基于典型正交試驗構建支持向量機SVM。

圖8 典型正交試驗預測結果Fig.8 Typical orthogonal experiment prediction results

基于智能布點方法，經過6次迭代更新，70個樣本點就可達到預定精度標準。而傳統方法選取70個樣本點則無法構建符合精度要求的代理模型，除變壓器鐵心體積的預測精度差較小外，其它預測精度差距可達16%左右。原因主要有兩個：一是考慮全局精度的樣本需求量遠大于只考慮局部精度的需求量；二是非帕累托前沿樣本數據本身的分散特性也增加了擬合難度。但從實際角度出發，對于優化問題只需構建滿足帕累托前沿的高精度局部代理模型即可。

對比可知，通過智能布點進行迭代智能選取樣本點方法所構建的變壓器代理模型具有極高的局部精度和實用性。

4.2 優化結果對比

基于智能布點代理模型，使用第三代非支配排序遺傳算法(NSGA-III)對變壓器進行性能優化。通過計算預測數據與真實值的誤差，驗證預測模型的有效性。

由于多目標優化時的解是互相沖突的，僅能得到帕累托解，考慮到降噪的重要性，以振動降幅最大為目標，經挑選后的解，如表3所示。

表3 變壓器設計參數和性能對比Table 3 Comparison of transformer design parameters and performance

由對比結果可知，除了Y軸方向加速度峰值ay經有限元校驗后增加11.6%外，其余方向的測試點加速度峰值均有明顯降低，多個性能得到了大幅度提高，X軸方向加速度峰值ax甚至降低了39.6%。有限元校驗的結果證明，優化后的數據誤差較小，在合理范圍內，達到了有效改善變壓器性能的目的。

4.3 實驗驗證

為驗證非晶合金鐵心優化結果的準確性，搭建實驗裝置，如圖9所示。采用振動測量分析儀對非晶變壓器小型樣機的鐵心振動加速度進行測量。三軸加速度傳感器探頭粘貼在樣機上部與模型參考相近處，方向與坐標參考方向保持一致。然后將供電頻率設置為50 Hz，調節勵磁電流使非晶變壓器工作在指定工況時由振動測量儀測量記錄振動加速度數據并記錄。振動測量儀為SQuadrigII振動噪聲分析儀。

圖9 實驗裝置圖Fig.9 Experimental apparatus diagram

非晶合金變壓器鐵心的振動加速度實驗測量結果，如圖10所示。

圖10 優化前后振動加速度實驗測量結果Fig.10 Experimental measurement results of vibration acceleration before and after optimization

對比優化前后的變壓器振動加速度實驗測量值可知，優化前的X、Y、Z方向上的振動加速度峰值為0.47、0.39、1.13 m/s2；優化后的各方向振動加速度峰值為0.24、0.40、0.78 m/s2，X和Z方向振動加速度峰值明顯降低，并且優化后的振動加速度的測量峰值和有限元校驗出的結果相近，驗證了此代理模型的預測精度和準確性，并且能夠有效應用于非晶合金變壓器的參數設計，同時兼顧多個優化目標，在少樣本條件下提供出設計的最優解。

5 結 論

應用智能布點構建變壓器代理模型并對其尋優，相比于典型正交試驗方法，智能布點方法需要的樣本點更少，預測精度更高。對優化后的變壓器結構參數分別進行仿真和實驗驗證，結果表明：

1)各測試點的相對誤差在合理范圍內，可滿足電工裝備優化設計的精度要求，在優化設計中代替數值仿真模型計算，極大程度節省了計算時間。

2)70組樣本點時，相比于典型正交試驗方法，智能布點代理模型的預測精度可提高16%左右，實現了少樣本條件下高精度代理模型的有效建立。