充分挖掘教材例題的價值
——一道圓錐曲線例題引發的思考

河北省邯鄲市第一中學 王政敏 056001

在例題教學過程中，教師不能僅局限于分析例題特點，教會例題解法，而應該充分挖掘例題的教學價值.在2021 年人教版高中新教材網絡培訓會上章建躍老師提到：在圓錐曲線一章教科書中的例題與習題，其選編的原則是幫助學生深入理解圓錐曲線的幾何特征，熟練運用坐標法研究圓錐曲線的性質以及它們的位置關系，并能解決一定綜合性的問題，通過解題感悟解析幾何中蘊含的數學思想.具體的題目是研究圓錐曲線的性質，應注意這些題目的教學功能，使學生認識到認真解答這些題目的重要性，必要時可以對有關題目進行適當的變式拓展.在教學中引導學生思考例題的結論能否抽象得到一般性的命題，在對問題探究得出結論、應用結論的過程中，有效發展學生數學抽象、邏輯推理和數學運算等核心素養.

1 教材例題

例1 設A,B兩點的坐標分別為(-5,0),(5,0)，直線AM,BM相交于點M，且他們的斜率之積是-，求點M的軌跡方程.（人教A版高中《數學》選擇性必修一，P108）

分析：如圖1，設點M的坐標為(x,y)，那么直線AM,BM的斜率就可以用含x,y的關系式分別表示.由直線AM,BM的斜率之積是，可得出x,y之間的關系式，進而得到點M的軌跡方程.

圖1

2 抽象結論

3 靈活應用

圖2

圖3

解題反思：注意到這個題目中有對稱的兩點，借助上面定理找到解題入口.

例4（2019 年全國卷II 第21 題）已知點A(-2,0)，B(2,0)，動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為-.記M的軌跡為曲線C.(Ⅰ)求C的方程，并說明C是什么曲線；（II）過坐標原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結QE并延長交C于點G.（i）證明：△PQG是直角三角形；（ii）求△PQG面積的最大值.

解析：本題是高考壓軸題，總共3 問，第（I）問求軌跡及軌跡方程，同課本例題，第（II）(i)是三角形形狀的判斷與證明，第（II）（ii）是求三角形面積最值.

（I）考察了求軌跡方程的基本方法與步驟：（1）設動點坐標為(x,y) ；（2）根據條件建立等式關系；（3）代入坐標運算；（4）化簡整理；（5）檢驗.這里動點M(x,y)已給出，結合題目中“AM與BM的斜率之積為-”，即有kMA·kMB=-，代入坐標得kMA·kMB=，化簡整理得.這問雖然簡單但易錯，在求軌跡方程時一定要注意檢驗，條件中提到“AM與BM的斜率”，即兩直線的斜率是存在的，故x≠±2，所求的軌跡方程為（x≠±2），軌跡是橢圓，不含左右兩個頂點.

（II）分為兩小問，均是在△PQG下進行的設問，需要把握圖形的構建過程，基于幾何與函數的坐標聯系來解析.

解題反思：這個經典高考題的前兩問都來源于課本例題，在日常教學中要充分挖掘課本題，重視課本例題和習題的練習.

圓錐曲線豐富多彩的性質常作為例題和習題，不僅使題目的思想內涵得到增強，而且通過這些題目加強了知識間的相互聯系，從而幫助學生建立對圓錐曲線的整體認識.例如橢圓的例題中，就包含了橢圓與圓的聯系、定義橢圓的其他方式、橢圓的光學性質等，這些題目的“數學含金量”是非常高的，而且這些題目的可拓展性也很強，在教學中要充分挖掘.