駕技術(shù)之舟 游千年之旅
——以圓錐曲線為例

劉夢哲 孔雯晴

(華東師范大學教師教育學院 200062)

1 引言

21世紀以來，隨著計算機的日益普及，現(xiàn)代信息技術(shù)逐步進入課堂，突破了傳統(tǒng)板書不能動態(tài)地展示數(shù)學圖形、不夠生動形象等瓶頸．國務院頒布的國家教育事業(yè)發(fā)展“十三五規(guī)劃”(2017年)中提及要全力推動信息技術(shù)與教育教學深度融合，鼓勵教師利用信息技術(shù)提升教學水平、創(chuàng)新教學模式．《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》和《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》都指出通過信息技術(shù)改進教學方式，促進學生學習方式轉(zhuǎn)變，提高教學的實效性．由此可見，教師應當充分認識到信息技術(shù)在數(shù)學課堂教學中的價值，合理利用信息技術(shù)并發(fā)揮其作用．

圓錐曲線是高中解析幾何教學的重要內(nèi)容，橢圓、雙曲線和拋物線的定義源自三維的“截線”，現(xiàn)行教科書中的二維定義對學生了解三種曲線間的關(guān)系和深刻理解定義的內(nèi)涵造成了一定的障礙，因此，部分教師嘗試將數(shù)學史融入數(shù)學教學，以此彌補這一空缺．例如，使用旦德林雙球模型建立起橢圓的原始定義和第一定義間的聯(lián)系，但是旦德林雙球模型對學生的三維空間想象能力提出了挑戰(zhàn)，如果教師使用不當，反而會增加學生的認知負擔．倘若能以技術(shù)為輔，這樣的困境便迎刃而解．

GeoGebra(下稱GGB)是一款具有強大代數(shù)運算及繪圖功能的動態(tài)數(shù)學軟件，它能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學知識以直觀的方式呈現(xiàn)，創(chuàng)設“多元聯(lián)系表征”的學習環(huán)境，幫助學生深入理解知識的內(nèi)在邏輯．尤其是在知識動態(tài)性方面，教師能夠借助它呈現(xiàn)知識發(fā)生和發(fā)展的過程，幫助學生增強空間觀念和空間想象能力，落實直觀想象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)．但是熟練使用GGB需要耗費較多的精力，由于受到技術(shù)水平的限制，在實際的教學中教師常常心有余而力不足．因此，本文以圓錐曲線作為抓手，介紹GGB在HPM教學中的應用，以期為教師教學提供參考．

2 GeoGebra在圓錐曲線教學中的應用舉例

2.1 梅內(nèi)克繆斯三線的繪制

公元前4世紀，梅內(nèi)克繆斯(Menaechmus，約前380—約前320)用垂直于母線的平面去截三種不同的圓錐，得到三種不同的圓錐曲線，被后人稱之為“梅內(nèi)克繆斯三線”．

(1)繪制三種圓錐：頂角分別為直角、銳角和鈍角的圓錐(圖1)．

圖1 梅內(nèi)克繆斯三線的繪制步驟之一

·在“繪圖區(qū)”中分別繪制兩根數(shù)值滑動條，名稱分別為

h

和

r

，代表圓錐的高和底面半徑．·依次輸入圓錐的底面圓心

O

(0,0,0)、頂點

P

(0,0,

h

)，并輸入指令“圓錐(

O

,

P

,

r

)”，由此得到一個底面半徑為

r

、高為

h

的圓錐．

(2)繪制垂直于圓錐母線的平面(圖2)．

圖2 梅內(nèi)克繆斯三線的繪制步驟之二

·在“3D繪圖區(qū)”中選擇“多邊形”選項，依次連接圓錐的頂點和圓錐與

x

軸或

y

軸的交點，作圓錐軸截面，記為△

PAB

．·在線段

PA

上任取一點

C

，過點

C

作垂直于母線

PA

的平面．最后點擊“相交曲線”選項，即可得到垂直于母線的平面與圓錐的交線．

(3)調(diào)整與優(yōu)化．教師可以根據(jù)實際需求，隱藏相關(guān)坐標點或平面，并標注圓錐頂角的大小等．

拖動兩根滑動條，當

r

<

h

時，得到銳角的圓錐，截線為銳角圓錐曲線(橢圓)；當

r

=

h

時，得到直角的圓錐，截線為直角圓錐曲線(拋物線)；當

r

=

h

時，得到鈍角的圓錐，截線為鈍角圓錐曲線(雙曲線)，但梅內(nèi)克繆斯只研究了雙曲線的一支．

2

.

2 阿波羅尼奧斯對圓錐截線的研究

古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯(Apollonius，約前262—前190年)編著了《圓錐曲線論》，對前人的研究進行綜合和創(chuàng)新．阿波羅尼奧斯是第一個使用同一正圓錐或斜圓錐來得到三種不同圓錐曲線的人，同時也是第一個發(fā)現(xiàn)雙曲線有兩支的人．

(1)繪制對頂圓錐．

·在已有兩根數(shù)值滑動條

h

和

r

的基礎上，再添加一根數(shù)值滑動條

h

和兩根角度滑動條

α

,

β

；·輸入對頂圓錐的底面圓心“

O

(0,0,0)”“

Q

(0,0,2

h

)”及頂點“

P

(0,0,

h

)”，并輸入指令“圓錐(

O

,

P

,

r

)”和“圓錐(

Q

,

P

,

r

)”，由此得到一對頂圓錐．(2)繪制與圓錐底面成

β

的平面．·輸入“

u

=(1;

α

,;

β

_1)”，并輸入指令“垂直平面((0,0,

h

_1),

u

)”，于是得到與圓錐底面成

β

=90°-

β

的平面．最后點擊“相交曲線”選項，可以得到該平面與對頂圓錐的交線．

(3)調(diào)整與優(yōu)化．教師可以根據(jù)實際需求，隱藏相關(guān)坐標點或平面，并添加圓錐頂角及平面與圓錐底面的夾角等文本，便于學生歸納圓錐曲線的截線定義(圖3)．

圖3 阿波羅尼奧斯截圓錐

通過動手操作，改變截面與圓錐底面所成二面角的大小，學生不難發(fā)現(xiàn)：當

β

=0，截線為圓；0<

β

<π，截線為橢圓；

β

=

α

，截線為拋物線；

β

>

α

，截線為雙曲線．

2

.

3 旦德林雙球模型

翻開歷史的畫卷，雖然數(shù)學家們先后給出了橢圓的圓錐截線定義和軌跡定義，并推導出了橢圓方程，研究了橢圓的性質(zhì)，但這兩個定義很長時間都彼此缺乏統(tǒng)一．直到1822年，比利時數(shù)學家旦德林(Dandelin)在一篇論文中利用圓錐的兩個內(nèi)切球，直接在圓錐上作出橢圓截面的焦點，導出橢圓的焦半徑性質(zhì)，從而證明了截線定義與軌跡定義的統(tǒng)一性，填平了古希臘圓錐曲線定義(截線定義)和17世紀新定義(今稱橢圓第一定義)之間的鴻溝．

以橢圓的旦德林雙球模型為例，利用GGB繪制需要經(jīng)歷圓錐及平面、雙球、輔助線及調(diào)整優(yōu)化四步．

(1)圓錐及橢圓所在平面的繪制(圖4)．

圖4 旦德林雙球模型步驟之一

·按照前面的方法，繪制出底面半徑為

r

、高為

h

的圓錐，并利用“多邊形”選項，作出圓錐的軸截面△

PAB

．·在線段

PA

上任取一點

C

，

PB

上任取一點

D

，過點

C

作△

PAB

的垂線．最后，過這條垂線和點

D

作平面，再利用“相交曲線”選項，即可得到橢圓．

(2)雙球的繪制(圖5)．

圖5 旦德林雙球模型步驟之二

·創(chuàng)建△

PAB

的平面視圖，利用“直線”選項，連結(jié)

PO

，利用“線段”選項，連結(jié)

CD

．分別作∠

PCD

和∠

CDB

的角平分線，交直線

PO

于點

E

、點

F

，這兩點即為所求雙球的球心．·分別過點

E

,

F

作線段

CD

的垂線，垂足為點

G

,

H

．將這兩點重命名為

F

和

F

，易知，這兩點是橢圓的焦點，于是線段

EF

和

FF

為雙球的半徑．·回到“3D繪圖區(qū)”，利用“球面”選項，分別作以點

E

為球心、

EF

為半徑的球和以點

F

為球心、

FF

為半徑的球．

(3)添加相關(guān)輔助線(圖6)．

圖6 旦德林雙球模型步驟之三

·在△

PAB

的平面視圖中，過點

E

,

F

分別作

PA

的垂線，垂足為點

G

,

H

．·在“3D繪圖區(qū)”中，過點

G

，

H

分別作與

z

軸垂直的平面，由此得到雙球與圓錐的交線．·在橢圓上任取一點

Q

，利用“直線”選項，連結(jié)

PQ

，直線

PQ

分別交雙球與圓錐的兩條交線于點

J

,

K

．利用“線段”選項，連結(jié)

QF

,

QJ

,

QF

,

QK

．

(4)調(diào)整優(yōu)化(圖7)．

圖7 旦德林雙球模型步驟之四

·創(chuàng)建橢圓的平面視圖，由此可以讓平面與圓錐的截線一目了然．當然，教師還可以隱藏不需要的點、直線或平面，改變點、直線或平面的顏色，同時在平面視圖區(qū)創(chuàng)建文本，顯示

QF

+

QF

及

QJ

+

QK

的長度等．如圖7，圓錐內(nèi)含兩球且與圓錐內(nèi)表面相切，現(xiàn)用一不平行于母線且不經(jīng)過圓錐頂點的平面去截圓錐，并與兩球分別相切于

F

，

F

兩點，可以證明其交線為橢圓．母線與兩個球面相切于

J

，

K

兩點．由球外一點

Q

向球引切線，其切線長相等，即

QJ

=

QF

及

QK

=

QF

，則

QF

+

QF

=

QJ

+

QK

=

JK

>

F

F

為定值．因此我們可以知道，橢圓上的任意一點到兩個定點(即橢圓的焦點)之和為一個常值．

若在對頂圓錐中，我們也可以按照類似的方式作出圓錐的截線，并證明此截線為雙曲線．旦德林雙球模型的建立，不僅將古希臘的幾何傳統(tǒng)與截線定義有效結(jié)合，還幫助教師在今天的數(shù)學課堂中更好地采用發(fā)生教學法．

3 結(jié)論與啟示

綜上，信息技術(shù)宛如一縷和煦的春風，為數(shù)學教育注入了新的活力；信息技術(shù)宛如一艘巨輪，在數(shù)學的海洋里乘風破浪；信息技術(shù)宛如教育百花園中 一枝靚麗的奇葩，讓數(shù)學教學變得多姿多彩．以網(wǎng)絡和多媒體技術(shù)為核心的信息技術(shù)的發(fā)展，給教育帶來了極大的挑戰(zhàn)，也帶來了新的契機．數(shù)學史的可貴之處并不只在于歷史本身，而更在于發(fā)現(xiàn)探索的過程，是精神意志力和方法的體現(xiàn)．因此，數(shù)學教師有必要主動轉(zhuǎn)變教育理念，將GGB與數(shù)學史深度融合，使數(shù)學教學實效得到提升，有效培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)．

其一，歷歷在目，培養(yǎng)學生的直觀想象素養(yǎng)．

幾何一直以來都是數(shù)學學習的重點和難點內(nèi)容，從小學階段起，學生先要接觸一些最簡單的幾何圖形，進而在初中階段學習相關(guān)的初等幾何知識，而到了高中，學生還需要學習解析幾何和立體幾何知識，可以說，幾何知識一直伴隨著學生．然而，一些學生普遍認為幾何很抽象、很難學．因此，教師應努力尋找原因、摸索對策，以幫助學生擺脫“望幾何生畏”的困境．

我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休．”GGB作為一款功能強大的數(shù)學軟件，可以直觀地揭示出“數(shù)與形”之間的內(nèi)在聯(lián)系，有助于實現(xiàn)數(shù)學知識的可視化、可理解化和可操作化．例如，在圓錐曲線的教學中，教師可以借助GGB，繪制平面截圓錐的立體圖形，學生通過改變圓錐頂角的大小或圓錐截面的位置，發(fā)現(xiàn)圓錐曲線的截線定義，這一過程既有助于解答“為何橢圓、雙曲線及拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線”之困惑，又將加深對圓錐曲線的截線定義的理解與記憶．

由此可見，數(shù)字化軟件的應用為數(shù)學教學打開了一扇新門.教師在幾何教學中，應嘗試利用GGB繪制幾何圖形，將原本抽象的圖形變靜為動，形象化地表達數(shù)學知識，從而打破“意會”與“言傳”之間的壁壘.我們有理由相信，GGB必將成為培育學生直觀想象素養(yǎng)的有效利器．

其二，繼往開來，強化學生的邏輯推理能力．

數(shù)學推理是數(shù)學思維活動的重要部分，數(shù)學運算、證明、作圖等都蘊含著邏輯推理的成分，而GGB不僅可以助力幾何圖形可視化，還可以促進學生數(shù)學思維的發(fā)展．

一方面，借助GGB活躍思維，通過搭建幾何圖形，學生可以從可視化圖形的制作過程中，思考每一步操作成立的依據(jù)．以制作旦德林雙球模型中的一步為例，教師可以設置思考題：為什么∠

PCD

和∠

CDB

的角平分線與直線

PO

的交點是圓錐的兩個內(nèi)切球的球心(圖5)．顯然，由對稱性可知，雙球的球心一定在面

PAB

中，由此問題可以轉(zhuǎn)化為求△

PCD

的內(nèi)切圓的圓心和求與

AC

，

CD

，

DB

三邊相切的圓的圓心．在△

PCD

中，因為直線

CE

和

PO

分別是∠

PCD

和∠

APB

的角平分線，則兩直線的交點即為△

PCD

的內(nèi)心，同理可作出另一個圓的圓心．

另一方面，借助GGB發(fā)散思維，通過繪制動態(tài)圖形，為數(shù)學概念的生成、數(shù)學定理的推導、數(shù)學公式的證明、數(shù)學問題的解答創(chuàng)造了無限的可能性．在探究圓錐曲線的截線定義的過程中，教師可以讓學生借助手機或平板電腦上的GGB軟件，親自動手改變圓錐截面的位置，從直觀上感受三條圓錐曲線的形成過程，并對此進行歸納，由此加深學生對圓錐曲線的截線定義的理解．

我們有理由相信，信息技術(shù)為數(shù)學史進課堂插上了騰飛的翅膀．GGB本身的直觀性、有趣性的特點，可以幫助教師更好地使歷史再現(xiàn)于數(shù)學課堂，使學生有身臨其境的感覺，以數(shù)學史為載體促進學生對數(shù)學知識的本質(zhì)理解，對于發(fā)展學生的思維、營造良好課堂的氛圍，乃至促進教師專業(yè)發(fā)展都起到重要的作用．