反比例函數易錯點的“提前干預”

◎趙 玲 王 淳

(1.西華師范大學數學與信息學院，四川 南充 637000;2.成都市新都一中實驗學校，四川 成都 610500)

一、反比例函數的概述

按照學習內容來分，反比例函數可以分為反比例函數的概念、反比例函數的性質、反比例函數的綜合應用三個部分反比例函數是學生學習函數、正比例函數之后繼續學習不同類型函數的深化同時，反比例函數的學習也為高中階段學習雙曲線打下堅實的基礎，起到了承上啟下的作用從近幾年中考題考查的內容來看，反比例函數與其他知識點相結合的考查次數越來越多，是中考題的重要考點之一因此，從這三個方面可以看出在初中階段學習反比例函數的重要性

二、在教學反比例函數時存在的問題

在反比例函數的教學過程中，普遍存在一種現象：課堂教學時學生一聽就懂，但知識點一講完就忘，課后題一做就錯，然后教師在相關的習題課中進行“補救”，這種教學方式易導致學生難學，教師難教，效果不好這是因為學生聽懂老師所講知識和自己真正學會知識是兩個不同層次的認知結果學生“聽懂了”可能是由于課上機械記憶和簡單模仿正確回答導致，實際上其對知識的認知只停留在機械記憶和表層理解這一層次再反思習題課的“補救”過程，教師只是簡單地講評錯題，一味地重復訓練，以彌補新授課中的不足，但這并不能從根本上解決問題學生已對易錯點先入為主，在記憶環節已經留下“痕跡”，故教師很難在其認知結構中進行糾正如果教師在課前對收集的易錯題進行分類整理，找出其中的易錯點，從學生沒有納入認知結構的易錯點進行分析，找出錯誤的原因，可為預判新授課中的易錯點做準備在新授課中，教師將這些易錯點與學生認知結構中已有的觀念建立實質性的聯系，從而進行有意義的學習，就是對反比例函數易錯點的“提前干預”

三、易錯點剖析

收集大量反比例函數的易錯題是教師新授課時預判易錯點的重要依據教師通過對反比例函數易錯題進行分類整理，找出其中易錯的知識點，對易錯點進行分析，找出錯誤的原因，可為新授課中反比例函數易錯點的“提前干預”做準備

(一)反比例函數概念

1將反比例關系和反比例函數混淆

1下列函數中，是反比例函數的是( )

對解析式的形式記憶混淆，認為后兩項也是反比例函數，主要原因是不能區分反比例關系和反比例函數的差異反比例關系中的，既可以代表單項式也可以代表多項式，而反比例函數中的兩個變量只能分別由一個字母表示因此，滿足反比例關系的兩個變量不一定是反比例函數，但兩個變量滿足反比例函數的表達式一定成反比例關系所以C，D兩項是反比例關系，但不是反比例函數

2忽略≠0

2若函數=(-1)-2是反比例函數，則的值是________

學生易由-2=-1，得出=±1,主要原因是忽略≠1這一條件，沒有真正理解反比例函數中≠0的含義如果反比例函數中的=0，無論取何值都有=0，這時不隨的變化而變化，故不滿足反比例函數的定義

(二)函數圖像和性質

1不分象限討論函數增減性

學生易根據<0判斷函數隨的增大而增大，從而得出<<，主要原因是沒有理解反比例函數圖像不過原點以及必須分象限討論增減性這里可以從兩個角度理解圖像不過原點的含義，在數方面的體現是分母不能為0，在形方面的體現是圖像不過原點，因此，其圖像必定分成兩支由于在圖像的兩支上各取一點(-1,)和(2，)，雖然-1<2，但是>，不滿足隨的增大而增大的性質，因此，對于反比例函數必須分象限討論增減性

2將反比例函數的值與一次函數值混淆

(三)k值的幾何意義

圖1

學生易根據正方形的面積為4和=，得出=4，出錯的主要原因是忽略了結合圖像所在象限確定的符號，沒有建立的幾何意義在邏輯基礎上的聯系，沒有真正體會知識的形成過程

圖2

A.4 B.-4 C.8 D.-8

四、易錯點的“提前干預”

對反比例函數的易錯點進行剖析，可發現主要是學生對這些知識存在表層理解和機械記憶，在做題時記憶提取環節出現障礙為了從根本上減少學生在學習反比例函數時出現的這些問題，教師就要在新授課中對這些易錯點進行“提前干預”，也就是在反比例函數的新授課中將這些易錯點作為教學關鍵點，與學生認知結構中已有的觀念建立實質性的聯系，從而進行有意義的學習

(一)以原有經驗為基礎，促進概念同化

1下位聯系函數概念

2并列聯系分式成立條件

(二)設計比較性組織者，促進學生對性質的理解

1設計比較性組織者，突破性質教學的關鍵點

教師可用“描點法”，并借助幾何畫板動態展示幾組函數圖像，借助一次函數性質的知識結構推想反比例函數的性質，引導學生分>0和<0的情況進行討論首先討論>0的情況，教師教授學生運用動態的眼光分析函數圖像，直觀地看出在第一象限內隨的增大而減小，在第三象限內也隨的增大而減小

教師提問學生：“能否說當>0時，反比例函數隨的增大而減小呢？請同學們思考，并說出自己的理由”這是教學的關鍵點教師通過學生的回答可充分了解學生的思維過程，同時找到學生認知結構中“觀念的支架”，以此引導學生進行有意義的學習

為了突破教學關鍵點，教師可以設計比較性組織者，例如，一次函數=+(<0)能說成隨的增大而減小，是因為我們在其圖像上任意取一點都滿足這個性質，這里的具有任意性教師提問：“如果我們在反比例函數圖像的兩支上各取一點，是否也具備這種任意性呢？”通過與一次函數進行比較，學生自然就明白了為什么反比例函數要分象限討論增減性然后利用類比思維，學生可自行分析反比例函數中<0的情況

2設計比較性組織者，提高不同函數增減性的可辨性

(三)找到邏輯基礎上的聯系，建立k的幾何意義

教師提問學生：“如果在第二象限、第三象限或第四象限中任意取一點，也就是說橫、縱坐標值有負數怎么辦？”這是教學的關鍵點

由于絕對值可將負數變為正數，這是學生原有的認知結構，因此，學生會想到將橫、縱坐標值加絕對值，這樣無論橫、縱坐標是正數還是負數，加了絕對值后都能將其轉化為正數，從而找到||等于橫、縱坐標所作垂線與兩個坐標軸所圍成的矩形面積在邏輯基礎上的聯系教師通過層層引導，遵循知識的內在結構和學生的認知規律、心理意愿，讓與之相關的知識從學生的認知結構中自然生長出來

五、結束語

目前，易錯點的干預方案大部分是教師在習題課中進行“補救”，這種干預方式不僅難以糾正學生的錯誤認知，還會加重學生的課業負擔本文提出將課前收集的易錯題分析、整理成易錯點，作為教師預判新授課中易錯點的依據，并在新授課中將這些易錯點作為教學關鍵點進行有意義學習的教學策略這種策略從概念的同化、設計比較性組織者及找到邏輯上的聯系這三個角度，分別在學生的學習過程中將反比例函數的概念、性質以及的幾何意義這些新知識與學生認知結構中已有的觀念建立邏輯基礎上的聯系，指導學生進行有意義的學習，避免學生對新知識停留在機械記憶和表層理解上，從而在根本上減少學生在易錯點上出錯的概率這種“提前干預”的教學策略不僅能夠引導學生在新授課中對反比例函數的相關知識建立正確的認知結構，有利于學習的遷移，也能防止學生在學習新知識的過程中產生思維惰性，對習題課中的“補救”產生依賴思想，有利于良好學習習慣的養成